【經(jīng)典例題剖析】一次函數(shù)

1、第十一章 一次函數(shù)復(fù)習(xí)課知識(shí)點(diǎn)1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函數(shù)，y=x，y=-x都是正比例函數(shù).【說(shuō)明】 （1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來(lái)確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).（3）當(dāng)b=0，k

2、0時(shí)，y= kx仍是一次函數(shù).（4）當(dāng)b=0，k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).知識(shí)點(diǎn)2 函數(shù)的圖象把一個(gè)函數(shù)的自變量x與所對(duì)應(yīng)的y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點(diǎn)、連線知識(shí)點(diǎn) 3一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此在今后作一次函數(shù)圖象時(shí)，只要描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn)，再連成直線即可，一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn)：直線與y軸的交點(diǎn)（0，b），直線與x軸的交點(diǎn)（-，0）.但也不必一定選取這兩個(gè)特殊點(diǎn).畫

3、正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0，0），（1，k）即可.知識(shí)點(diǎn)4 一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的性質(zhì)（1）k的正負(fù)決定直線的傾斜方向；k0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；kO時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。?）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越?。ㄖ本€緩）；（3）b的正、負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置；當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上；當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)（4）由于k，b的符號(hào)不同，直線所經(jīng)過(guò)的象限也不同；如圖1118（l）所示，當(dāng)k0，b

4、0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限（直線不經(jīng)過(guò)第四象限）；如圖1118（2）所示，當(dāng)k0，bO時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限（直線不經(jīng)過(guò)第二象限）；如圖1118（3）所示，當(dāng)kO，b0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限（直線不經(jīng)過(guò)第三象限）；如圖1118（4）所示，當(dāng)kO，bO時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限（直線不經(jīng)過(guò)第一象限）（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說(shuō)明這兩個(gè)銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個(gè)單位得到的知識(shí)點(diǎn)3 正比例函數(shù)y=kx（k0）的性質(zhì)（1）正比例函數(shù)y=kx的圖象

5、必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（2）當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,y隨x的增大而增大；（3）當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限,y隨x的增大而減小知識(shí)點(diǎn)4 點(diǎn)P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系（1）如果點(diǎn)P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；（2）如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標(biāo)的點(diǎn)P（1，2）必在函數(shù)的圖象上例如：點(diǎn)P（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時(shí)，y=2，則點(diǎn)P（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點(diǎn)P（2，1）不滿足解析式y(tǒng)=x+1，因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=3，所以點(diǎn)P（2，1）不在直線y=x+l的圖象上知識(shí)

6、點(diǎn)5 確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件（1）由于正比例函數(shù)y=kx（k0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件（如一對(duì)x，y的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得k的值（2）由于一次函數(shù)y=kx+b（k0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值知識(shí)點(diǎn)6 待定系數(shù)法先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程（或方程組），求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù)例如：函數(shù)y=kx+b中，k，b就是待定系數(shù)知識(shí)點(diǎn)7 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式

7、為y=kx+b；（2）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程（組）；（3）求出k與b的值，得到函數(shù)表達(dá)式例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）和（-1，-3）求此一次函數(shù)的關(guān)系式解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為ykx+b（k0），由題意可知，解此函數(shù)的關(guān)系式為y=【說(shuō)明】 本題是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式，具體步驟如下：第一步，設(shè)（根據(jù)題中要求的函數(shù)“設(shè)”關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（根據(jù)題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個(gè)方程（或方程組），求出待定系數(shù)k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“設(shè)”的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中）；第四步，寫（寫出函數(shù)關(guān)

8、系式）.思想方法小結(jié) （1）函數(shù)方法函數(shù)方法就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)分析題中的數(shù)量關(guān)系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進(jìn)而解決有關(guān)問(wèn)題的方法函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，靈活運(yùn)用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題（2）數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問(wèn)題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，能起到事半功倍的作用知識(shí)規(guī)律小結(jié) （1）常數(shù)k，b對(duì)直線y=kx+b(k0）位置的影響當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的負(fù)半軸相交當(dāng)k，b異號(hào)時(shí)，即-0時(shí)，直線與x軸正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，即-=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)k，b同

9、號(hào)時(shí)，即-0時(shí)，直線與x軸負(fù)半軸相交當(dāng)kO，bO時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；當(dāng)k0，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)bO，bO時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；當(dāng)kO，b0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；當(dāng)kO，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限；當(dāng)bO，bO時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限（2）直線y=kx+b（k0）與直線y=kx(k0)的位置關(guān)系直線y=kx+b(k0)平行于直線y=kx(k0)當(dāng)b0時(shí)，把直線y=kx向上平移b個(gè)單位，可得直線y=kx+b；當(dāng)bO時(shí)，把直線y=kx向下平移|b|個(gè)單位，可得直線y=kx+b（3）直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位

10、置關(guān)系k1k2y1與y2相交；y1與y2相交于y軸上同一點(diǎn)（0，b1）或（0，b2）；y1與y2平行；y1與y2重合.典例剖析基本概念題本節(jié)有關(guān)基本概念的題目主要是一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系，以及構(gòu)成一次函數(shù)及正比例函數(shù)的條件例1 下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.分析 本題主要考查對(duì)一次函數(shù)及正比例函數(shù)的概念的理解解：（1）（3）（5）（6）是一次函數(shù)，（l）（6）是正比例函數(shù)例2 當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=-（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)

11、？分析 某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y=kx+b外，還要注意條件k0解：函數(shù)y=（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)，m=-2.當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)y=（m-2）x+（m-4）是一次函數(shù)小結(jié) 某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：一次項(xiàng)（或自變量）的指數(shù)為1，系數(shù)不為0而某函數(shù)若是正比例函數(shù)，則還需添加一個(gè)條件：常數(shù)項(xiàng)為0基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題本節(jié)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用主要包括：（1）會(huì)確定函數(shù)關(guān)系式及求函數(shù)值；（2）會(huì)畫一次函數(shù)（正比例函數(shù)）圖象及根據(jù)圖象收集相關(guān)的信息；（3）利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題；（4）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式例3 一根彈簧長(zhǎng)15cm，它所掛物體的質(zhì)量不能超過(guò)18kg，并且每掛1k

12、g的物體，彈簧就伸長(zhǎng)05cm，寫出掛上物體后，彈簧的長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x(kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數(shù)分析 （1）彈簧每掛1kg的物體后，伸長(zhǎng)05cm，則掛xkg的物體后，彈簧的長(zhǎng)度y為（l5+05x）cm，即y=15+05x（2）自變量x的取值范圍就是使函數(shù)關(guān)系式有意義的x的值，即0x18(3)由y=15+05x可知，y是x的一次函數(shù)解：（l）y=15+05x（2）自變量x的取值范圍是0x18（3）y是x的一次函數(shù)學(xué)生做一做 烏魯木齊至庫(kù)爾勒的鐵路長(zhǎng)約600千米，火車從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度為58千米時(shí)，則火車離庫(kù)爾勒的距離s（千米

13、）與行駛時(shí)間t（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式是 .老師評(píng)一評(píng) 研究本題可采用線段圖示法，如圖1119所示火車從烏魯木齊出發(fā)，t小時(shí)所走路程為58t千米，此時(shí)，距離庫(kù)爾勒的距離為s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t例4 某物體從上午7時(shí)至下午4時(shí)的溫度M（）是時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí)），則上午10時(shí)此物體的溫度為 分析 本題給出了函數(shù)關(guān)系式，欲求函數(shù)值，但沒(méi)有直接給出t的具體值從題中可以知道，t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí)，則上午10時(shí)應(yīng)表示成t=-2，當(dāng)t=-2時(shí)，M=（-2）3-5×（-2）+10

14、0=102（）答案：102例5 已知y-3與x成正比例，且x=2時(shí)，y=7.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；（3）當(dāng)y=4時(shí)，求x的值分析 由y-3與x成正比例，則可設(shè)y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，則可以寫出關(guān)系式解：（1）由于y-3與x成正比例，所以設(shè)y-3=kx把x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-32k，k2y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-3=2x，即y=2x+3（2）當(dāng)x=4時(shí)，y=2×4+3=11（3）當(dāng)y4時(shí)，4=2x+3，x=.學(xué)生做一做 已知y與x+1成正比例，當(dāng)x=5時(shí)，y=12，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是 .老師評(píng)一評(píng) 由y

15、與x+1成正比例，可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=k（x+1）.再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k（x+1）.當(dāng)x=5時(shí)，y=12，12=（5+1）k，k=2y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2【注意】 y與x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要誤認(rèn)為y=kx+1.例6 若正比例函數(shù)y=（1-2m）x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），當(dāng)x1x2時(shí)，y1y2，則m的取值范圍是（ ）AmOBm0CmDmM分析 本題考查正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，因?yàn)楫?dāng)x1x2時(shí)，y1y2，說(shuō)明y隨x的增大而減小，所以1-2mO,m，故正確答案

16、為D項(xiàng)學(xué)生做一做 某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是15萬(wàn)元，計(jì)劃今后每年增加2萬(wàn)元（1）寫出年產(chǎn)值y（萬(wàn)元）與年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）求5年后的產(chǎn)值老師評(píng)一評(píng) （1）年產(chǎn)值y（萬(wàn)元）與年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=15+2x（2）畫函數(shù)圖象時(shí)要特別注意到該函數(shù)的自變量取值范圍為x0，因此，函數(shù)y=15+2x的圖象應(yīng)為一條射線畫函數(shù)y=12+5x的圖象如圖1121所示（3）當(dāng)x=5時(shí)，y15+2×5=25（萬(wàn)元）5年后的產(chǎn)值是25萬(wàn)元例7 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1122所示，求函數(shù)表達(dá)式分析 從圖象上可以看出，它與x軸交于點(diǎn)（-1，0），與y軸

17、交于點(diǎn)（0，-3），代入關(guān)系式中，求出k為即可解：由圖象可知，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0）和（0，-3）兩點(diǎn)，代入到y(tǒng)=kx+b中，得此函數(shù)的表達(dá)式為y=-3x-3.例8 求圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式分析 圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2，則可設(shè)此表達(dá)式為y=2x+b，再將點(diǎn)（2，-1）代入，求出b即可解：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-1），-l=2×2+bb=-5，所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-5.綜合應(yīng)用題本節(jié)知識(shí)的綜合應(yīng)用包括：（1）與方程知識(shí)的綜合應(yīng)用；（2）與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用；（3）與實(shí)

18、際生活相聯(lián)系，通過(guò)函數(shù)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題例8 已知y+a與x+b（a，b為是常數(shù)）成正比例（1）y是x的一次函數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？分析 判斷某函數(shù)是一次函數(shù)，只要符合y=kx+b（k，b中為常數(shù)，且k0）即可；判斷某函數(shù)是正比例函數(shù)，只要符合y=kx(k為常數(shù)，且k0)即可解：（1）y是x的一次函數(shù)y+a與x+b是正比例函數(shù)，設(shè)y+a=k(x+b)（k為常數(shù)，且k0）整理得y=kx+（kb-a）k0，k，a，b為常數(shù)，y=kx+(kb-a)是一次函數(shù)（2）當(dāng)kb-a=0，即a=kb時(shí)，y是x的正比例函數(shù)例9 某移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使

19、用者先交50元月租費(fèi)，然后每通話1分，再付電話費(fèi)04元；“神州行”使用者不交月租費(fèi)，每通話1分，付話費(fèi)06元（均指市內(nèi)通話）若1個(gè)月內(nèi)通話x分，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1元和y2元（1）寫出y1，y2與x之間的關(guān)系；（2）一個(gè)月內(nèi)通話多少分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？（3）某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，則選擇哪種通訊方式較合算？分析 這是一道實(shí)際生活中的應(yīng)用題，解題時(shí)必須對(duì)兩種不同的收費(fèi)方式仔細(xì)分析、比較、計(jì)算，方可得出正確結(jié)論解：（1）y1=50+04x（其中x0，且x是整數(shù)）y2=06x（其中x0，且x是整數(shù)）(2)兩種通訊費(fèi)用相同，y1=y2，即50+04x=06xx250一個(gè)月內(nèi)

20、通話250分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同（3）當(dāng)y1=200時(shí)，有200=50+04x，x=375（分）“全球通”可通話375分當(dāng)y2=200時(shí)，有200=06x，x=333（分）“神州行”可通話333分375333，選擇“全球通”較合算例10 已知y+2與x成正比例，且x=-2時(shí)，y=0（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y0？（4）若點(diǎn)（m，6）在該函數(shù)的圖象上，求m的值；（5）設(shè)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上，（2）中的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且SABP=4，求P點(diǎn)的坐標(biāo)分析 由已知y+2與x成正比例，可設(shè)y+2=kx，把x=-2，y=0代入

21、，可求出k，這樣即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)進(jìn)行分析，點(diǎn)（m，6）在該函數(shù)的圖象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值解：（1）y+2與x成正比例，設(shè)y+2=kx（k是常數(shù)，且k0）當(dāng)x=-2時(shí)，y=00+2k·（-2），k-1函數(shù)關(guān)系式為x+2=-x，即y=-x-2（2）列表；x0-2y-20描點(diǎn)、連線，圖象如圖1123所示（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x-2時(shí)，y0當(dāng)x-2時(shí)，y0(4)點(diǎn)（m，6）在該函數(shù)的圖象上，6=-m-2,m-8（5）函數(shù)y=-x-2分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，A（-2，0），B（0，-2）SABP=·|AP|·|

22、OA|=4，|BP|=.點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離為4又B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2),且P在y軸負(fù)半軸上，P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-6).例11 已知一次函數(shù)y=（3-k）x-2k2+18.（1）k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？（2）k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-2）?（3）k為何值時(shí)，它的圖象平行于直線y=-x？（4）k為何值時(shí)，y隨x的增大而減小？分析 函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)某點(diǎn)，說(shuō)明該點(diǎn)坐標(biāo)適合方程；圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸上方，說(shuō)明常數(shù)項(xiàng)bO；兩函數(shù)圖象平行，說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)相等；y隨x的增大而減小，說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)小于0解：（1）圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則它是正比例函數(shù)k-2當(dāng)k=-3時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（2）該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)

23、點(diǎn)（0，-2）.-2=-2k2+18，且3-k0，k=±當(dāng)k=±時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，-2)（3）函數(shù)圖象平行于直線y=-x，3-k=-1，k4當(dāng)k4時(shí)，它的圖象平行于直線x=-x（4）隨x的增大而減小，3-kOk3當(dāng)k3時(shí)，y隨x的增大而減小例12 判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上分析 由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立，說(shuō)明在此直線上；若不成立，說(shuō)明不在此直線上解：設(shè)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b由題意可知，過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x-2當(dāng)x=4時(shí)

24、，y=4-2=2點(diǎn)C（4，2）在直線y=x-2上三點(diǎn)A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一條直線上學(xué)生做一做 判斷三點(diǎn)A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一條直線上.探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用例13 老師講完“一次函數(shù)”這節(jié)課后，讓同學(xué)們討論下列問(wèn)題：（1）x從0開(kāi)始逐漸增大時(shí)，y=2x+8和y=6x哪一個(gè)的函數(shù)值先達(dá)到30？這說(shuō)明了什么？（2）直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何？甲生說(shuō)：“y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30，說(shuō)明y=6x比y=2x+8的值增長(zhǎng)得快”乙生說(shuō)：“直線y=-x與y=-

25、x+6是互相平行的”你認(rèn)為這兩個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？分析 （1）可先畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，從圖象中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x2時(shí)，6x2x+8，所以，y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30（2）直線y=-x與y=-x+6中的一次項(xiàng)系數(shù)相同，都是-1，故它們是平行的，所以這兩位同學(xué)的說(shuō)法都是正確的解：這兩位同學(xué)的說(shuō)法都正確例14 某校一名老師將在假期帶領(lǐng)學(xué)生去北京旅游，用旅行社說(shuō)：“如果老師買全票，其他人全部半價(jià)優(yōu)惠”乙旅行社說(shuō)：“所有人按全票價(jià)的6折優(yōu)惠”已知全票價(jià)為240元（1）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，甲旅行社的收費(fèi)為y甲元，乙旅行社的收費(fèi)為y乙元，分別表示兩家旅行社的收費(fèi)；（2）就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠分析 先求出甲、乙

26、兩旅行社的收費(fèi)與學(xué)生人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)比較，探究結(jié)論解：（1）甲旅行社的收費(fèi)y甲（元）與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=240+×240x=240+120x.乙旅行社的收費(fèi)y乙（元）與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=240×60×（x+1）=144x+144（2）當(dāng)y甲=y乙時(shí)，有240+120x=144x+144，24x96，x=4當(dāng)x=4時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)相同，去哪家都可以當(dāng)y甲y乙時(shí)，240+120x144x+144，24x96，x4當(dāng)x4時(shí)，去乙旅行社更優(yōu)惠當(dāng)y甲y乙時(shí)，有240+120x140x+144，24x96，x4當(dāng)x4時(shí)，去甲旅行

27、社更優(yōu)惠小結(jié) 此題的創(chuàng)新之處在于先通過(guò)計(jì)算進(jìn)行討論，再作出決策，另外，這兩個(gè)函數(shù)都是一次函數(shù)，利用圖象來(lái)研究本題也不失為一種很好的方法學(xué)生做一做 某公司到果園基地購(gòu)買某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問(wèn)醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對(duì)購(gòu)買量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運(yùn)回，已知該公司租車從基地到公司的運(yùn)輸費(fèi)為5000元（1）分別寫出該公司兩種購(gòu)買方案的付款y（元）與所購(gòu)買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；（2）當(dāng)購(gòu)買量在什么范圍時(shí)，選擇哪種購(gòu)買方案付款少？并說(shuō)明理由老師評(píng)一評(píng) 先求出兩種購(gòu)買方案的付款

28、y（元）與所購(gòu)買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)比較，探索出結(jié)論（1）甲方案的付款y甲（元）與所購(gòu)買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=9x（x3000）；乙方案的付款y乙（元）與所購(gòu)買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=8x+500O（x3000）（2）有兩種解法：解法1：當(dāng)y甲=y乙時(shí)，有9x=8x+5000，x=5000當(dāng)x=5000時(shí)，兩種方案付款一樣，按哪種方案都可以當(dāng)y甲y乙時(shí)，有9x8x+5000，x5000又x3000，當(dāng)3000x5000時(shí)，甲方案付款少，故采用甲方案當(dāng)y甲y乙時(shí)，有9x8x+5000，x5000當(dāng)x500O時(shí)，乙方案付款少，故采用乙方案

29、解法2：圖象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函數(shù)圖象，如圖1124所示，由圖象可得：當(dāng)購(gòu)買量大于或等于3000千克且小于5000千克時(shí)，y甲y乙,即選擇甲方案付款少；當(dāng)購(gòu)買量為5000千克時(shí)，y甲y乙即兩種方案付款一樣；當(dāng)購(gòu)買量大于5000千克時(shí)，y甲y乙，即選擇乙方案付款最少【說(shuō)明】 圖象法是解決問(wèn)題的重要方法，也是考查學(xué)生讀圖能力的有效途徑.例15 一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3x6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5y-2，則這個(gè)函數(shù)的解析式為 .分析 本題分兩種情況討論：當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大，則有：當(dāng)x=-3，y=-5；當(dāng)x=6時(shí)，y=-2，把它們代入y=kx

30、+b中可得函數(shù)解析式為y=-x-4當(dāng)kO時(shí)則隨x的增大而減小，則有：當(dāng)x=-3時(shí)，y=-2；當(dāng)x=6時(shí)，y=-5，把它們代入y=kxb中可得函數(shù)解析式為y=-x-3.函數(shù)解析式為y=x-4，或y=-x-3.答案：y=x-4或y=-x-3.【注意】 本題充分體現(xiàn)了分類討論思想，方程思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用，切忌考慮問(wèn)題不全面.中考試題預(yù)測(cè)例1 某地舉辦乒乓球比賽的費(fèi)用y（元）包括兩部分：一部分是租用比賽場(chǎng)地等固定不變的費(fèi)用b（元），另一部分與參加比賽的人數(shù)x（人）成正比例，當(dāng)x=20時(shí)y=160O；當(dāng)x=3O時(shí)，y=200O（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)果有50名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，且全部費(fèi)

31、用由運(yùn)動(dòng)員分?jǐn)偅敲疵棵\(yùn)動(dòng)員需要支付多少元？分析 設(shè)舉辦乒乓球比賽的費(fèi)用y（元）與租用比賽場(chǎng)地等固定不變的費(fèi)用b（元）和參加比賽的人數(shù)x（人）的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k0）.把x=20，y=1600；x=30，y=2000代入函數(shù)關(guān)系式，求出k，b的值，進(jìn)而求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x=50時(shí)，求出y的值，再求得y÷50的值即可解：（1）設(shè)y1=b，y2=kx（k0，x0），y=kx+b又當(dāng)x=20時(shí)，y=1600；當(dāng)x=30時(shí),y=2000，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=40x+800（x0）.（2）當(dāng)x=50時(shí)，y=40×50+800=2800（元）每名運(yùn)動(dòng)員需

32、支付2800÷50=56（元答：每名運(yùn)動(dòng)員需支付56元例2 已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)x=-4時(shí)，y的值為9；當(dāng)x=2時(shí)，y的值為-3（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式。（2）在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象分析 求函數(shù)的解析式，需要兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值，把它們代入y=kx+b中，即可求出k在的值，也就求出這個(gè)函數(shù)的解析式，進(jìn)而畫出這個(gè)函數(shù)的圖象解：（1）由題意可知這個(gè)函數(shù)的解析式為x=-2x+1.(2)列表如下：x0y10描點(diǎn)、連線，如圖1126所示即為y=-2x+1的圖象例3 如圖1127所示，大拇指與小拇指盡量張開(kāi)時(shí)，兩指尖的距離稱為指距某項(xiàng)研究表明，一般情況下人的身高h(yuǎn)是指距d的一

33、次函數(shù)，下表是測(cè)得的指距與身高的一組數(shù)據(jù)指距d/cm20212223身高h(yuǎn)/cm160169178187（1）求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量d的取值范圍）（2）某人身高為196cm，一般情況下他的指距應(yīng)是多少？分析 設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=kd+b（k0）當(dāng)d20時(shí)，h=160；當(dāng)d=21時(shí),h=169把這兩對(duì)d,h值代人h=kd+b得所以得出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)h=196時(shí)，即可求出d解：（1）設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式為h=kd+b(k0)由題中圖表可知當(dāng)d=2O時(shí),h=16O；當(dāng)d=21時(shí)，h=169. 把它們代入函數(shù)關(guān)系式，得h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是h=9d-

34、20（2）當(dāng)h=196時(shí)，有196=9d-20d24當(dāng)某人的身高為196cm時(shí)，一般情況下他的指距是24cm例4 汽車由重慶駛往相距400千米的成都，如果汽車的平均速度是100千米時(shí)，那么汽車距成都的路程s（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系用圖象（如圖1128所示）表示應(yīng)為（ ）分析 本題主要考查函數(shù)關(guān)系式的表達(dá)及函數(shù)圖象的知識(shí)，由題意可知,汽車距成都的路程s（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式是s=400-100t，其中自變量t的取值范圍是0t4，所以有0s400，因此這個(gè)函數(shù)圖象應(yīng)為一條線段，故淘汰掉D又因?yàn)樵赟=400-100t中的k=-1000，s隨t的增大而減小，所以正確答案應(yīng)該

35、是C答案：C小結(jié) 畫函數(shù)圖象時(shí)，要注意自變量的取值范圍，尤其是對(duì)實(shí)際問(wèn)題例5 已知函數(shù)：（1）圖象不經(jīng)過(guò)第二象限；（2）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-5）.請(qǐng)你寫出一個(gè)同時(shí)滿足（1）和（2）的函數(shù)關(guān)系式： 分析 這是一個(gè)開(kāi)放性試題，答案是不惟一的，因?yàn)辄c(diǎn)（2，-5）在第四象限，而圖象又不經(jīng)過(guò)第二象限，所以這個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一點(diǎn)，就可以確定出函數(shù)的解析式設(shè)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的直線解析式為y=kx+b（kO），另外的一點(diǎn)為（4，3），把這兩個(gè)點(diǎn)代入解析式中即可求出k，b. y=4x-13.答案：y4x-13【注意】 后面學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)二次函數(shù)后可另行分析.例6 人

36、在運(yùn)動(dòng)時(shí)的心跳速率通常和人的年齡有關(guān)如果用a表示一個(gè)人的年齡，用b表示正常情況下這個(gè)人運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分心跳的最高次數(shù)，另么b=08（220-a）（1）正常情況下，在運(yùn)動(dòng)時(shí)一個(gè)16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是多少？（2）一個(gè)50歲的人運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)心跳的次數(shù)為20次，他有危險(xiǎn)嗎？分析 （1）只需求出當(dāng)a=16時(shí)b的值即可（2）求出當(dāng)a=50時(shí)b的值，再用b和20×=120（次）相比較即可解：（1）當(dāng)a=16時(shí)，b=08（220-16）1632（次）正常情況下，在運(yùn)動(dòng)時(shí)一個(gè)16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是1632次（2）當(dāng)a=50時(shí)，b=08（220-50）=08&

37、#215;170=136（次），表示他最大能承受每分136次而20×=120136，所以他沒(méi)有危險(xiǎn)一個(gè)50歲的人運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)心跳的次數(shù)為20次，他沒(méi)有危險(xiǎn)例7 某市的A縣和B縣春季育苗，急需化肥分別為90噸和60噸，該市的C縣和D縣分別儲(chǔ)存化肥100噸和50噸，全部調(diào)配給A縣和B縣已知C，D兩縣運(yùn)化肥到A，B兩縣的運(yùn)費(fèi)（元噸）如下表所示（1）設(shè)C縣運(yùn)到A縣的化肥為x噸，求總運(yùn)費(fèi)W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求最低總運(yùn)費(fèi)，并說(shuō)明總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)的運(yùn)送方案分析 利用表格來(lái)分析C，D兩縣運(yùn)到A，B兩縣的化肥情況如下表則總運(yùn)費(fèi)W（元）與x（噸）的函數(shù)關(guān)系式為W=

38、35x+40（90-x）+30（100-x）+4560-（100-x）=10x+4800自變量x的取值范圍是40x90解：（1）由C縣運(yùn)往A縣的化肥為x噸，則C縣運(yùn)往B縣的化肥為（100-x）噸D縣運(yùn)往A縣的化肥為（90-x）噸，D縣運(yùn)往B縣的化肥為（x-40）噸由題意可知W35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）10x+4800自變量x的取值范圍為40x90總運(yùn)費(fèi)W（元）與x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為w1Ox+480O（40x9O）（2）100，W隨x的增大而增大當(dāng)x=40時(shí)，W最小值=10×40+4800=5200（元）運(yùn)費(fèi)最低時(shí)，x=40，90-x=50（噸

39、），x-40=0（噸）當(dāng)總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)，運(yùn)送方案是：C縣的100噸化肥40噸運(yùn)往A縣，60噸運(yùn)往B縣，D縣的50噸化肥全部運(yùn)往A縣例8 2006年夏天，某省由于持續(xù)高溫和連日無(wú)雨，水庫(kù)蓄水量普遍下降，圖1129是某水庫(kù)的蓄水量V（萬(wàn)米2）與干旱持續(xù)時(shí)間t（天）之問(wèn)的關(guān)系圖，請(qǐng)根據(jù)此圖回答下列問(wèn)題（1）該水庫(kù)原蓄水量為多少萬(wàn)米2？持續(xù)干旱10天后水庫(kù)蓄水量為多少萬(wàn)米3？（2）若水庫(kù)存的蓄水量小于400萬(wàn)米3時(shí)，將發(fā)出嚴(yán)重干旱警報(bào)，請(qǐng)問(wèn)：持續(xù)干旱多少天后，將發(fā)生嚴(yán)重干旱警報(bào)？ （3）按此規(guī)律，持續(xù)干旱多少天時(shí)，水庫(kù)將干涸？分析 由函數(shù)圖象可知，水庫(kù)的蓄水量V（萬(wàn)米2）與干旱時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系

40、為一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)的解析式是V=kt+b（k，b是常數(shù)，且k0）.由圖象求得這個(gè)函數(shù)解析式，進(jìn)而求出本題（1）（2）（3）問(wèn)即可解：設(shè)水庫(kù)的蓄水量V（萬(wàn)米3）與干旱時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式是V=kt+b（k，b是常數(shù)，且k=0）由圖象可知，當(dāng)t=10時(shí)，V=800；當(dāng)t=30時(shí)，V=400把它們代入V=kt+b中，得V=-20t+1000（0t50）（1）當(dāng)t=0時(shí)，V=-20×0+1000=1000（萬(wàn)米2）；當(dāng)t=10時(shí)，V=-20×10+1000=800（萬(wàn)米3）該水庫(kù)原蓄水量為1000萬(wàn)米3，持續(xù)干旱10天后，水庫(kù)蓄水量為800萬(wàn)米3（2）當(dāng)V400時(shí)，有-