自動控制原理習題4含答案

1、第四章習題及答案4-1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 試證明點在根軌跡上，并求出相應的根軌跡增益和開環(huán)增益。解 若點在根軌跡上，則點應滿足相角條件，如圖解4-1所示。對于= -1+j，由相角條件滿足相角條件，因此= -1+j在根軌跡上。將代入幅值條件：解出 ：=12 ，K=4-2 已知開環(huán)零、極點如圖4-2 所示，試繪制相應的根軌跡。 （）（）（）（）（）（）（）（） 題4-2圖 開環(huán)零、極點分布圖解 根軌如圖解4-2所示：圖解4-2 根軌跡圖 4-3 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。 解 =系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：,= -2, = -5 實軸上的根軌跡： , 漸近線： 分離點：解之

2、得：，(舍去)。 與虛軸的交點：特征方程為 D(s)=令 解得與虛軸的交點（0，）。根軌跡如圖解4-3(a)所示。 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：, 漸近線： 分離點： 用試探法可得 。根軌跡如圖解4-3(b)所示。 =根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：, 分離點： 解之得：d= -0.293,d= -1.707。根軌跡如圖解4-3(c)所示。4-4單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下，試概略繪出相應的根軌跡。 解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 分離點：解之得： 起始角： 由對稱性得另一起始角為 。根軌跡如圖解4-4(a)所示。 系統(tǒng)有三個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點。 根軌跡繪制如下： 實軸上

3、的根軌跡： 起始角： 根軌跡如圖解4-4(b)所示。 4- 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下，試概略繪出相應的根軌跡。 解 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解之得：d= -2, d= -3.33。與虛軸交點：D(s)=s3+8s2+20s+把s=j代入上方程，整理，令其實、虛部分別為零得：解得： 起始角：由相角條件 ，。根軌跡如圖解4-5(a)所示。 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解之得：d1= -4.06，d2= -0.399，d3= -1.54(舍去)； 與虛軸交點：D(s)=s4+8s3+17s2+10s+K令s=j，帶入特征方程，令實部，虛部分別為零解得： 根軌跡如圖解4-5(b)

4、所示。 系統(tǒng)有四個開環(huán)極點、一個開環(huán)零點。根軌跡繪制如下：實軸上的根軌跡： 漸近線： 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（s）=s(s+3)(s2+2s+2)+(s+2)=0把s=j代入上方程，令解得： 起始角根軌跡如圖解4-5(c)所示。 系統(tǒng)根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解得：d1= -2.26 , d2=0.49 , d3,4= -0.76(舍去) 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（s）=s(s-1)(s2+4s+16)+(s+1)=0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：解得： 起始角：由對稱性得，另一起始角為 ，根軌跡如圖解4-5(d)所示。4- 已知單位反饋

5、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，要求： （1）確定產生純虛根為的值和值；（2）概略繪出的閉環(huán)根軌跡圖（要求確定根軌跡的漸近線、分離點、與虛軸交點和起始角）。解（1）閉環(huán)特征方程有 =0令實虛部分別等于零即： 把=1代入得： ， 。（2）系統(tǒng)有五個開環(huán)極點：， = -1 = -3.5 = -3+j2 = -3-j2 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點： 解得： d1= -0.45 , d2=-2.40 (舍去) ,d3,4= -3.25 (舍去)與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（s）=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3-j2)+=0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得： 解得： ，（舍去

6、） 起始角：根據法則七（相角條件），根軌跡的起始角為圖解4-6 根軌跡圖由對稱性得，另一起始角為 ，根軌跡如圖解4-6所示。4- 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 分離點：解之得：d= -3.29 d= 0.71(舍去)與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（S）=+=0圖解4-7 根軌跡圖把s=j代入上方程，令 解得： 起始角： 解出 根軌跡如圖解4-7所示。4- 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試用根軌跡法確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 起始角：漸近線： 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程D(s)=s(s2+3s+

7、9)+ =0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：圖解4-8 根軌跡圖解得： 根軌跡如圖解4-8所示。從根軌跡圖可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍為0<<27，又，故相應的的范圍為0<<3。4-單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 試繪制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D（S）=+(2-)S+-1=0把代入上方程，令圖解4-9 根軌跡圖解得： ，根軌跡如圖解4-9所示。由圖解4-9可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為 。4-10單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 試繪制系統(tǒng)根軌跡，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解 根軌跡繪

8、制如下： 實軸上的根軌跡： 分離點：由 解得： d1= -0.41 。 與虛軸交點：D(s)=(s+2)(s-0.5)+(s2-2s+5)=0把s=j代入上方程，令圖解4-10 根軌跡圖解得： 根軌跡如圖解4-10所示。由圖解4-10可知系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為0.2<<0.75 又 =5， 所以系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍為1<<3.75。4-11 試繪出下列多項式方程的根軌跡。； 解 作等效開環(huán)傳遞函數 。根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 圖解4-11(a) 根軌跡圖 起始角： 根軌跡如圖解4-11(a)所示。(2) 作等效開環(huán)傳遞函數 。根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡

9、：,； 漸近線： 圖解4-11(b) 根軌跡圖 分離點： 解得 ,(舍),(舍) 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：試根可得： 根軌跡如圖解4-11(b)所示。4-12 控制系統(tǒng)的結構如題4-12圖所示，試概略繪制其根軌跡。解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為題4-12圖 系統(tǒng)結構圖此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應繪零度根軌跡。 實軸上的根軌跡：, 分離點： 解得 d= -0.5 起始角：根據相角條件， 得 ，。根軌跡如圖解4-12所示。圖解4-12 根軌跡圖4-13 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為試繪制其根軌跡，并求出使系統(tǒng)產生重實根和純虛根的值。解 由開環(huán)傳遞函數的表達式知需

10、繪制根軌跡。 實軸上的根軌跡： ； 分離點： 解得： = -0.732 , = 2.732將s= -0.732,s= = 2.732 代入幅值條件得= 0.54 , =7.46 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為圖解4-13 根軌跡圖把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：解得： 根軌跡如圖解4-13所示，復平面上的根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到分離點的距離為半徑的圓 。系統(tǒng)產生重實根的為0.54，7.46，產生純虛根的為2。4-14 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下，試繪制參數從零變到無窮時的根軌跡圖，并寫出時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數。（1）（2）解 （1）做等效開環(huán)傳遞函數G(s)=實軸上的

11、根軌跡：圖解4-14(a) 根軌跡圖分離點：解得：d1= -0.472 (舍去)， d2=-8.472如圖解4-14(a)所示，根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到開環(huán)極點的距離為半徑的圓。 當時，兩個閉環(huán)特征根為。此時閉環(huán)傳遞函數為（2）做等效開環(huán)傳遞函數G(s)=實軸上的根軌跡： 圖解4-14(b) 根軌跡圖分離點： 解得：d= -20根軌跡如圖解4-14(b)所示， 當時，兩個閉環(huán)特征根為，此時閉環(huán)傳遞函數為4-15 已知系統(tǒng)結構圖如題4-15圖所示，試繪制時間常數變化時系統(tǒng)的根軌跡，并分析參數的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。解：作等效開環(huán)傳遞函數題4-15圖 系統(tǒng)結構圖根軌跡繪制如下： 實

12、軸上的根軌跡：, 分離點： 解得 d= -30。 根據幅值條件，對應的。 虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：解得： 圖解4-15 根軌跡圖 起始角：參數從零到無窮大變化時的根軌跡如圖解4-15所示。從根軌跡圖可以看出，當時，系統(tǒng)階躍響應為單調收斂過程；時，階躍響應為振蕩收斂過程；時，有兩支根軌跡在s右半平面，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。4-16 實系數特征方程 要使其根全為實數，試確定參數的范圍。解 作等效開環(huán)傳遞函數 當時，需繪制根軌跡。 實軸上的根軌跡： ， 漸近線： 分離點： 解得 分離點處的根軌跡增益可由幅值條件求得： 根據以上計算，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。

13、由根軌跡圖解4-16(a)可以看出，當時，多項式的根全為實數。當時，需繪制根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為：， 。由根軌跡圖圖解4-16(b)可以看出，當時，多項式的根全為實數。因此所求參數的范圍為或。4-17 某單位反饋系統(tǒng)結構圖如題4-17圖所示，試分別繪出控制器傳遞函數為 題4-17圖 系統(tǒng)結構圖題4-17圖 系統(tǒng)結構圖時系統(tǒng)的根軌跡，并討論比例加微分控制器中，零點的取值對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解 時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為G（C）=根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 根軌跡如圖解4-17(a)所示。 ；系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為G（s）=，根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線：根軌跡如圖解4

14、-17(b)所示。 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為G（C）=。圖解4-17(c) 根軌跡圖根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 漸近線： 根軌跡如圖解4-17(c)所示。從根軌跡圖中可以看出，比例加微分控制器的加入使根軌跡向左移動，且當時系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，附加開環(huán)零點越靠近虛軸這種趨勢越強。4-18 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 試根據系統(tǒng)根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，并估算時的值。解 根軌跡繪制如下： 實軸的根軌跡：實軸上的除點外沒有根軌跡區(qū)段。圖解4-18 根軌跡圖 漸近線： 與虛軸交點：令，解得根軌跡與虛軸交點為。根軌跡與虛軸交點對應的根軌跡增益為 相應開環(huán)增益為 根軌跡如圖解4-18所示。從根軌跡圖中可以看出，當根軌跡增益，開環(huán)增益，根軌跡全在左半s平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；當軌跡增益，開環(huán)增益，有兩條根軌跡落在右半s平面，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。 對二階系統(tǒng)來說，當時，。系統(tǒng)阻尼角為 在s平面作等阻尼線OA，使之與實軸夾角為。OA與根軌跡交點為，其余3個交點為，和。而本系統(tǒng)為四階系統(tǒng)，其閉環(huán)極點分布滿足主導極點的分布要求，可以認為，、是主導極點，忽略、作用，將該系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)。不難計算，帶入幅值條件可得對應根軌跡增益為： 4-19 單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為 要求閉環(huán)系統(tǒng)的最大超調量，調節(jié)時間，試選擇值