高級中學(xué)空間立體幾何典型例題

1、1如圖所示，正方體 ABCD-ABCQ中，側(cè)面對角線AB, BC上分別 有兩點(diǎn)E, F,且BiE=CiF.求證：EF/平面ABCD證明 方法一 分別過E, F作EML AB于M FN，BC于N,連接MN. BB，平面 ABCD/.BBXAB, BBLBQ EMZBB, FN/ BB, .EM/ FN又. BE=CF, .EMFN故四邊形MNF至平行四邊形，. EF/MN又MN平面ABCD EF平面ABCD所以EF/平面ABCD方法二過E作EG/ AB交BB于G, 連接GF,則處BG , . BE=GF, BA=GB,CiEC1B器，電 BC / BC又 EGH FG=G, ABA BC=B,

2、平面EFG/平面 ABCD而EF平面EFG.EF/平面 ABCD 2已知P為ABO在平面外一點(diǎn)，G、G、G分別是APAB PCB PAC勺重心.(1)求證：平面GGG/平面ABC求 4 G1G2G3 : SBC(1)證明 如圖所示，連接PG、PG、PG并延長分別與邊AB BGAC交于點(diǎn)D E、F,一_ _ _P連接 DE EF FD,則有 PG： PD=2 ： 3,八、PG： PE=2： 3,.GG/DE/；V又GG不在平面ABC3 ,羋*GG /平面ABC同理GG /平面ABC弋工二方二支又因?yàn)镚GAGG=G,b平面GGG/平面ABC(2)解 由(1)知至 EG2=2GG=2DEPD PE

3、3 3又 DE=1AC, .GG=AC 23同理 GG=3AB, GG=1BC 33.GGGszCAB 其相似比為 1 : 3,SG為zSAB上的高，D E、F分別是AG BG SC的中點(diǎn)，試判斷 關(guān)系，并給予證明.解 SG/平面DEF證明如下： 方連接C皎DE于點(diǎn)H,如圖所示.SGf平面DEF的位置3如圖所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且SA=SB=SQ S G1G2G3 : Smbf1 : 9.DE是 ABC的中位線,.DE/ AB在4AC陰，D是AC的中點(diǎn),且 DH AG .H為CG的中點(diǎn). .FH是4SCG勺中位線， .FH/ SG又SG平面DEF FH平面DEF .SG

4、/平面 DEF方法二 .EF為SBC勺中位線，.EF/ SB EF平面SAB SB平面SAB .EF/平面 SAB同理可證，DF/平面SAB EFA DF=F,平面SAB/平面DEF又SG平面SAB66/平面 DEF.5如圖所示，在正方體 ABCD-ABGD中,E、F、G H 分別是 BG CC、CD、AA的中點(diǎn).求證：(1) BF/ HD;(2) EG/平面 BBDD;(3)平面BDF/平面BDH證明 (1)如圖所示，取BB的中點(diǎn)M易證四邊形HMC1是平行四邊形，HD/ MC又MC/ZBF, .BF/ HD.(2)取BD的中點(diǎn)Q連接EO DQ則 OE 1DC又 DG 1DC /. OE DG

5、,四邊形OEG原平行四邊形，.GE/ DQ又 DO 平面 BBDD,EG/平面 BBDD(3)由(1)知 DH/ BF,又 BD/ BD, BQ、BD 平面 BDF 且 BD A HD=D ,Dm BF=B,平面 BDF/平面 BDH.6如圖所示，四邊形EFGH;空間四邊形ABCD勺一個(gè)截面，若截面為 平行四邊形.(1)求證：AB/平面 EFGH CD/平面 EFGH(2)若AB=4, CD=6,求四邊形EFGH長的取值范圍.(1)證明.四邊形EFGH；平行四邊形，EF/ZHG HG 平面 ABD 二 EF/ 平面 ABD/EF平面ABC 平面ABD平面ABCAB,.EF/ AB.AB/平面

6、EFGH同理可證，CD/平面EFGH解 設(shè)EF=x (0x4),由于四邊形EFGHfe平行四邊形, CF. CB=1- x|jj| FG = BF _ BC CFBC、6q Bc從而 FG=6-3x.2四邊形 EFGH勺周長 l =2(x+6-3x)=12-x.又 0c x4,則有 8l12,四邊形EFGHI長的取值范圍是(8, 12) 7如圖所示，在正方體 ABCD-AiBiCiD中，O為底面ABCD勺中心，P是DD的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面DBQ/平面PAO解當(dāng)Q為CC的中點(diǎn)時(shí)，平面DBQ/平面PAOQ為CC的中點(diǎn)，P為DD的中點(diǎn)，. QB/ PA. P、O為

7、DD、DB的中點(diǎn),. DB/1 P0又 POP PA=P, DBA QB=B,DB/平面 PAO QB/平面 PAO平面 DBQ/ 面 PAO8正方形ABCDf正方形ABEF所在平面 相交于AB,在AE BD上各有一點(diǎn)P、Q 且 AP=DQ求證：PQ/平面BCE證明 方法一 如圖所示，作PM/ AB交BE于M,彳QN/ AB交BC于N,連接MN |.正方形ABC于口正方形ABEFW公共邊AB,AE=BD又. AP=DQ /. PE=QB又 PM/ AB/ QNA PMPE QNBQPM QN PM QNABAE DCBD AB DC四邊形PMN平行四邊形，. PQ/MN又MN平面BCE PQ平

8、面BCE .PQ/平面 BCE方法二 如圖所示，連接AQ并延長交BC于K,連接EK . AE=BD AP=DQ .PE=BQ AP _ DQPE BQ又AD/ BK, .31 BQ QK由得匹喂, PQ EK又PQ平面BCE EK平面BCE.PQ/平面 BCE方法三 如圖所示，在平面 ABEF內(nèi)，過點(diǎn)P作PM/ BE,交AB于點(diǎn)M連接QM: PM/ BE, PM 平面 BCE即PM/平面BCEfPE MB又 AEDQ /. PE=BQ竺二吧PE BQ由得竺= DQ,MO/ AD, MB BQ.MO/ BQ 又 MQ平面 BCE MQ 平面 BCE又.PMR MOM,.平面 PMQ 平面 BCE

9、PQ 平面 PMQ. PQ/ 平面 BCE8如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長方體截去一個(gè)角所得多面體的直 觀圖，它的正視圖和左視圖在下面畫出(單位:cm).(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖按照給出的尺寸，求該多面體的體積； 在所給直觀圖中連接 BC ,證明：BC /平面EFG解如圖(1)所示.圖(1)(2)解所求多面體體積V=V長方體-V正三棱錐=4X 4X6- 1 X( 1X2X2) X2=等(cm3). 證明 如圖(2),在長方體ABCD-A B C D中, 連接 AD ,則 AD / BC .因?yàn)镋,G分別為AA , A D的中點(diǎn)，所以AD / EG從而EG/ B

10、C又BC 平面EFG所以BC /面EFG圖(2)9.如圖所示，正四棱錐 屋ABCD勺各棱長均為13, M N分別為PABD上的點(diǎn)，且 PM： MA=BN： ND=5 : 8.(1)求證：直線MN/平面PBC(2)求線段MN的長.(1)證明 連接AN并延長交BC于Q 連接PQ如圖所示. AD/BQ.ANSAQNBAN = DN = AD =8NQ -NB BQ 5又PM = BN =5MA ND 8AM = AN = 8MP NQ 5 MIN/ PQ又PQ平面PBC MN平面PBCMIN/平面 PBC(2)解 在等邊 PBC中，/ PBG60 ,在PBCfr由余弦定理知Pd=P曰+Bd2PB B

11、Qos/PBQ2_ 8264=13+ 65 -2 X13X 65 x 1 = 8-281. MIN/ PQ MN PO8 ： 13,.*.Mf=91x _8=7. 81310在四棱錐P ABCDK 底面ABC英平行四邊形，M N分別是AB, PC的 中點(diǎn)，求證：MN/平面PAD證明：方法一，取PD中點(diǎn)E,連接AE, NE底面ABCLg平行四邊形，M N分別是AB, PC的中點(diǎn),1.MA/ CD MA CD.2 E是PD的中點(diǎn),1 .NE/ CD NE CD.2 .MA/ NE 且 M誓 NE .AENM1平行四邊形， . MN/ AE.又AE平面PAD MN 平面PAD . MN/ 平面 PA

12、D方法二取CD中點(diǎn)F,連接MF NF. MF/ AD NF/ PR 平面MNF/平面PAD . MN/ 平面 PAD11在直三棱柱 ABC- ABC中,【分析】要證明“線線垂直”明AC垂直于經(jīng)過BC的平面即可.AA=AC ABAC 求證：AC，BC.證明：連接AC. .ABC- ABC是直三棱柱, AA，平面 ABC .AB，AA.又 AB AC AB，平面 AACC,.AidAB.又 AA=AC 側(cè)面A1ACC是正方形， .AC，AC.由，得AC，平面ABG, .AC，BC.12在三棱錐P- ABC中，平面PABL平面ABC AB! BC, API PB,求證：平 面PACL平面PBC【分析

13、】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂 直”又可以通過“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.證明： 平面PAEBL平面ABC 平面PABH平面 ABC= AB,且AB BQ BC，平面 PAB.API BC又 API PB, AP，平面 PBC又AP平面PAC平面PACE平面PBCABC13如圖，在斜三棱柱ABC- ABG中，側(cè)面AABB是菱形，且垂直于底面 /AA五60 , E, F分別是AB, BC的中點(diǎn).(I )求證：直線EF/平面AACC；(H)在線段AB上確定一點(diǎn)G,使平面EFGL平面ABC并給出證明.證明：(I )連接AC, A1E. 側(cè)面A1ABB是菱形，E是AB的中點(diǎn)，

14、.E也是AB的中點(diǎn),又F是BC的中點(diǎn)，EF/ AC. AC 平面 AACC, EF 平面 AACC,直線EF/平面AACC.解：當(dāng)跑 1時(shí)，平面EFGL平面ABC證明如下： GA 3連接EG FG 側(cè)面A1ABB是菱形，且/ AAB= 60 , AAB是等邊三角形. E是 AB 的中點(diǎn)，BG - ,EGLAB.GA 3 平面 AABBL平面 ABC且平面 AABBn平面ABC= AB, . EGL平面 ABC又EG平面EFG.平面EFGL平面ABC14 如圖，正三棱柱 ABC- A1B1G中，E是AC的中點(diǎn).(I)求證：平面BEC，平面ACCAi； (H)求證：AB/平面BEC.證明：(I);

15、ABC- A1B1G是正三棱柱，AA，平面ABC BEX AA.ABCg正三角形，E是AC的中點(diǎn)，.BE! AC,. BE!平面ACCA,又BE 平面BEC, 平面BEC，平面ACCA.(H)證明：連接BC,設(shè)BCABC= D. BCdB是矩形，D是BC的中點(diǎn)， /.DE/ AB.又DE平面BEC, AB 平面BEC,.AB/平面 BEC.15在四棱錐P ABC時(shí)，平面PAD平面ABCD AB/ DC PA皿等邊三角形，已知 BD- 2AD-8, AB 2DC 4展.(I )設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面 MBDl平面PAD(H)求四棱錐P- ABCD勺體積.證明：(1)在4人3口中，由于 A

16、A4, B48, AB 4病，所以 AD+BD= AE2.故AD!BD又平面PADL平面ABCD平面PAE平面 ABCD=AD, BD 平面ABCD所以BDL平面PAD又BD 平面MBD故平面 MBD_T面PAD(H)解：過P作POLAD交AD于O,由于平面PADL平面ABCD所以PQ平面ABCD因此PO為四棱錐P- ABCD勺高，又 PA奠邊長為4的等邊三角形.因此PO 申 4 243.在底面四邊形ABCM, AB/ DC AB= 2DC所以四邊形ABCM梯形,在RtAADE,余邊AB邊上的高為1.8 奉4 55即為梯形ABCD勺高，所以四邊形ABCD勺面積為S 2運(yùn)再 5 24.故 25V

17、p ABCD 1 24 2 3 16.3. 316 .如圖，三棱錐P-ABC勺三個(gè)側(cè)面土為邊長是1的等邊三角形，M N分別為 PA, BC的中點(diǎn).(I )求MN勺長；(H)求證：PAL BC.(I)解：連接MB MC三棱錐P- ABC的三個(gè)側(cè)面土為邊長是1的等邊三角形，3 MB MC ,且底面 ABC也是邊長為1的等邊二角形. N為BC的中點(diǎn)，；MNLBC2在 RtzXMNB, MN 4MB2 BN2 -2-(H)證明：: M是PA的中點(diǎn), PAL MB 同理 PAL MC. MB? M生 M . . PAL平面 MBC又 BC 平面 MBC PA! BCBN17 .如圖，在四面體ABCD,

18、CB- CD ADL BD,且E、F分別是AR BD的中點(diǎn).求 證：(I)直線EF/平面ACD(H)平面EFCL平面BCD.證明：(1);孱F分別是AR BD的中點(diǎn)，.EF是4ABD的中位線，；EF/ AD.又EF 平面ACD AD 平面ACD.直線EF/平面ACD (H) . EF/ AD ADL BDEF BD.,. CB= CD F是 BD的中點(diǎn)，.二 CFBDvCFn EF= F, . .BDL平面 CEF. BD平面BCD 平面EFCL平面BCD18如圖，平面ABEFL平面ABCD四邊形ABE臼ABC嘟是直角,$形，/ BA*,_ _ _ _ 1 1 _ZFAB= 90 , BC/ AD BC -AD,BE/AF,BE -AF ,