一個(gè)折疊問題的輔助線作法探究

1、.一個(gè)折疊問題的輔助線作法探究下面一道和直角三角形折疊有關(guān)的幾何證明題，需要作輔助線構(gòu)造相似三角形，才能順利解決。但輔助線的作法比較靈敏，通過(guò)探究此例輔助線的作法，可以訓(xùn)練思維的靈敏性、深化性，從而進(jìn)步數(shù)學(xué)才能。下面從構(gòu)造相似三角形的角度出發(fā)，探究四種輔助線的作法。例如圖1，RtABC中,AB=AC,點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BC上，沿MN翻折使點(diǎn)C恰好落在斜邊AB上的點(diǎn)P.1 當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，求證：2 當(dāng)P不是AB中點(diǎn)時(shí)，是否仍然成立?假設(shè)成立，請(qǐng)給出證明。析解：1如圖1, P為AB的中點(diǎn)，那么PA=PB，要證，所以應(yīng)證CM=CN.連結(jié)CP，由PA=PB，CA=CB，得CP⊥A

2、B.可知CMN與PMN完全重合, 得CM=PM,CN=PN.∴MN⊥CP.MN是PC的垂直平分線∴MNAB.∴=1.，∴.2 如圖2, 此時(shí)仍然成立.如何證明關(guān)鍵是怎么作輔助線，將成比例線段的四條線段集中在一塊，利用全等三角形和相似三角形的知識(shí)來(lái)研究。輔助線一由，考慮從線段AB 的內(nèi)分點(diǎn)P作AC的平行線，構(gòu)造出相似三角形，再?gòu)姆治鰧ふ易C明思路。證：如圖2，作PQ/AC，那么PQ⊥BC，連結(jié)PC.PQAC，∴.而PQ=QB，∴.假

3、如以作為中間比，須證。于是從考慮PQCNCM是否成立。由可得PC⊥MN，MC⊥CN，∴∠CMN=∠PCQ，∴RtPCQRtNMC.∴.∴.輔助線二仍然考慮從P出發(fā)構(gòu)造相似三角形和全等三角形。證：如圖3. 作PH⊥AB于P交AC于H，作AQBC，于PN的延長(zhǎng)線交于Q，可得PAQPBN,有.PH⊥AB于P，∠PAH=45°，∴PA=PH,∠

4、PHM=∠PAQ=45°,CMNPMN,∠MPN=Rt∠.∠1+∠3=∠2+∠3=Rt∠∴∠1=∠2, ∴PHMPAQASA ，∴PQ=PM.∴.輔助線三由可知，PA、PM在PAM，而PB、PN在PBN中，顯然不易證這兩三角形相似，于是想方法作輔助線構(gòu)造一個(gè)與PAM相似的三角形。證：作PQ=PN交BC于Q，如圖4. ∠

5、PNQ=∠PQN，∠PNC與∠PMC互補(bǔ)，∠PMA與∠PMC互補(bǔ)，∠PMA=∠PQB，又∠A=∠B=45°，∴PMAPQB, ∴.又PQ=PN∴成立。而PM=PN，PN=CN，∴.輔助線四根據(jù)以上三種輔助線的作法，不難想到第四種作法。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也

6、是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對(duì)象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f(shuō)得正確。在觀察過(guò)程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說(shuō)話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說(shuō)：烏云像大海的波浪。有的孩子說(shuō)“烏云跑得飛快。我加以肯定說(shuō)“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來(lái)，

7、我抓住時(shí)機(jī)說(shuō)：“這就是雷聲隆隆。一會(huì)兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說(shuō)大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽(yáng)公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對(duì)雷雨前后氣象變化的詞語(yǔ)學(xué)得快，記得牢，而且會(huì)應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語(yǔ)、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來(lái)，在開展想象力中開展語(yǔ)言。如啄木鳥的嘴是長(zhǎng)長(zhǎng)的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過(guò)聯(lián)想，幼兒可以生動(dòng)形象地描繪觀察對(duì)象。與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追

8、溯至宋元時(shí)期。金代元好問?示侄孫伯安?詩(shī)云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說(shuō)字驚老師。于是看，宋元時(shí)期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢?，“老師一說(shuō)是比較晚的事了。如今體會(huì)，“老師的含義比之“老師一說(shuō)，具有資歷和學(xué)識(shí)程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。要練說(shuō)，得練聽。聽是說(shuō)的前提，聽得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級(jí)程度的語(yǔ)言。我在教學(xué)中，注意聽說(shuō)結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語(yǔ)言，我對(duì)幼兒說(shuō)話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表?yè)P(yáng)那些靜聽的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說(shuō)過(guò)的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專心聽，用心記。平時(shí)我還通過(guò)各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說(shuō)的才能，如聽詞對(duì)詞，聽詞句說(shuō)意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語(yǔ)猜謎底，聽智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得