高數(shù)同濟(jì)版第十二章冪級數(shù)

1、一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算 12.3 冪級數(shù) 第十二章第十二章 一、一、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)設(shè)121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 I 上的上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) .對對, I0 x若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)10)(nnxu斂點(diǎn)斂點(diǎn), 所有收斂點(diǎn)的全體稱為其所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)上的函數(shù), 稱稱收斂收斂,發(fā)散發(fā)散 ,所有所有0 x稱為其為其收收 0 x稱為其為其發(fā)散

2、點(diǎn)發(fā)散點(diǎn), ),2, 1()(nxun發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散域 ., )(xS為級數(shù)的為級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫成并寫成)()(1xuxSnn若用若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項(xiàng)令余項(xiàng))()()(xSxSxrnn則在收斂域上有則在收斂域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前 n 項(xiàng)的和項(xiàng)的和, 即即在收斂域上在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是 x 的函數(shù)的函數(shù) 稱它稱它例如例如, 等比級數(shù)等比級數(shù)它的收斂域是它的收斂域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域

3、是它的發(fā)散域是或?qū)懽骰驅(qū)懽?1x,)1,1(時(shí)當(dāng)x有和函數(shù)有和函數(shù) 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 形如形如00()nnnaxx202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù), 其中數(shù)列其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論下面著重討論00 x0nnna xnnxaxaxaa2210例如例如, 冪級數(shù)冪級數(shù)01nnnxxx 為冪級數(shù)的為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形即是此種情形. .的情形的情形, 即即nnxxa)(0稱稱 (1)因?yàn)橹灰? xxt則(1)成為0nnna t1,1x1x 收斂域ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂收斂收斂 發(fā)散發(fā)

4、散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)若冪級數(shù)0nnnxa,0點(diǎn)收斂在xx 則對滿足不等式則對滿足不等式0 xx 的一切的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂冪級數(shù)都絕對收斂.反之反之, 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散 ,則對滿足不等式則對滿足不等式證證:00nnnxa, 0lim0nnnxa收斂收斂,則必有則必有),2, 1(0nMxann于是存在于是存在常數(shù)常數(shù) M 0, 使使nna xnnnxxxa0000nnnnxa xx0nxMx當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 xx 00nnxxM收斂收斂,0nnnxa故原冪級數(shù)

5、絕對收斂故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收斂也收斂,反之反之, 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)假設(shè)有一點(diǎn)1x01xx0 x滿足不等式滿足不等式0 xx 所以若當(dāng)所以若當(dāng)0 xx 滿足滿足且使級數(shù)收斂且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知面的證明可知, 級數(shù)在點(diǎn)級數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真故假設(shè)不真. 的的 x , 原冪級數(shù)也原冪級數(shù)也發(fā)散發(fā)散 . 時(shí)冪級數(shù)發(fā)散時(shí)冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切則對一切則由前則由前也應(yīng)收斂也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾與所設(shè)矛盾,nna xnxxM0證畢證畢冪級數(shù)在冪級數(shù)在 (, +) 收斂收斂 ;由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 0

6、nnnxa中心的區(qū)間中心的區(qū)間. 用用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn)表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為的收斂域是以原點(diǎn)為則則R = 0 時(shí)時(shí), 冪級數(shù)僅在冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂收斂 ;R = 時(shí)時(shí),0 R冪級數(shù)在冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點(diǎn)稱為加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域收斂域.R 稱為稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在在R , R 可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散外發(fā)散; 在在(R , R ) 稱為稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂收斂收斂 發(fā)散發(fā)散xaaxaxannnnnnnn111limlim

7、定理定理2. 若若0nnnxa的系數(shù)滿足的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1) 若若 0,則根據(jù)比值審斂法可知?jiǎng)t根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)當(dāng),1x原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂;當(dāng)當(dāng),1x原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.x即即1x時(shí)時(shí),1) 當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí),2) 當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí),3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),即即時(shí)時(shí),則則 1x2) 若若, 0則根據(jù)比值審斂法可知?jiǎng)t根據(jù)比值審斂法可知,;R絕對收斂絕對收斂 ,3) 若若,則對除則對除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原級發(fā)散原級發(fā)散 ,.0R對任意對任意 x 原級數(shù)原級數(shù)因此因此因此因此 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理據(jù)此定理1

8、limnnnaaR因此級數(shù)的收斂半徑因此級數(shù)的收斂半徑.1R1lim|nnnRa記下來記下來!比值判別法成立比值判別法成立根值判別法成立根值判別法成立對端點(diǎn)對端點(diǎn) x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點(diǎn)對端點(diǎn) x = 1, 級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù),1) 1(11nnn收斂收斂; 級數(shù)為級數(shù)為,11nn發(fā)散發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域?yàn)楣适諗坑驗(yàn)槔?.1.求冪級數(shù)求冪級數(shù) limn 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1)

9、 limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂域?yàn)樗允諗坑驗(yàn)? ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂處收斂 .! ) 1(1n例例3.nnxnn202) !(! )2(求冪級數(shù)的收斂半徑的收斂半徑 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng)級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)發(fā)散時(shí)級數(shù)發(fā)

10、散 故收斂半徑為故收斂半徑為 .21R21x即142x當(dāng)21x即) 1(2nxnx2故直接由故直接由例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域的收斂域.解解: 令令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)閚nntn1211limlimnnnnRa2nnn2當(dāng)當(dāng) t = 2 時(shí)時(shí), 級數(shù)為級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng) t = 2 時(shí)時(shí), 級數(shù)為級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)因此級數(shù)(2)的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?22t故原級數(shù)的收斂域?yàn)楣试墧?shù)的收斂域?yàn)?212x即即.31x(2)三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算定理定理3. 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)nnnxa0nnnx

11、b0及及的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為,21RR令令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 則有則有 :00*nnnnnna xb x其中其中knnkknbac0以上結(jié)論可用部分和以上結(jié)論可用部分和的極限證明的極限證明 .*說明說明: 兩個(gè)冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比兩個(gè)冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個(gè)冪級數(shù)的收斂半徑小得多原來兩個(gè)冪級數(shù)的收斂半徑小得多. 例如例如, 設(shè)設(shè) nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂

12、半徑均為它們的收斂半徑均為,R但是但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是其收斂半徑只是 .1R1x1nnnxb0 x11定理定理4 若冪級數(shù)若冪級數(shù)nnnxa0的收斂半徑的收斂半徑,0R)(xS數(shù)(證明略證明略 )nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函則其和函在收斂域上在收斂域上連續(xù)連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)與與逐項(xiàng)求積分逐項(xiàng)求積分, 運(yùn)算前后收斂半徑相同運(yùn)算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項(xiàng)積分時(shí)逐項(xiàng)積分時(shí), 運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.通過逐項(xiàng)求

13、導(dǎo)和逐項(xiàng)積分通過逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分目的目的是是轉(zhuǎn)化冪級數(shù)為轉(zhuǎn)化冪級數(shù)為等比級數(shù)等比級數(shù)這樣可方便求和這樣可方便求和.例例5. 求級數(shù)求級數(shù)01nnnx的和函數(shù)的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時(shí)級數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx(01 )x收斂收斂 , x=1時(shí)級數(shù)發(fā)時(shí)級數(shù)發(fā)散散有時(shí)則當(dāng),0 x0111nnnxxxnnxxx00d11,0)(0,1)(x U)(xS, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1l

14、n(1xx,10 x,1(01 )x解解: 由例由例2可知級數(shù)的收斂半徑可知級數(shù)的收斂半徑 R+.例例6.0!nnnx求冪級數(shù)0!)(nnnxxS)(x則則11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(xxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得故得.!0 xnnenx的和函數(shù)的和函數(shù) .因此得因此得設(shè)設(shè)( )(0)xd S xdxe例例7.1( 1)nnn解解: 構(gòu)造冪級數(shù)構(gòu)造冪級數(shù)1,nnxn顯然收斂域?yàn)轱@然收斂域?yàn)?1,1)11 x 1,1)x ( ),S x求求的和的和.設(shè)和函數(shù)為設(shè)和函數(shù)為11( )nnS xx01( )(0)1xS xdxSxln(1) x1( 1)

15、nnn( 1)Sln2.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性再討論端點(diǎn)的收斂性 .2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用求收斂半徑時(shí)直接用比值法比值法或或根值法根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與兩個(gè)冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過也可通過換元換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算. 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和

16、函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 已知已知nnnxa00 xx 在處條件收斂處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂問該級數(shù)收斂半徑是多少半徑是多少 ?答答: 根據(jù)根據(jù)Abel 定理可知定理可知, 級數(shù)在級數(shù)在0 xx 收斂收斂 ,0 xx 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散 . 故收斂半徑為故收斂半徑為.0 xR 2. 在冪級數(shù)在冪級數(shù)nnnnx02) 1(2中中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 為奇數(shù)為奇數(shù),23n 為偶數(shù)為偶數(shù),61能否確定它的收斂半徑不存在能否確定它的收斂半徑不存在 ?答答: 不能不能. 因?yàn)橐驗(yàn)閚nnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x當(dāng)當(dāng)2x時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)收斂 ,2x時(shí)級數(shù)時(shí)級數(shù)發(fā)散發(fā)散 ,.2R說明說明: 可以證明可以證明比值判別法成立比值判別法成立根值判別法成立根值判別法成立(為什么為什么?)P277 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1)