樣本均值的分布

1、樣本均值的分布樣本均值的分布特別地,對樣本均值 nNXnXnii21,1 則 niiniiniiiNX12211, 定理定理2.12.1：若),(,221 NXXXn 2 常用的抽樣分布常用的抽樣分布標準化： 1 ,0/NnX 在數(shù)理統(tǒng)計中，較多的使用正態(tài)總體，其樣本在數(shù)理統(tǒng)計中，較多的使用正態(tài)總體，其樣本 的統(tǒng)計量的分布很重要。的統(tǒng)計量的分布很重要。),(,221 NXXXn統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.（定理一）（定理一）的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?例例 設(72 ,100)XN ,為使樣本均值大于70解解 設樣本容量為 n , 則)100,72(nNX故

2、)70(1)70(XPXPn1072701n2 . 0令9 . 02 . 0n得29. 12 . 0n即6025.41n所以取42n三個抽樣分布三個抽樣分布).(,)1, 0(,22222221221nnXXXNXXXnn 記為記為分布分布的的服從自由度為服從自由度為則稱統(tǒng)計量則稱統(tǒng)計量的樣本的樣本是來自總體是來自總體設設 )(2卡方分布卡方分布分布分布 1.分布的概率密度為分布的概率密度為：定理定理)(2 . 22n 000 ,e)2(21)(21222xxxnxxnn .)(2圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如n 例例 設總體 的樣本,26542321)()(XXXXXXY) 1

3、 , 0( NX16,XX為總體 X 試確定常數(shù) c , 使 cY 服從2分布.解解) 3 , 0 (, ) 3 , 0 (654321NXXXNXXX) 1 , 0 (31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故因此1/3.c)2(312Y性質性質1.2)(,)(),(2222nDnEn 則則若若證明證明),1, 0( NXi因為因為, 1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(iiiXEXEXD , 213 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n )(2分布的數(shù)學期

4、望和方差分布的數(shù)學期望和方差 分布的性質分布的性質2 , 3d21)(2244 xexXExi ., 2, 1ni 分布的性質分布的性質2 性質性質2).(,),(),(2122221222122221221nnnn 則則立立獨獨并且并且設設)(2分布的可加性分布的可加性 ( 此性質可以推廣到多個隨機變量的情形此性質可以推廣到多個隨機變量的情形. ).(,), 2, 1(),(21212222mmiiiiinnnmin 則則獨立獨立相互相互并且并且設設定理定理2.3：.(2);1()1(1),),(,22222221獨獨立立與與則則有有方方差差分分別別是是樣樣本本均均值值和和樣樣本本的的樣樣本

5、本是是總總體體設設SXnSnSXNXXXn 正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理二）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理二）).(, /,),(),1, 0(2ntTtnnYXTYXnYNX記為記為分布分布的的服從自由度為服從自由度為則稱隨機變量則稱隨機變量獨立獨立且且設設 t 分布又稱分布又稱學生氏學生氏(Student)分布分布. xnxnnnxtn,1221)(212分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為定理：定理：)(nt分布分布t2.圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如t.0對稱的對稱的顯然圖形是關于顯然圖形是關于 t當當 n 充分大時充分大時, 其其圖形類似于標準

6、正圖形類似于標準正態(tài)變量概率密度的態(tài)變量概率密度的圖形圖形.,e21)(lim22xnxt 因因為為,)1, 0()45(分布分布分布近似于分布近似于時時足夠大足夠大所以當所以當Ntnn .)1 , 0(,分布相差很大分布相差很大分布與分布與但對于較小的但對于較小的Ntn例例 設r.v. X 與Y 相互獨立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與Y1, Y2 , Y16 分別是取自 X 與 Y 的簡單隨機樣本, 求統(tǒng)計量1292221216XXXZYYY所服從的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX16, 2, 1,) 1

7、, 0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)16( t2162221921YYYXXX從而).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 則有則有方差方差分別是樣本均值和樣本分別是樣本均值和樣本樣本樣本的的是總體是總體設設證明證明),1 , 0(/NnX 因為因為),1()1(222 nSn 且兩者獨立且兩者獨立, 由由 t 分布的定義知分布的定義知)1()1(/22 nSnnX ).1( nt定理定理2.5：正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理三）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理三）例例 設12(,)nXXX 是來自N ( ,

8、 2 )的簡單隨機樣本, X是樣本均值,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS則服從自由度為n - 1的t 分布的隨機變量為1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D(則有則有設設且這兩個樣本互相獨立且這兩個樣本互相獨立的樣本的樣本相同方差的兩正態(tài)總體相同方差的兩正態(tài)總體分別是具有分別是具有與與設設,)(11,)(111,1,),(, ),(,2121211222212121121122212121 niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX 定理定理2.6：正態(tài)總體的

9、樣本均值與樣本方差的分布（定理四）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理四）.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121 SSnnSnSnSnntnnSYX 其中其中為第二自由度。為第二自由度。為第一自由度，為第一自由度，其中其中記為記為分布分布的的服從自由度為服從自由度為變量變量則稱隨機則稱隨機獨立獨立且且設設212121212212).,(,),(/,),(),(nnnnFFFnnnYnXFYXnYnX 分布分布F3.),(/1 1212nnFnXnYF 由定義可知：隨機變量由定義可知：隨機變量分布的概率密度為分布的概率密度為：定理定理),(.7221nnF .0 ,0,0,1222)(2212112212121211xxxnnnnxnnnnnnxfnnn則有則有互相獨立互相獨立且這兩個樣本且這兩個樣本的樣本的樣本正態(tài)總體正態(tài)總體分別來自分別來自與與設設,),(, ),(,222211212121 NNYYYXXXnn定理定理2.8：正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理五）正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布（定理五）)1, 1(/2122212221 nnFSS .)(11 ,)(11 211222212121 niiniiYYnSXXnS其中其中證明：證明：),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222