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文檔簡介
1、一、課題: 函數(shù)的單調(diào)性二、教學(xué)目標(biāo)1、知識目標(biāo):從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法2、能力目標(biāo):通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,培養(yǎng)學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生的推理論證能力3、情感目標(biāo):通過對單調(diào)性的探究培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過程三、教學(xué)重難點教學(xué)重點:函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間理解,單調(diào)性定義法證明教學(xué)難點:抽象函數(shù)單調(diào)性判斷、證明,數(shù)形結(jié)合初步理解與應(yīng)用。四、教學(xué)方法:教師
2、啟發(fā)講授為主,學(xué)生探究學(xué)習(xí)五、教學(xué)用具:彩色 粉筆、三角板、多媒體輔助教學(xué)六、課型: 新授課七、教學(xué)過程(一)創(chuàng)設(shè)情境,引入新課在上新課之前,我們回顧一下上節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)的知識?。ㄖv新課)首先,問問大家都知道北京奧運會開幕式在8 月 8 日這一天。而且開幕式舉辦的非常完美,其中一點就是天氣預(yù)報給了我們基礎(chǔ),那我們來看看開幕式當(dāng)天的天氣變化情況,下圖為北京市當(dāng)天的氣溫變化曲線圖:3332313029282726252404812162024通過觀察上圖并說說函數(shù)圖像有什么特征?發(fā)現(xiàn)圖像高低起伏,既有上升又有下降.我們學(xué)習(xí)了函數(shù),這里我們就可以把時間t看做自變量,溫度T相應(yīng)的就是我們 的函數(shù)值,圖像
3、的高低起伏也就體現(xiàn)出了函數(shù)中兩個變量之間的變化規(guī)律.函數(shù)隨自變量變化而規(guī)律的變化,就稱為函數(shù)的單調(diào)性。所以接下來我們一起來探究的就是函 數(shù)的這一性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性!(二)合作探求,獲得新知首先,回顧初中所熟知的一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖像的變化規(guī)律是 什么?請同學(xué)上黑板畫出一次函數(shù) y x 1, y x 1, y x2的圖像來!并且讓同學(xué)從圖像上觀察圖像的起伏變化!總結(jié):函數(shù)圖像的共同特點是,在定義域某區(qū)間內(nèi)都有 上升或下降!那么我們這里以二次函數(shù)為例:剛才同學(xué)們已經(jīng)說了y x2的圖像時隨著自變量x增大,函數(shù)值先減小后增大。這就是我們函數(shù)的單調(diào)性,那么我們怎樣來準(zhǔn)確的描述這種單調(diào)性呢?那么
4、我們首先來觀察y x2圖像的右半部分上升部分,我們?nèi)∫粋€x1,對應(yīng)的函數(shù)值是f (x1),隨著 x1慢慢的增大f (x1)也在慢慢的增大,那么我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確的表達(dá)出此 函數(shù)的這一性質(zhì)-單調(diào)性?(引導(dǎo)同學(xué)一起探究出增函數(shù)的定義說法)再請同學(xué)類比增函數(shù)說出減函數(shù)的定義!1、函數(shù)單調(diào)性的概念kP- k一般地,設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I :pv一v如果對于屬于I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值不、X2,(1)當(dāng)X1 X2時,都有f(Xi) f(X2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù);(2)當(dāng)Xi X2時,都有f(Xi) f(X2),那么就是f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).如果函數(shù)y
5、f(X)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函說y f(X)在這一區(qū) 間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做 y f(X)的單調(diào)區(qū)間,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù) 的圖象是上升的,減函數(shù)的圖象是下降的.注意:(1)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì);(2) 為、X2為給定區(qū)間上的任意值;(3)不等關(guān)系:當(dāng)Xi X2, f(Xi)與f(X2)的大小關(guān)系.(三)概念的應(yīng)用及函數(shù)單調(diào)性的證明現(xiàn)在我們了解了函數(shù)單調(diào)性的定義了, 我們是從函數(shù)圖像上面觀察出的這 一性質(zhì),那么如果給一個函數(shù),我們不易畫出它的圖像,我們又怎樣來判斷它 的單調(diào)性呢?大家思考一下! 、八k一 一例:例:物理學(xué)中的玻
6、意耳定律 P - (k為正常數(shù))告訴我們,對于V一定量的氣體,當(dāng)其體積V減小時,壓強(qiáng)將增大,試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。從函數(shù)圖象上觀察函數(shù)的單調(diào)性固然形象,但在理論上不夠嚴(yán)格,尤其是 有些函數(shù)不易畫出圖象,因此必須學(xué)會根據(jù)解析式和定義從數(shù)量上分析辨認(rèn), 這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑.分析:我們從剛才的定義可以找到如果要說函數(shù)是增函數(shù),那么就要找出Xi X2, f(Xi) f(X2)這兩組數(shù)量關(guān)系,對于f(Xi)和f(X2)我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢?我們知道對兩個實數(shù)a,b如果a b,那么它們的差a b就大于零;如果a b,那么它們的差a b就等于零;如果 a b,那么它們的差a b就小于零
7、,反之也成立.因此我們可由差的符號來決定兩個數(shù)的大小關(guān)系.怎樣用定義證明呢?請同學(xué)們思考后在筆記本上寫出證明過程.設(shè)”?2是(,0)上任意兩個自變量,當(dāng)XiX2時,f(Xi) f(X2)Xi1Xi,1、,( X2)(X1X211X2X1X2)()(X1X2 )X1X2X1 X2X1X2(X1X2)X1X2因為 X1X2 0,所以 X1X2 0所以 f(X1) f(X2) 0所以根據(jù)定義得f(X)是增函數(shù).一開始設(shè)、?2是(,0)內(nèi)任意兩個自變量,并設(shè)X1 X2 (邊說邊用彩色粉筆在相應(yīng)的語句下劃線,并標(biāo)注“一設(shè)”),然后看f(X1) f(X2),這一步是證明的關(guān)鍵,再對式子進(jìn)行變形,一般方法是
8、分解因式或配成完全平方的形式,這一步可概括為“作差,變形”(同上,劃線并標(biāo)注”一作差,變形”).但美中 不足的 是他沒 能說明 為什么f(X1) f(X2) 0 ,沒有 用到開 始的假設(shè)“X1 X2”,不要以為其顯而易見,在這里一定要對變形后的式子說明其符號.應(yīng)寫明“因為 X1 X2 ,所以 X1 X2 0,從而 f(X1) f(X2) 0,即 f(X1) f(X2).” 這一步可概括為“定符號”(在黑板上板演,并注明“一定符號" ).最后,作為證明題一定要有結(jié)論,我們把它稱之為第四步“下結(jié)論”(在相應(yīng)位置標(biāo)注“一下結(jié)論” ).歸納解題步驟:引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:設(shè)元;作
9、差、變形;斷號;定論.(四)課堂練習(xí)練習(xí):判斷函數(shù)f(X) - (a 0)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性?并證明結(jié)論X(五)課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的知識,其實就是將以前通過圖像觀察函數(shù)變化規(guī) 律轉(zhuǎn)換到解析式來計算.同學(xué)們要切記:單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的,同時在理解定義的基礎(chǔ)上,要掌握證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟,正確進(jìn)行判斷和證明.(六)作業(yè)布置練習(xí) P39 2 3 A組 1,2八板書設(shè)計1.3.函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)單調(diào)性的概念2單調(diào)性的證明步驟例題解析例:練習(xí):多媒體展示區(qū)函數(shù)的基本性質(zhì)在事物變化過 租中.保持不變的 價征就是這個事物 的姓質(zhì).函數(shù)是描述小物運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.如果解r
10、南數(shù)的變化規(guī)汴,那么也就某木把握r相應(yīng)事物的變化規(guī) 律.因此研究函數(shù)的性質(zhì),如函數(shù)在什么時候遞增或遞減. 有沒有最大值或最小值.函數(shù)圖象布什么特征等,是非常用 要的.觀察圖L3T中的各個函數(shù)圖象.你能說說它們分別反 映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律嗎?苒先我們研究一次函數(shù)八外=/和二次函數(shù)八"= 合的單調(diào)性.圖 1.3-2第一節(jié)燮合與函數(shù)微念 第一章觀察圖1.3-2.可以看到:函數(shù) I的圖象由左至右是上升的:函數(shù)/Q) 萬的圖象在y軸左側(cè)是下降的,住y軸右的是上升的.函 數(shù)圖象的“上升s “下降”反映/函數(shù)的一個加本性質(zhì) 單調(diào)性.那么.如何描述函數(shù)圖象的“上升”“下降”呢?以二次函數(shù)/Cr
11、)=/為例.列出口1y的對應(yīng)值表13.表1-3對比圖1.3-2(2)和表13 可以發(fā)現(xiàn):圖象在了軸左儲”下降。也就是在區(qū)間(一8. 0 上.劫著/的增大相應(yīng)的八戶反而的M誠?。簣D象在y 軸右側(cè)“上升。也就是,在區(qū)間S,4-oo)L.磁石/的增 大.相應(yīng)的人外也隨著增大.I需2如何利用函數(shù)解析式八”)=/描述”隨著1的增大.相應(yīng)的人力隨 著減小隨著上的增大,相應(yīng)的/Cr)也隨著增大.”?你能仿照這樣的將 選.說明函數(shù)/力=/ 在區(qū)間(一 8, 0上是或 的效鳴?對于二次函數(shù))=/,我們可以這樣來描述“在區(qū) 間(0. 4-oo) h.隨在上的增大,相應(yīng)的八工)也隨在增 大.”:住區(qū)間(0+8)上任
12、取兩個為,網(wǎng),得到八.門) ,一 ,;)="當(dāng) nVn 時.Q/(, /(,).這時 我們就說函數(shù)/)=在區(qū)網(wǎng)(0. +8)上是增函數(shù).一般地.設(shè)函數(shù)八幻的定義域為/:如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個門變赫的 值補(bǔ) 4,當(dāng)4 V4時,都有,(再)/(4那么就說函 數(shù)/(?。┰趨^(qū)間D上是增函敷(increasing function) (ffl 1.3-3(1);如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間D上的任任兩個門變依的 值M. 4,當(dāng)丈。2時./(X,»/(.T:),那么就說函 數(shù)/(1)在區(qū)間D上是減函數(shù)(decreasing function)(圖 1. 3-3(2).出
13、 1.3-3如果函數(shù).y=/Cr)在區(qū)間D上址增函數(shù)或述函數(shù).那么 就說函數(shù)y=/(外在這一區(qū)間具有嚴(yán)格的)單網(wǎng)性.區(qū)間 Q叫做、=,(/)的單調(diào)區(qū)阿.例1圖1.3-4是定義在區(qū)間-55上的函數(shù) y=/Q),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單謝區(qū)間,以及在每一單謝 區(qū)間上,它是增函數(shù)還是迎函數(shù)?圖 1.3-4解:函數(shù)y = / J)的單調(diào)區(qū)間有- 5-2). 1-2. 1)- U 3)> 3. 5.其中 y=/(1)在區(qū)間 -5. -2). 1. 3)上是從函數(shù).在區(qū)間-21). 3. 5 上是增函數(shù).例2物理學(xué)中的玻您耳定律夕§柒為正常數(shù))告 訴我們.對于一定出的氣體.當(dāng)我體枳V域小時.壓
14、強(qiáng)A 將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.分析:按題意.只要證明函數(shù)/>=。在區(qū)間(0. 4-oo) 上是減函數(shù)即可.證明:根據(jù)單謝性的定義.設(shè)匕是定義域II34第一摩爾合與函數(shù)底含第一章(0. +8)上的任意兩個實數(shù),且HVK.則由. v2e(o. +oo).得%>o,由%。2,得匕一%>。.又心>0.于是P(V|)-P(V2»O>即通過觀察圖 要.先時事乳是否具有某種41度做出: 猜想.然后通過遼 樣推理.證明這種所以.函數(shù)。=6ve(o. +8)是減函數(shù),也就是 說,當(dāng)體積V減小時.壓強(qiáng)p將增大.昌出反比例西數(shù)尸土的圖象.(1)這個函數(shù)的定義域/是什么?(2)它在定義域/
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