第4章 §3 3.1　平面圖形的面積+3.2　簡單幾何體的體積

1、.§3定積分的簡單應用3.1平面圖形的面積3.2簡單幾何體的體積1.會用定積分求平面圖形的面積.重點2.會用定積分求簡單幾何體的體積.重點3.理解建立實際問題的積分模型的根本過程和方法.難點根底·初探教材整理1平面圖形的面積閱讀教材P87P88“例3以上部分，完成以下問題.1.當xa，b時，假設fx>0，由直線xa，xbab，y0和曲線yfx所圍成的曲邊梯形的面積Sfxdx.2.當xa，b時，假設fx<0，由直線xa，xbab，y0和曲線yfx圍成的曲邊梯形的面積Sfxdx.圖4­3­13.當xa，b時，假設fx>gx>0，由直線

2、xa，xbab和曲線yfx，ygx圍成的平面圖形的面積Sfxgxdx.如圖4­3­1判斷正確的打“，錯誤的打“×1曲線ysin x，x與x軸圍成的圖形的面積為sin xdx.2曲線yx3與直線xy2，y0圍成的圖形的面積為x3dx2xdx.3曲線y3x2與直線y1圍成的圖形的面積為4x2dx.【答案】1×23教材整理2簡單旋轉(zhuǎn)幾何體的體積閱讀教材P89P90“練習以上部分，完成以下問題.旋轉(zhuǎn)體可看作由連續(xù)曲線yfx，直線xa，xb及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體，該幾何體的體積為Vfx2dx.由yx2，x1和y0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)

3、所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為A.B.C.D.【解析】Vy2dxx22dxx5.【答案】C質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型利用定積分求平面圖形的面積1求由直線yx3，曲線yx26x13所圍圖形的面積S；2求由曲線yx2，直線y2x和yx圍成的圖形的面積.【精彩點撥】1作出兩函數(shù)的圖像，并求其交點坐標.確定積分區(qū)間，利用定積分求面積S.2求出三條曲線的不同的交點橫坐標，將積分區(qū)間細化，分別求出相應區(qū)間曲邊梯形的面積再求和，注意在每個區(qū)間上被積函數(shù)均是由上減下.【自主解答】1作出直線yx3，曲線yx26x13的草圖

4、，所求面積為圖中陰影部分的面積.解方程組得交點坐標為2，5和5，8.因此，所求圖形的面積Sx3dxx26x13dxx27x10dx.2法一：由和解出O，A，B三點的橫坐標分別是0，1，2.故所求的面積S2xxdx2xx2dx0.法二：由于點D的橫坐標也是2，故S2xxdxx2xdx2.法三：因為，.故所求的面積為Sdydyy2.求由兩條曲線圍成的平面圖形的面積的解題步驟：1畫出圖形；2確定圖形范圍，通過解方程組求出交點的坐標，定出積分上、下限；3確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)圖像上、下位置；4寫出平面圖形面積的定積分表達式；5運用微積分根本公式計算定積分，求出平面圖形的面積.再練一題1.

5、由拋物線yx2x，直線x1及x軸圍成的圖形的面積為 【導學號：94210075】A.B.1C.D.【解析】由圖可知，所求面積Sx2xdxxx2dx1.【答案】B求簡單幾何體的體積求由曲線yx2與y所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【精彩點撥】所求旋轉(zhuǎn)體的體積可由兩個不同的旋轉(zhuǎn)體的體積作差得到，再利用定積分求解即可.【自主解答】曲線yx2與y所圍成的平面圖形如圖陰影部分所示.設所求旋轉(zhuǎn)體的體積為V，根據(jù)圖像可以看出V等于曲線y，直線x2與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積設為V1減去曲線yx2，直線x2與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積設為V2.V12

6、dx2xdx2·x24，V2dxx4dx×x5，所以VV1V24.1.兩個曲線圍成的圖形的面積旋轉(zhuǎn)而成的圖形的體積是兩個體積的差，即Vf2xdxg2xdx，而不能寫成Vfxgx2dx.2.求簡單旋轉(zhuǎn)體的體積時，首先要畫出平面圖形，分析旋轉(zhuǎn)體的形狀，再利用體積的定積分表達式Vf2xdx求解.再練一題2.設平面圖形由上的曲線ysin x及直線y，x圍成，求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【解】先畫草圖.設fxsin x，x，gx.那么fx與gx的交點為.Vdxdxdx.探究共研型定積分的綜合應用探究1設a0，假設曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，試求a的值

7、.【提示】由得Sdxxaa2，所以a，所以a.探究2假設兩曲線yx2與ycx3c>0圍成圖形的面積是，試求c的值.【提示】由得x0或x.0<x<時，x2>cx3，S x2cx3dx.c3，c.在曲線yx2x0上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為，試求切點A的坐標及過切點A的切線方程.【精彩點撥】設出切點坐標，寫出切線方程，利用定積分可列方程，解方程求得切點坐標，進一步求出切線方程.【自主解答】設切點Ax0，x，切線斜率為k2x0，切線方程為yx2x0xx0.令y0，得x，如圖，Sx2dx x22x0xxdxx.x，x01.切點A的坐標為1，1，切線方

8、程為y2x1.1.此題中求面積S時，易錯誤地寫成Sx22x0xxdx.錯誤原因是沒能分割好圖形.2.關于導數(shù)與積分的綜合題，要充分利用導數(shù)的幾何意義，求切線的斜率或方程，利用定積分的幾何意義求面積，進而解決問題.再練一題3.如圖4­3­2，設點P在曲線yx2上，從原點向A2，4挪動，假如直線OP，曲線yx2及直線x2所圍成的面積分別記為S1，S2.圖4­3­21當S1S2時，求點P的坐標；2當S1S2有最小值時，求點P的坐標和最小值.【解】1設點P的橫坐標為t0<t<2，那么P點的坐標為t，t2，直線OP的方程為ytx.S1txx2dxt3，

9、S2x2txdx2tt3.因為S1S2，所以t，點P的坐標為.2SS1S2t32tt3t32t，St22，令S0得t220.因為0<t<2，所以t，當0<t<時，S<0；<t<2時，S>0.所以，當t時，S1S2有最小值，此時點P的坐標為，2.構建·體系1.用S表示圖4­3­3中陰影部分的面積，那么S的值是圖4­3­3A.fxdxB.C.fxdxfxdxD.fxdxfxdx【解析】xa，b時，fx<0，xb，c時，fx>0，陰影部分的面積Sfxdxfxdx.【答案】D2.直線yx，x1及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積是A.B.C.D.1【解析】Vx2dxx3.【答案】B3.由yx2，yx2及x1圍成的圖形的面積S_.【解析】圖形如下圖，Sx2dxx2dxx2dxx3.【答案】4.由yx2，yx所圍成的圖形繞y軸