壓力容器厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析

1、3/7/2022.第二章第二章 厚壁圓筒的彈厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析塑性應(yīng)力分析 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 23/7/2022.第一節(jié)第一節(jié) 厚壁圓筒的彈性應(yīng)力分析厚壁圓筒的彈性應(yīng)力分析如圖所示的內(nèi)半徑為 ，外半徑為 的厚壁圓柱形筒體，承受內(nèi)壓為 ，外壓為 。 RiR0pip0 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 33/7/2022.在P點處用相距d 的兩個同心圓柱面，互成d 角的兩個相鄰縱截面及相距d 的兩個水平面截取一個微小扇形六面體，如下圖所示。rz 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 43/7/2022.1平衡方程一、 厚壁圓筒基本方程 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page

2、 - 53/7/2022.Fz0(d ) d dd d(d )(d )d dd dd d dzzzrzrzrzzzz rrrrrr rrzrzK r rz0Fr00ddddddd)d(2dsindd2dddd)d)(d(zrrKrrrrzzzrzrzrrrrrrzrzzrrrr 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 63/7/2022.因為 值很小, 可取 ，化簡并略去高階微量，得d2d2dsinrzrrrzrzrzzrzrKzrrK00(2-1) 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 73/7/2022.在 - 平面內(nèi)，沿r和z方向取微小長度PA = dr，PC = dz。假設(shè)變形后P，A，

3、C分別移動到P，A，C。 rz. 幾何方程 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 83/7/2022.n由幾何變形關(guān)系，可求得線段 的正應(yīng)變 為n線段PC的正應(yīng)變 為nPA和PC間的直角變化，即剪應(yīng)變?yōu)镻ArrurrurruurPAPAAPrdd)d(d zzwzzwzzwwzPCPCCPzdd)d(d zurwzr21 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 93/7/2022.在r- 的平面內(nèi)，沿r和方向取微元線段PA = d r，PB = rd，變形后，P，A，B分別移動到P，A，B。由于對稱性，P點和B點移到P點和B的位移分量均為 ，A點移到A點的位移分量為uuurrd 厚壁圓筒的彈塑性

4、應(yīng)力分析Page - 103/7/2022.P BPBPBrurrur()ddd 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 113/7/2022.由此，空間軸對稱的幾何方程為rururrwzzurwzr(2-2) 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 123/7/2022.物理方程或?qū)懗?r zr zrzzzrzrrEEEE)1 ( 2)(1)(1)(1rzrzzzrrEeEeEeE)1 (2)21(1)21(1)21(1(2-3)(2-4) 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 133/7/2022.對于承受均勻內(nèi)、外壓的厚壁圓筒，若筒體的幾何形狀、載荷、支承情況沿z軸沒有變化，所有垂直于軸線的

5、橫截面在變形后仍保持為平面，則 ，即 只決定于r， 只決定于z。 zrzr00，uw 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 143/7/2022.則平衡方程（不計體力）為0dd0ddzrrzrr(2-5) 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 153/7/2022.幾何方程為zwruruzrdd,dddd(dd)()rrururrr11變形協(xié)調(diào)方程 (2-6)(2-7) 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 163/7/2022.物理方程或?qū)懗?(2-8)(2-9)(1zrrE)(1zrE)(1rzzE)21(1eErr)21(1eE)21(1eEzz 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1

6、73/7/2022.(2-10)rrE1()dd(dddd)rErrr1由式（2-8）可得到 將以上兩式代入式（2-7），得到以應(yīng)力分量表示的變形協(xié)調(diào)方程 dddd()rrrrr1 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 183/7/2022.本節(jié)采用位移法求解在均勻內(nèi)、外壓作用下的厚壁圓筒。將幾何方程式代入物理方程式，得出用位移分量表示的物理方程)21dd(1)21(1)21dd(1ezwEeruEeruEzr（2-11） 二、厚壁圓筒的應(yīng)力和位移解二、厚壁圓筒的應(yīng)力和位移解 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 193/7/2022.將上式代入平衡方程式，得它的通解為 （2-13） 式中 為

7、積分常數(shù) 0dd0dd1dd22222zwrururru（2-12）uc rcr12c c12, 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 203/7/2022.將式（2-13）代入式（2-11），得到式中ZzrEcrccrcc32432432（2-14）24131211cEccEcZ（2-15） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 213/7/2022.當(dāng)厚壁圓筒同時承受均勻內(nèi)壓 和均勻外壓 時，其邊界條件為 將邊界條件代入式（2-14），得pipo00,pRrpRrriri2222422223)(iooioiioooiiRRppRRcRRpRpRc（b）（a） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Pag

8、e - 223/7/2022.將 、 值代入式（2-14），得 即為著名的拉美（ ）方程式。 riioooiioiooiiioooiioiooiR pR pRRR RppRRrR pR pRRR RppRRr222222222222222222()()()()c3c4eLam （2-16） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 233/7/2022.軸向應(yīng)力 、軸向應(yīng)變 和徑向位移分量u，根據(jù)端部支承條件不同，分兩種情況討論： zz （1）兩端不封閉(開口)的筒體(如炮筒，熱套的筒節(jié)等）軸向變形無約束，軸向應(yīng)力為零，即0z（2-17） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 243/7/2022

9、.由式（2-14）的第三式及式（2-15），并代入 、 值，得c3c4ziioooiiioooiioiooiEcER pR pRRcEcER pR pRRcEcER RppRR 22111132222132222242222()（c） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 253/7/2022.將 、 值代入式（2-13），得兩端開口的厚壁圓筒的位移表達(dá)式uER pR prRRER RppRRriioooiioiooi1122222222()()()c1c2（2-18） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 263/7/2022.（2）兩端封閉的筒體（筒體端部有端蓋） 軸向應(yīng)力由軸向平衡條件求

10、得()RRR pR poiziioo222232222cRRpRpRioooiiz即 （2-19） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 273/7/2022.由式（2-14）的第三式、式（2-15），并代入 、 值，得ziioooiiioooiioiooiEcER pR pRRcEcER pR pRRcEcER RppRR121212121132222132222242222()c3c4（d） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 283/7/2022.將 、 值代入式（2-13），得兩端封閉的厚壁圓筒的位移表達(dá)式uER pR p rRRER RppRRriioooiioiooi121222

11、22222()()()c1c2（2-20） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 293/7/2022.（3）兩端封閉同時受軸向剛性約束的筒體（高壓管道或厚壁圓筒無限長）22224222223111121121iooioiioooiiRRppRRECECRRpRpRECEC)()()(2222322ioooiizRRpRpRC軸向變形受到約束，0z 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 303/7/2022.下面列出厚壁圓筒各種受力情況（兩端封閉）彈性狀態(tài)下的應(yīng)力及位移計算公式（1）厚壁圓筒同時作用內(nèi)、外壓 （ ）時ppi000,riioooiioiooiiioooiioiooiziioooi

12、R pR pRRR R ppRR rR pR pRRR R ppRR rR pR pRR2222222222222222222222()()()()uER pR p rRRER RppRRriioooiioiooi12122222222()()()（2-21） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 313/7/2022.引入徑比K（外徑與內(nèi)徑之比K=Ro/Ri），上式可寫為 rioooiooozioKpRrpKRrKpRrpKRrKpK p1111111122222222222222()()()()uEr KpK p rpp Rioioo111 212222()()()()()（2-22）（2

13、-23） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 323/7/2022.（2）厚壁圓筒僅作用內(nèi)壓( )時ppi000,1)1(1)1(12222222KprRKprRKpizoioirupEr KrRio()()()2221121（2-24）（2-25） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 333/7/2022.（3）厚壁圓筒僅作用外壓（ ）時ppi000,22222222221)(1)(1KKprRKKprRKKpozoooorupEr KK rRoo ()()()22221121（2-26）（2-27） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 343/7/2022. 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析

14、Page - 353/7/2022. (1) 在厚壁圓筒中，筒體處于三向應(yīng)力狀態(tài)，其中環(huán)（周）向應(yīng)力 為拉應(yīng)力，徑向應(yīng)力 為壓應(yīng)力，且沿壁厚非均勻分布；而軸向應(yīng)力 介于 和 之間，即 ，且沿壁厚均勻分布。rzrZr2 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 363/7/2022.（2）在筒體內(nèi)壁面處，環(huán)（周）向應(yīng)力 、徑向應(yīng)力 的絕對值比外壁面處為大，其中環(huán)（周）向應(yīng)力 具有最大值，且恒大于內(nèi)壓力 ，其危險點將首先在內(nèi)壁面上產(chǎn)生。rpi 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 373/7/2022.(3) 環(huán)（周）向應(yīng)力 沿壁厚分布隨徑比K值的增加趨向更不均勻，不均勻度為內(nèi)、外壁周向應(yīng)力之比，即

15、不均勻度隨 成比例，K值愈大，應(yīng)力分布愈不均勻。 21)()(2KOiRrRr2K（2-28） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 383/7/2022.三、溫差應(yīng)力問題 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 393/7/2022.取基準(zhǔn)溫度為0C，若彈性體的微單元體積加熱到tC，且允許自由膨脹，則此單元體在各個方向產(chǎn)生的熱應(yīng)變?yōu)椋?式中為彈性體的線膨脹系數(shù)，1/C；t為溫度差，。 ttzttr 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 403/7/2022.若彈性體受到約束，則在彈性體內(nèi)引起熱應(yīng)力，而熱膨脹不影響剪應(yīng)變，不產(chǎn)生剪應(yīng)力。因此，彈性體中每個單元體的應(yīng)變?yōu)闊釕?yīng)變與熱應(yīng)力引起的彈性應(yīng)變

16、所組成，即tzrtrzttrtztztztrtttzttrtrEtEtEtE)1 (2)(1)(1)(1（2-29） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 413/7/2022.或rtrtttztztzrtzrtGetGetGetG21 211 221 211 221 211 2()()()GE2 1()eEtrttztrttzt123()（2-30） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 423/7/2022.不計體力分量, 溫差應(yīng)力問題的平衡方程，00rrzrzrtrztrztzttrtrztr（2-1a） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 433/7/2022.zurwzwrurut

17、ttr zttzttttr,幾何方程 （2-2a） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 443/7/2022.n假設(shè)不計邊緣影響，在熱應(yīng)力狀態(tài)下，所有垂直于軸線的斷面變形相同，且保持平面，則， ，n且 為常量，徑向位移 只決定于r，軸向位移 只決定于z，沒有方向的位移。rtztrzt 0rtztzrt 0uwzt 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 453/7/2022.平衡方程幾何方程 0dd0ddzrrtzttrtrdzdwrudrduttzttttr,（2-5a）（2-6a） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 463/7/2022.n物理方程 )21121(2)21121(2)2

18、1121(2teGteruGtedrduGtztzttttreururtztdd式中（2-31） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 473/7/2022.將物理方程代到平衡方程,有上式中第一式可寫成0d11dd1dd22222zdwrdtdrururruttttdddd()ddr rrrutrt111（2-32） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 483/7/2022.對上式積分兩次，得將上式代入幾何方程式，得urtrrC rCrRri1112d常數(shù)zwrCCrr trrurCCtrr trruttzrRttrRttriiddd11d11dd22122212（2-33）（2-34） 厚

19、壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 493/7/2022.n將式（2-33）代入式（2-31），得溫差應(yīng)力表達(dá)式tztzrRtrRtrECtErCCtEdrr trErCCdrr trEii32432243221111）（）（1)21)(1 ()(2413ECCCECtz,3c,4c由應(yīng)力邊界條件決定。tz（2-35） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 503/7/2022.若厚壁圓筒僅沿筒壁存在溫度差，不承受其它載荷，則邊界條件為rRrRrrirtortztRRiO時 ，時 ，0020d（2-36） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 513/7/2022.將邊界條件代入式（2-35）

20、，得聯(lián)立求解上述方程組，得 ERtrrCCRERtrrCCRE tCErriRRioRRoztRRiiioio（）（）10102120234223423dddCERRtrrCR CERRtrrECRRtrroiRRioiRRztoiRRioioio32242322322112 12()()d()()d()d（2-37） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 523/7/2022.由傳熱學(xué)，圓筒體在穩(wěn)定傳熱情況下，沿壁厚任意點r處的溫度t分布為 （2-38） 將式（2-38）代入計算式中的積分式 ttRrtrRRRoioi12lnlnlnt r rRRrRrRRRrRtrRrRtoioioiii

21、iRridlnlnlnlnr1222222212222（2-39-a） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 533/7/2022.由此 t r rRRRRRRRtRRRRRtoiooioiioioiRRiOdlnlnln122222222221將式（2-39-b）代入式（2-37），得CERRRRRRRRRtRRRRRtCR CECoioiooioiioioiizt3222222222142332 1222 1()()lnlnln()（2-39-b） （2-40） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 543/7/2022.將式（2-39-a）、（2-40）代入式（2-35），經(jīng)化簡整理得厚

22、壁圓筒溫差應(yīng)力的表達(dá)式為rtooiooitooiooiztooioEttRrRRRrRREttRrRRRrRREttRrRRR ()()lnln()()lnln()()lnln122222122222122 1112 11112 1212221Ri（2-41-a） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 553/7/2022.令 ， ， ， ，則上式變?yōu)镵RRoiKRrrottt12PEttt()()122 1rttrrttrrzttrPKKKKPKKKKPKKKlnlnlnlnlnln22222111112121（2-41-b） 式（2-41）是厚壁圓筒僅存在徑向溫差時的應(yīng)力表達(dá)式。 厚壁圓筒

23、的彈塑性應(yīng)力分析Page - 563/7/2022.溫差應(yīng)力沿筒壁厚度的分布如圖2-6所示 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 573/7/2022.n厚壁圓筒中，溫差應(yīng)力與溫度差t成正比，而與溫度本身的絕對值無關(guān)，因此在圓筒內(nèi)壁或外壁進(jìn)行保溫以減小內(nèi)、外壁的溫度差，可以降低厚壁圓筒的溫差應(yīng)力。n三向應(yīng)力沿壁厚均為非均勻分布。其中，軸向應(yīng)力是環(huán)（周）向應(yīng)力與徑向應(yīng)力之和，即： 在內(nèi)、外壁面處，徑向應(yīng)力為零，軸向應(yīng)力和環(huán)（周）向應(yīng)力分別相等，且最大應(yīng)力發(fā)生在外壁面處。n溫差應(yīng)力是由于各部分變形相互約束而產(chǎn)生的，因此應(yīng)力達(dá)到屈服極限而發(fā)生屈服時，溫差應(yīng)力不但不會繼續(xù)增加，而且在很大程度上會得到緩

24、和，這就是溫差應(yīng)力的自限性，它屬于二次應(yīng)力。zttrt 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 583/7/2022.四、組合圓筒的應(yīng)力分析多層組合圓筒結(jié)構(gòu)是將厚壁圓筒分為兩個或兩個以上的單層圓筒，各層之間有一定的公盈尺寸，加熱使它們彼此套合在一起，冷卻后各層圓筒將產(chǎn)生預(yù)壓力，從而在各層套筒上產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力。這種利用緊配合的方法套在一起制成的厚壁圓筒稱為“組合圓筒”。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 593/7/2022.現(xiàn)以雙層熱套組合圓筒為例，如圖2-7所示，它是由內(nèi)、外兩層圓筒緊配合組成。套合前，內(nèi)筒內(nèi)半徑為R1i，外半徑為R1o；外筒內(nèi)半徑為R2i，外半徑為R2o。設(shè)半徑過盈量為 ，且

25、 R1o - R2i 。1 2 ,1 2 , 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 603/7/2022.在套合壓力p1,2作用下，內(nèi)筒外壁產(chǎn)生一向內(nèi)壓縮的徑向位移，外筒內(nèi)壁產(chǎn)生一向外膨脹的徑向位移，從而使內(nèi)、外筒緊密配合在一起。 （2-42） 1 212,uu 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 613/7/2022.n假定 ，所以組合圓筒預(yù)應(yīng)力為平面應(yīng)力問題。n可由拉美公式求出組合圓筒預(yù)應(yīng)力；由變形協(xié)調(diào)條件，求出內(nèi)、外筒接觸面間的套合壓力p1,2與過盈量間的關(guān)系。 z 0 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 623/7/2022.（一）、組合圓筒預(yù)應(yīng)力外筒（ R2i r R2o）：僅受

26、內(nèi)壓作用，由方程式（2-16）和式（2-18）， （2-43-a） （2-44-a）rioioioiopRRRRrpRRRRr1 22222222221 22222222211,upRE RRrRrioio1 22222222211,() 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 633/7/2022.在外筒內(nèi)壁面r= R2i 處 （2-43-b） （2-44-b） 222222222, 12, 1iooirRRRRppupRERRRRioioi21 2222222222, 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 643/7/2022.內(nèi)筒（R1i r R1o）：僅受外壓作用，由方程式（2-16）和

27、式（2-18） （2-45-a) （2-46-a)rooiiooiipRRRRrpRRRRr 1 21212121221 212121212211,uR pE RRrRrooii 121 212121211,()()() 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 653/7/2022.在內(nèi)筒外壁面r= R1o處 （2-45-b） （2-46-b） roioippRRRR 1 21 212121212,()upRERRRRooioi11 2112121212 , 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 663/7/2022.將 ， 代入式（2-42），且Rc R1o R2i，求得內(nèi)、外筒接觸面間的套合

28、壓力 為 u1u2p1 2 ,)()(2)()(2212222221232 , 1212222222121322 , 12 , 1iocoiccioioioiRRRRRRRERRRRRRREp（2-47） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 673/7/2022.（二） 組合圓筒綜合應(yīng)力式中， 表示組合圓筒中的綜合應(yīng)力， 表示由pi 引起的筒壁應(yīng)力， 為套合預(yù)應(yīng)力。 rrprpzzpzp（2-48） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 683/7/2022.以雙層熱套組合圓筒為例：內(nèi)筒（R1i r Rc）：承載時的綜合應(yīng)力由式（2-26）與式（2-45-a）疊加為 （2-49-a） 212

29、22122121222 , 122221222122121222 , 12222122211)1 (1)1 (ioiiziiccoioiiiiccoioiirRRRprRRRRprRRRRprRRRRprRRRRp 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 693/7/2022.在內(nèi)筒內(nèi)壁面r= R1i 處 （2-49-b） 21222121222, 1212221222iiiizicciiioiirRRRpRRRpRRRRpp 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 703/7/2022.外筒（Rc r R2o）：承載時的綜合應(yīng)力由式（2-24）與式（2-43-a）疊加為 （2-50-a） 212

30、2212222222, 122221222122222222, 12222122211)1 (1)1 (ioiizococoioiiococoioiirRRRprRRRRprRRRRprRRRRprRRRRp 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 713/7/2022.在外筒內(nèi)壁面r= Rc處 (2-50-b)2122212222222, 12222122212, 1222212221)()1 ()1 (ioiizcococoioiicoioiirRRRpRRRRpRRRRRppRRRRRp 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 723/7/2022.由于疊加了套合應(yīng)力，使內(nèi)筒內(nèi)壁面的環(huán)向應(yīng)力

31、降低，而外筒內(nèi)壁面的環(huán)向應(yīng)力增加，使整個組合圓筒的環(huán)向應(yīng)力沿壁厚方向趨于均勻分布。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 733/7/2022.第二節(jié)第二節(jié) 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析當(dāng)應(yīng)力分量的組合達(dá)到某一值時，則由彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，即在厚壁圓筒的截面上將出現(xiàn)塑性變形，并從內(nèi)壁開始形成塑性區(qū)。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 743/7/2022.彈性力學(xué)中，材料處于彈性范圍，物體受載后的應(yīng)力-應(yīng)變服從虎克定律，且加載、卸載時應(yīng)力和應(yīng)變之間始終保持一一對應(yīng)的線性關(guān)系。而在塑性力學(xué)中，當(dāng)應(yīng)力超過屈服點而處于塑性狀態(tài)時，材料的性質(zhì)表現(xiàn)極為復(fù)雜。應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)

32、系呈非線性，且不相對應(yīng)，即應(yīng)力不僅取決于最終的應(yīng)變，而且有賴于加載的途徑。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 753/7/2022.一、簡單應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性力學(xué)問題一、簡單應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性力學(xué)問題（一）簡單拉伸實驗的塑性現(xiàn)象 實驗分析是研究塑性變形基本規(guī)律和各種塑性理論的依據(jù)。在常溫靜載下，材料(通常指中低強度鋼為代表的金屬材料)的拉伸實驗曲線。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 763/7/2022. 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 773/7/2022.由上述實驗看出；在初始屈服點之前，材料處于彈性階段，應(yīng)力應(yīng)變服從虎克定律， s E 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page -

33、 783/7/2022.在初始屈服極限之后，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)，應(yīng)力應(yīng)變呈非線性關(guān)系，可用一個函數(shù)表示為 其中為加載到E點的總應(yīng)變， 。 為卸載時的彈性應(yīng)變， 為不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變。s ( )peep 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 793/7/2022.材料在經(jīng)歷塑性變形后，應(yīng)力和應(yīng)變之間不存在單值一一對應(yīng)關(guān)系，應(yīng)力不僅取決于最終狀態(tài)的應(yīng)變，而且有賴于加載路線。 圖2-11 材料拉伸曲線 （無明顯屈服階段） 01L2L3L123EC0 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 803/7/2022.如果從E點完全卸載后，施以相反的應(yīng)力，由拉伸應(yīng)力轉(zhuǎn)為壓縮應(yīng)力，并且壓縮應(yīng)力的屈服限比原始的壓縮

34、屈服限有所降低，即，如圖2-12所示，這種拉伸時強化影響到壓縮時壓應(yīng)力的屈服限降低的現(xiàn)象，稱為包辛格（Bauschinger）效應(yīng)。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 813/7/2022.（二）變形體的簡化模型 B B 0 0 0 0 A B B E C C A E1 E C C （a） 理想彈塑性模型 （b）理想剛塑性模型 （c）線性強化彈塑性模型 （d）線性強化剛塑性模型 圖 2-13 變形體的簡化模型 ssssss 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 823/7/2022.1理想彈塑性材料模型對于軟鋼或強化率較低的材料，具有明顯的塑性流動，忽略材料的強化性質(zhì)，可得到如圖2-13（

35、a）所示的理想彈塑性模型。其應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系為EESSss 0 0 A B B E C C （a） 理想彈塑性模型 （b）理想剛塑性模型 ssssss 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 833/7/2022.2理想剛塑性材料模型若材料屈服前的彈性變形極其微小，視為絕對剛體。可進(jìn)一步簡化為如圖2-13（b）所示的理想剛塑性模型。在這種模型中，應(yīng)力達(dá)到屈服限前變形為零，一旦應(yīng)力等于屈服極限時，則塑性變形可無限制的延長。 0 0 A B B C C （a） 理想彈塑性模型 （b）理想剛塑性模型 ssssss 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 843/7/2022.3線性強化彈塑性材料模型對于

36、有顯著強化率的材料，應(yīng)力應(yīng)變呈近似直線關(guān)系，可簡化為如圖2-13（c）所示的線性強化彈塑性材料模型。其應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系為EESSss1()（2-52） B B 0 0A E1 E C C （c）線性強化彈塑性模型 （d）線性強化剛塑性模型 圖 2-13 變形體的簡化模型 ssssss 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 853/7/2022.4線性強化剛塑性材料模型對于有顯著強化率的材料，若材料屈服前的彈性變形很小，可進(jìn)一步簡化為如圖2-13（d）所示的線性強化剛塑性材料模型。 B B 0 0 C C （c）線性強化彈塑性模型 （d）線性強化剛塑性模型 ssssss 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析

37、Page - 863/7/2022.n此外，還有冪次強化材料模型，其應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系為 （2-53）n式中 A與n分別為材料的強化系數(shù)與強化指數(shù)，且，。當(dāng)n=0時，表示理想剛塑性材料；當(dāng)n=1時，表示理想線彈性材料，如圖2-13（e）所示。 An 0 n=0 n=1 圖 2-13 (e) 冪強化模型 s 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 873/7/2022.（一）最大剪應(yīng)力和八面體剪應(yīng)力1最大剪應(yīng)力設(shè)已知物體內(nèi)某點的主應(yīng)力及主方向，過該點截取一平行六面微單元體，假定微單元體的各面與主平面一致，見圖2-14。 二、屈服條件 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 883/7/2022.微元體

38、的主剪應(yīng)力作用在過每一個主方向與另外兩個主方向成45夾角的斜面上，且與該主方向垂直，分別以表示，見圖2-15。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 893/7/2022.其中 ， ， 。當(dāng)作用在六面微元體上的主應(yīng)力時，上述三個剪應(yīng)力中為該六面微元體的最大剪應(yīng)力，即123122131231212max21312（2-54） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 903/7/2022.2八面體剪應(yīng)力物體內(nèi)任一點的六個應(yīng)力分量為已知，過該點作一特定平面，使此平面的法線與三個主方向成相等的夾角，這個斜面即為等傾面，見圖2-16(a)。在整個坐標(biāo)系中可以作出八個這種等傾面，形成一個封閉的八面體(圖2-

39、17)，等傾面上的剪應(yīng)力稱為八面體剪應(yīng)力。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 913/7/2022.設(shè)等傾面ABC平面的法線用表示，與坐標(biāo)軸（即主方向）的夾角為 ， ， ，與主平面的方向余弦分別為，即 ， ， 。 由等傾面的定義，它的外法線與三個坐標(biāo)軸的方向余弦相等，得 。即 ，故 。123l cos1mcos2n cos3lmnlmn2221lmn13 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 923/7/2022.設(shè)ABC平面上的總應(yīng)力為 ，可分解為正應(yīng)力 和剪應(yīng)力 ，也可分解為沿主方向的三個應(yīng)力分量 ， ， 。從力的分解關(guān)系可以看出 （a） （b）將S1，S2，S3投影到法線上有 （c）

40、SvvvS1S2S3S222SSSS2122232)(31321321SSSnSmSlS 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 933/7/2022.設(shè)ABC面積為F，三角形OCB，OAC，OAB的面積分別為F1、F2、F3，它們之間有如下關(guān)系 ， ， 。 由力的平衡關(guān)系，可得到 FFl1FFm2FFn3S FF111S FF222S FF333 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 943/7/2022. 由此 ， ，將這些關(guān)系代入(b),(c) 代入(a)，得八面體剪應(yīng)力為 （2-55）S113S223S33313123()(312322212vSS2212223231213()()()

41、厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 953/7/2022.特雷斯卡（Tresca）屈服條件 材料處在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，當(dāng)六面體上的最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時，材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 963/7/2022.當(dāng) 時，Tresca屈服條件可表示為 即 （2-56） 式中 為最大剪應(yīng)力， 為材料的剪切屈服限， 為單向拉伸時材料的屈服限。123maxss132213smaxss 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 973/7/2022.在單向拉伸時， ，屈服條件為 （2-57）純剪切試驗時， 屈服條件為 （2-58）12300,1smaxss2 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)

42、力分析Page - 983/7/2022.米賽斯（米賽斯（Mises)屈服條件屈服條件 材料處在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，當(dāng)八面體剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時，材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 993/7/2022.根據(jù)八面體剪應(yīng)力的計算，當(dāng)材料處于簡單拉伸狀態(tài)時，材料的正應(yīng)力與八面體剪應(yīng)力的關(guān)系為 屈服條件為 （2-59）231132s 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1003/7/2022.在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，把綜合各應(yīng)力分量的當(dāng)量應(yīng)力與簡單拉伸時的拉伸應(yīng)力相當(dāng)，由式（2-59）有 屈服條件可表示為 （2-60-a）即 （2-60-b）eq3212122232312()()(

43、)eqs12122232312()()()s 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1013/7/2022.Mises屈服條件認(rèn)為，材料承載時的最大剪應(yīng)力等于 時，材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)，即 （2-61） s3maxss3 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1023/7/2022.三、厚壁圓筒的彈塑性分析厚壁圓筒在承受內(nèi)壓載荷作用下，隨著壓力的增加，筒壁應(yīng)力不斷增加。當(dāng)應(yīng)力分量的組合達(dá)到某一值時，由彈性變形狀態(tài)進(jìn)入塑性變形狀態(tài)，即在筒體的截面上將出現(xiàn)塑性變形。首先由筒體內(nèi)壁面開始，逐漸向外壁表面擴展，直至筒壁全部屈服。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1033/7/2022.假設(shè)厚壁圓

44、筒為理想彈塑性體，不考慮材料在塑性變形過程中的塑性強化，筒體僅受內(nèi)壓 作用，筒體的內(nèi)半徑為 ，外半徑為 。piRiR0 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1043/7/2022.（一）彈性極限分析當(dāng)筒體僅受內(nèi)壓 作用，且壓力 較小時，筒體處于彈性狀態(tài)，其彈性應(yīng)力分量表達(dá)式為 由上式可知，在內(nèi)壓作用下，彈性應(yīng)力沿壁厚分布 ，且 ， 。當(dāng)內(nèi)壓達(dá)到筒體的某一極限壓力 = 時，筒體的內(nèi)壁首先開始屈服。 pipi2222222222222000)1 ()1 (iiizoiiioiiirRRRprRRRRprRRRRpzrr 0zr12()pipe 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1053/7/

45、2022.假設(shè)筒體材料屈服時應(yīng)力符合Tresca屈服條件 將應(yīng)力值代入，得 式中 為厚壁圓筒內(nèi)壁剛進(jìn)入屈服時所對應(yīng)的壓力，稱為彈性極限壓力。r Rr r RsiipRResi21202()pe（2-62） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1063/7/2022.（二）彈塑性應(yīng)力分析當(dāng) 時， 圓筒內(nèi)壁屈服區(qū)向外擴展，筒體沿壁厚形成兩個不同區(qū)域，外側(cè)為彈性區(qū)，內(nèi)側(cè)為塑性區(qū)。設(shè)筒體彈塑性區(qū)交界面為一與圓筒同心的圓柱面，界面圓柱的半徑為 。pipeRc 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1073/7/2022.假想從厚壁圓筒上遠(yuǎn)離邊緣處的區(qū)域截取一筒節(jié)，沿 處將彈性區(qū)與塑性區(qū)分開，并代之以相

46、應(yīng)的力，如圖所示。設(shè)彈塑性區(qū)交界面上的壓力為 ，塑性區(qū)為一圓柱形筒，內(nèi)、外半徑分別為 和 ，承受內(nèi)、外壓力分別為 和 ；彈性區(qū)亦為一圓柱形筒，內(nèi)、外半徑分別為 和 ，承受內(nèi)壓力為 。RcpcRiRcpipcRcR0pc 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1083/7/2022.1塑性區(qū)（ ）材料處于塑性狀態(tài)時，筒壁微元體的平衡微分方程仍然成立，由式（2-5）設(shè)材料塑性變形時應(yīng)力符合Tresca屈服條件 ，代入上式，得 積分上式為 （2-63） RirRcddrrrr 0rsddrsrrrsrAln 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1093/7/2022.由邊界條件（a）由第一個邊界條

47、件代入式（2-63），求出A，再代入Tresca屈服條件和 ，可得到塑性區(qū)各應(yīng)力分量的表達(dá)式 （2-64-a）由第二個邊界條件代入式（2-64-a）第一式，可得彈-塑性區(qū)交界面壓力為 （2-65）rRprRpiricrc zr12()rsiisiizsiirRprRprRpln(ln)(0.5ln)1pRRpcscii ln 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1103/7/2022.筒壁材料塑性變形符合Mises屈服條件，則式（2-64-a）可以寫成 （2-64-b） rsiisiizsiirRprRprRp23231312ln(ln)(ln) 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 111

48、3/7/2022.2彈性區(qū)（Rc r R0 ）彈性區(qū)內(nèi)壁面為彈-塑性區(qū)交界面，即彈性區(qū)內(nèi)壁面呈塑性狀態(tài)。設(shè)Kc = R0 / Rc，彈性區(qū)內(nèi)壁面處應(yīng)力表達(dá)式 （2-66）rr Rcr Rccczr RcccccppKKpK 222111 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1123/7/2022.若應(yīng)力符合Tresca屈服條件將式（2-66）各值代入得 （2-67）在彈-塑性區(qū)交界面Rc 處連續(xù)，即由式（2-65）和式（2-67）求得的Pc 應(yīng)為同一數(shù)值，由此可求出內(nèi)壓力pi 與所對應(yīng)的塑性區(qū)圓柱面半徑Rc 間的關(guān)系 （2-68-a）rRrrRsCCpRRRcsc202202pRRRRisc

49、ci0.5ln2022 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1133/7/2022.將式（2-67）代入拉美公式，可得彈性區(qū)各應(yīng)力分量表達(dá)式 （2-69-a）rscsczscRRRrRRRrRR21212202022202022202 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1143/7/2022.若按Mises屈服條件，內(nèi)壓力pi 與所對應(yīng)的塑性區(qū)圓柱面半徑Rc 間的關(guān)系及彈性區(qū)各應(yīng)力分量表達(dá)式為 （2-68-b） （2-69-b）pRRRRiscci312202lnrscsczscRRRrRRRrRR31313202022202022202 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1153/

50、7/2022.由圖2-19看出，塑性區(qū)由于存在塑性變形，應(yīng)力重新分布，使得筒體內(nèi)壁表面應(yīng)力有所下降。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1163/7/2022.（三）塑性極限分析（三）塑性極限分析 由彈塑性分析可知，當(dāng)壓力p不斷增加時，塑性區(qū)不斷擴大，彈性區(qū)不斷縮小。當(dāng)壓力增加到某一值時，塑性區(qū)擴展到整個筒體，即RC = R0時，筒體全部進(jìn)入塑性狀態(tài)。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1173/7/2022.按Tresca屈服條件 pRRssoilnrsosozsorRrRrRln(ln)(0.5ln)1（2-70-a） （2-71-a） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 118

51、3/7/2022.按Mises屈服條件 pRRssoi23lnrsosozsorRrRrR2323123ln(ln)(0.5ln)（2-70-b） （2-71-b） 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1193/7/2022.（四）厚壁圓筒的自增強自增強處理是指筒體在使用之前進(jìn)行加壓處理，其壓力超過內(nèi)壁發(fā)生屈服的壓力（初始屈服壓力），使筒體內(nèi)壁附近沿一定厚度產(chǎn)生塑性變形，形成內(nèi)層塑性區(qū)，而筒體外壁附近仍處于彈性狀態(tài)，形成外層彈性區(qū)。當(dāng)壓力卸除后，筒體內(nèi)層塑性區(qū)將有殘余變形存在，而外層彈性區(qū)受到內(nèi)層塑性區(qū)殘余變形的阻擋而不能完全恢復(fù)，結(jié)果使內(nèi)層塑性區(qū)受到外層彈性區(qū)的壓縮而產(chǎn)生殘余壓應(yīng)力，而外層

52、彈性區(qū)由于收縮受到阻擋而產(chǎn)生殘余拉應(yīng)力。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1203/7/2022.1.自增強壓力計算厚壁圓筒進(jìn)行自增強處理時，自增強壓力必須大于筒體內(nèi)壁的初始屈服壓力，使筒體內(nèi)層成為塑性區(qū)，外層仍為彈性區(qū)。設(shè)筒體塑性區(qū)與彈性區(qū)交界面半徑為RC，自增強壓力為Pa，通常按Mises屈服條件確定，由式 (2-68-b)得自增強壓力計算公式 （2-72-a） 或改寫為 （2-72-b） pRRRRascci312202lnpRRRRascsci 3123202ln 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1213/7/2022.n計算值最常用的方法是，假設(shè)若干個RC 值，計算自增強

53、處理時所施加的壓力、殘余應(yīng)力（預(yù)應(yīng)力）及工作壓力下彈塑性區(qū)交界面處的合成應(yīng)力。求取最小合成應(yīng)力時的RC 值，從這個RC 值所計算的超應(yīng)變度，即為最適宜超應(yīng)變度的計算值。nRC 值也可按下列關(guān)系近似估算式中Ri, R0 分別為厚壁圓筒的內(nèi)半徑和外半徑。RcRiRo 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1223/7/2022.2.自增強筒壁的應(yīng)力分析自增強筒壁的應(yīng)力分析經(jīng)過自增強處理的厚壁圓筒，工作時的應(yīng)力表達(dá)式可從下面三個方面求?。航?jīng)自增強處理時由自增強壓力Pa 作用下的筒壁應(yīng)力；卸載后筒壁的殘余應(yīng)力；工作壓力作用下筒壁的合成應(yīng)力。 厚壁圓筒的彈塑性應(yīng)力分析Page - 1233/7/2022.（1）在自增強壓力pa作用下的筒壁應(yīng)力塑性區(qū)（Ri r RC ），按Mises屈服條件，得各應(yīng)力分量表達(dá)式彈性區(qū)（ RC r R0 ），按Mises屈服條件，得各應(yīng)力分量表達(dá)式ccszccsccsrRrRRRrRRRrRRln23ln213l