最新數(shù)學必修5知識點(很完整)

1、精品文檔第一章解三角形1、三角形三角關(guān)系：A+B+C=180 ; C=180° -(A+B);2、三角形三邊關(guān)系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本關(guān)系：sin( A + B) =sin C, cos(A +B) = cosC, tan(A+B) = tanC,AB C A B . C A B C sin= cos ,cos= sin , tan= cot -2222224、正弦定理：在MBC中，ab、c分別為角AC的對邊,R為AABC的外接圓的半徑，則有asinb csin 三 sinC=2R 精品文檔5、正弦定理的變形公式:化角為邊：a=2RsinA, b=2

2、RsinB, c = 2RsinC；化邊為角：sin =_ bcsin B =,sinC =；2R2R2R a:b:c=sinA:sin B :sin C ;a b csin sin 巳 sin Ca _ bsinsin 巳csinC6、兩類正弦定理解三角形的問題:已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）7、余弦定理：在 A ABC 中，有 a2 =b2 +c2 -2bccosA ,b2 = a2 +c2 -2accosB , c2 = a2 + b2 -2abcosC .22222.2

3、2.228、余弦定理的推論 ：cos A =- , cosB = , cosC =.2bc2ac2ab（余弦定理主要解決的問題：1.已知兩邊和夾角，求其余的量。2.已知三邊求角）9、余弦定理主要解決的問題 ：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角）10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè)a、b、c是 ABC的角A、B、C的對邊，則：若 a2 +b2 =c2,則 C =90, ；若 a2 +b2 >c2,則 C <90' ；若 a2 +b2 <c2,則 C > 90 .注：正余弦定理的綜合應用：如圖所

4、示：隔河看兩目標A、B,但不能到達，在岸邊選取相距 J3千米的C、D兩點，并測得/ ACB=75O, / BCD=45, / ADC=30,/ADB=45（A、B、C、D在同一平面內(nèi)）,求兩目標 A、B之間的距離。解：(1)(2)(3)_a2 sin.ff sinCS二2sin( 3 + C)b2 sinCsin J2sin(C + A)c2 sin A sin B2sin(4 + B)(4)S=2RzsinAsinBsinCa (月為外接圓半徑)(5)5=也4R精品文檔11、三角形面積公式:S = -aho =-bhb=-chc "八h八 兒分別表示唳b、匕上的高);222S= -

5、absnC= - bcsinA= - 0匚sin8：222(6)S= >1 p(p a) (p b) p c)； 12、三角形的四心：垂心一一三角形的三邊上的高相交于一點重心一一三角形三條中線的相交于一點（重心到頂點距離與到對邊距離之比為2:1 ）外心一一三角形三邊垂直平分線相交于一點（外心到三頂點距離相等）內(nèi)心一一三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點（內(nèi)心到三邊距離相等）附加：特殊用的三角函數(shù)址角度口0*30*第“601120 °135 51500180 g270°360 "a的鄴度a第6了4ip3i2jt ?3 .75, 6了2sin aQl叵7l立2v 一1

6、20- 10COS 口i亙在 y12012立正 -I01tan ff0呈1V7-V74 百300第二章數(shù)列1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù).2、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù).3、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.4、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.5、遞增數(shù)列：從第 2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列（即：an+i>an）6、遞減數(shù)列：從第 2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列（即：an+i<an）7、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列（即：an+i=an） .8、擺動數(shù)列：從第 2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.9、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系的公

7、式.10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項斗與它的前一項an,（或前幾項）間的關(guān)系的公式.11、如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù) 稱為等差數(shù)列的公差.符號表示 ：an書-an = d。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：an an=d（n “,d為常數(shù)）2 an =an書+an/（n 22） an =kn+b （ n,k 為常數(shù)12、由三個數(shù)a, A, b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則A稱為a與b的等差中項.則稱b為a與c的等差中項.13、若等差數(shù)列an的首項是a1,公差是d ,則an =a +（n 1 ）d .14、通

8、項公式的變形： a =a/（n-m）d ； q = a -（n-1H ； d = an-a ； n = &+1 ； d = a-amffn-1dn- m15、若an是等差數(shù)列，且 m + n = p + q（m、n、p、qWN）,則sm+縱 = a）*aq；若 an是等差數(shù)列，且 2n = p +q （ n、p、q w N*）,則 2al = ap + 4.n ai ann n-116.等差數(shù)列的前n項和的公式：Sn =2；Sn = na+2d -sn=aia2lllan17、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：Swan若項數(shù)為2n（nWN ）,則 邑=1® 不十），且%-%=nd,-

9、= .Sf 禺a(chǎn)n 1精品文檔.一、 * _右項數(shù)為2n1（nw N ）,則S2n=（2n1 月n，且 Sf 一年 = aSrn（其中S奇=nan ,S偶=n -1 問）.18、如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.符號表示：an±=q （注：等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項；同號位上的值同號）an注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:an =anq（n之2,q為常數(shù)，且.0）為 a n an + a n _1 （ n 2 2 , a n an +a n _1 #0）D an =cqn （ c,q為非零常數(shù)）

10、.正數(shù)列an成等比的充要條件是數(shù)列 logx an （xAl）成等比數(shù)列.19、在a與b中間插入一個數(shù) G ,使a , G , b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項.若G2 = ab,則稱G為a與b的等比中項.（注：由 G2=ab不能彳#出a , G, b成等比，由a, G, b= G2 = ab）20、若等比數(shù)列an的首項是a1,公比是q ,則an=a1qn，21、n-m通項公式的變形： an = amq；-n -1 a1 = anqan;a1n -manqa m22、若an是等比數(shù)列，且m +n = p + q*p、q 匚 N）,則 am a = ap aq ；右an是等比數(shù)列,精品文檔

11、r c2且 2n = p +q （ n、 p、q w N）,則 an = a23、等比數(shù)列an）的前n項和的公式：na q =1a 1 Ya1 -anqI. i-qi -q. s1=a1+a2+lll + anq=1s1 = a1（n = 1）=<_sn Sn/（n*2）24、對任意的數(shù)列 an的前n項和Sn與通項an的關(guān)系：an注:an q1 +（n -1 d =nd +（%Y ） （ d可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）,若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）等差an前n項和Sn=An2%n = 1 d n2-ai-d n 一9可以為零也可不為零一為等差的充要條

12、件一若d為2 2 2零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列） 附：幾種常見的數(shù)列的思想方法:1 .等差數(shù)列的前n項和為Sn ,在dY0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法: 一是求使an之0,anL0'成立的n值；二是由Sn =# +-3利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.2 .數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應關(guān)系如下：數(shù)列通項公式對應函數(shù)等差數(shù)列m口 =+ (題 l)d = d司 +-d)尸-赤+8 （d=。時為一次函數(shù)）等比數(shù)列n-1 夫?厘理=京10= 1 q（指數(shù)型函數(shù)

13、）數(shù)列前n項和公式對應函數(shù)數(shù)列前n項和公式對應函數(shù)等差數(shù)列% =曲 +2" = 2 甩 + 叫 一 2”1y=時為二次函數(shù)）等比數(shù)列1-(71 -(71y二曰反與+B （指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項公式以及前n項和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)列前n項和3 .如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應項乘積,的推倒導方法：錯位相減求和111.例如：1 一 ,3一,.(2n1)一，242n公差是4 .兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一

14、個相同項, 兩個數(shù)列公差d1, d2的最小公倍數(shù)a 一5 .判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法：對于n>2的任意自然數(shù)，驗證an - an（-an-）an為同一常數(shù)。（2）通項公式法。（3）中項公式法：驗證2an卡=an + anq （a2+=anan七）n e N都成立。Zm之06 .在等差數(shù)列 an 中，有關(guān)S的最值問題：（1）當a1 >0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得Sm取最大值.（2）©m 由 E 0,am <0，當ai<0,d>0時，滿足J m 的項數(shù)m使得sm取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時，注意轉(zhuǎn)化思想的應

15、1am中至0用。附：數(shù)列求和的常用方法1 .公式法：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。 r、_ 、_一 c ，一一 2 .裂項相消法：適用于，>其中 an是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列jan卡,1例題：已知數(shù)列an的通項為an=，求這個數(shù)列的刖 n項和Sn.n(n 1)111解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an= Sn = da2一 1、,.an.1 1n n 1（1 一2） （2 一3）（n 一常）:1，n 13 .錯位相減法：適用于anbn 其中 an 是等差數(shù)列，bn 是各項不為0的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列an的通項公式為an=n 2n,求這個數(shù)列的

16、前 n項之和sn。解：由題設(shè)得：Sn =a1 . a2a3 . an123n=1 2 2 23 2 n 2即 sn=1 21 +2 22 +3 23 十十 n 2n把式兩邊同乘2后得2sn = 1 22 +2 23 +3 24 +' "+n 2n+ 用-，即：sn=1 21 +2 22 +3 23 +,+口 2n / / / ff率 T善善*安*JJ?2sn = 1 22 +2 23 +3 24 +'''+n 2n+ 得-Sn =1 2+22 +23 + +2n -n 2n +2(1 2n)1 -2n 1n 1=2-2-n 2二(1 -n)2n 1 -

17、2 & =(n-1)2n1 24 .倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導方法.5 .常用結(jié)論1) : 1+2+3+.+n =n(n 1)2)1+3+5+.+(2n-1) = n23) 13十23十十n4) 1222 32n2 =1n(n 1)(2n 1)65111n(n 1) n n 111 1="(-n(n 2)2 nc、 11/11、/、6)=(-) (p < q)pq q - p p q項目、等差數(shù)列an等比數(shù)列an定義an 掰an = dan書' 二q an通項公式an =4 + (n -1 )dnan = aqan =am +(n - m)dn

18、-man = amq前n項和n(a1 +an )jST )Sn =c= na1 +cd22Sn ='nai(q=1)T：)_M 學 qi等差（比）中項2an 十a(chǎn), * an 史2an十二an ar附加：重點歸納等差數(shù)列和等比數(shù)列（表中m, n, p, q w N十）公差（比）d = an -am（m。n）n - mqn“am性質(zhì)m+n=p+q= am+an=ap+aqm + n = p + q= am，an = ap，aqm+n=2p= am+an =2apm+n = 2p= am an =ap2Sm,S2mSm,S3mS2mH 成等差數(shù)列，公差為m2d （ Sn是前n項和）TmTm

19、TmJH成等比數(shù)列，公Tm T2mm2比為q（Tn是前n項積）am,am#,am.III仍然皮段數(shù)列，其公差為kdam,am«am卻,111仍然讓比數(shù)列，其公比為qkkan +b是等差數(shù)列bak是等比數(shù)列（b#0）單調(diào)性d>0,L ;d <0,L ;d =0,常數(shù)列ai >0 時，q >lL , 0 < q < 1,L ;ai c0 時，q >lL , 0 cqM 1,l_ ;q=1為常數(shù)列；q < 0為擺動數(shù)列2.等差數(shù)列的判定方法：（a,b,d為常數(shù)）.定義法：若 an書an=d.等差中項法：若 2an=an+an_21=a為等差數(shù)

20、列r.通項公式法：若 an =an+b.前n項和法：Sn =an2 +bnJ3.等比數(shù)列的判定方法：（k, q為非零常數(shù)）an - _.定義法：若 =q、an.等比中項法：若an-=anand2> = %為等比數(shù)列.通項公式法：若an =kqn.前n項和法：Sn=kkqn第三章不等式-、不等式的主要性質(zhì)：(1)對稱性： a >b- b <a(2)傳遞性：a > b, b >c=i a >c(3)加法法則：aAb=a+c：>b+c；(4)同向不等式加法法則：a >b,c>da+cb+d5 5) 乘法法則： a ：>b,c >0=

21、ac > bc; a > b,c < 0= ac < bc(6)同向不等式乘法法則：a>b>0,c>d>0=> aobd(7)乘方法則：a >b>0=> an >bn(nw N *且門 >1)(8)開方法則：a Ab >03 "a > n/b(n w N * 且n >1)11(9)倒數(shù)法則：a Ab,ab>0= <a b元二次不等式 ax2 + bx + c >0和ax2 + bx + c < 0(a # 0)及其解法A>0& =0 <0二

22、次函數(shù)y =ax2 +bx +cy =ax2 + bx + c= a(x m)(x x2)VLLy =ax2 + bx +c =a(x -x1 )(x - x2)2y = ax + bx + c1(a >0)的圖象tr1LD X1=KZX-Tt二次方程2_i_ 1_i_八ax + bx + c = 0(a >0 )的根后兩相異實根x1 ,x2(x1 <x2)后兩相等實根bx1 x2 一2a無實根ax2 + bx + c > 0 (a >0)的解集4|x < x1 或x >x2 R_ 2 ,一 八ax +bx+c<0(a > 0)的解集x|x

23、1 < x <x2 006 . 一元二次不等式先化標準形式（a化正）7 .常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式?？谠E：在二次項系數(shù)為正的前提下：“大于取兩邊，小于取中間”三、均值不等式Tab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).a,b是正數(shù)，那么1、設(shè)a、b是兩個正數(shù)，則 a上稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，22、基本不等式（也稱均值不等式）： 若a >0均值不等式：如果 a+b至2 JOb即ab 2 JOB（當且僅當a=b時取"="號）. 注意：使用均值不等式的條件：一正、二定、三相等3、平均不等式：（a、b為正數(shù)），即、a ' b ab22,之一一（

24、當a = b時取等）11a ba2 b24、常用的基本不等式： a2 +b2之2ab a,bw R ；ab <(a,bw R )；2否,Ja+b ；/ 小 a2+b2、fa + bF/，一 ab M （a >0,b >0 ）;之 （a, b= R）.2225、極值定理：設(shè) x、y都為正數(shù)，則有：2若x+y = s （和為定值），則當 x = y時，積xy取得最大值 且.若xy = p （積為定值），則當 x=y時,4和x + y取得最小值2 Jp .四、含有絕對值的不等式1 .絕對值的幾何意義：|x|是指數(shù)軸上點x到原點的距離；|x -x2 |是指數(shù)軸上x1,x2兩點間的距離

25、； 代數(shù)意aa 0義：|a |=« 0a =0-a a <02、如果a a 0,則不等式:| x |> a <=> x >a 4?；x < -a；|x|至 a <=> x > a 4?；x < -a|x|<a <=> 一a<x<a ；| x |<a <=> -a < x <a4、解含有絕對值不等式的主要方法：解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號五、其他常見不等式形式總結(jié)：g(x)f(x)g(x) -0 g(x) :0分式不等式的解法：先移項通分標準化，則f(

26、x)-H>0 f(x)g(x)>0； g(x)指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式a f(x) >ag(x)(a >1) f(x)g(x)； af(x) >ag(x)(0<a <1) f (x) < g(x)對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式f(x) 0f(x) 0lOga f (x) >lOga g(x)(a>1)U <g(x)>0loga f ( x) A loga g( x)(0 < a < 1) U g(x)>0f (x)> g(x)f (x)<g(x)_ _高次不等式：數(shù)軸穿線法口訣：“從右向左，

27、自上而下；奇穿偶不穿，遇偶轉(zhuǎn)個彎；小于取下邊，大于取上邊” 2 2例題：不等式(x 3x+2)(x4) E0的解為()x 3A. 1<xwi 或 x>2B. x<- 3 或 1wxW2C. x=4 或3<xW 1 或 x> 2D. x=4 或 x< 3 或 1 w xW 2六、不等式證明的常用方法：作差法、作商法 七、線性規(guī)劃1、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.2、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組.3、二元一次不等式(組)的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(x, y),所有這樣的有序數(shù)對(x, y )構(gòu)成的集合.4、在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0,坐標平面內(nèi)的點 P(x0,y0).若 B>0, Ax。+By0+C >0,則點 P(x0,y0 )在直線 Ax+By+C = 0 的上方.若 B