窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器

1、1. 課題描述. 12. 題目及要求.13. 設(shè)計(jì)原理.1 3.1 濾波器的分類(lèi).1 3.2 數(shù)字濾波器工作原理.1 3.3 FIR濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo).3 3.4窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器的設(shè)計(jì)原理.5 3.5用窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器的步驟.10 3.6實(shí)驗(yàn)所用MATLAB函數(shù)說(shuō)數(shù).114設(shè)計(jì)內(nèi)容.12 4.1用MATLAB編程實(shí)現(xiàn).12 4.2結(jié)果分析.155總結(jié).17 6參考文獻(xiàn).171.課題描述數(shù)字濾波器是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。因此，數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是信號(hào)的形成和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同。正因?yàn)閿?shù)字

2、濾波通過(guò)數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波處理精度高、穩(wěn)定、體積小、質(zhì)量輕、靈活、不存在阻抗匹配問(wèn)題，可以實(shí)驗(yàn)?zāi)M濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。本課題使用MATLAB信號(hào)處理箱和運(yùn)用窗函數(shù)的FIR濾波器去除無(wú)用信號(hào)。2. 題目及要求 產(chǎn)生包含三個(gè)正弦成分（120hz,80hz,20hz）的信號(hào)，設(shè)計(jì)基于窗函數(shù)的FIR濾波器去除120hz,20hz成分，保留80hz信號(hào)。通帶允許的最大衰減為0.25dB，阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減為20dB。 濾波器的采樣頻率為500Hz。3. 設(shè)計(jì)原理3.1濾波器的分類(lèi) 從功能上可以分為：低通、高通、帶通和帶阻。 從處理信號(hào)分為：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。 從設(shè)計(jì)方法上分

3、為：切比雪夫和巴特沃斯 從實(shí)現(xiàn)方法上分為：FIR和IIR3.2數(shù)字濾波器的工作原理數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入x(n)是一個(gè)時(shí)間序列，輸出y(n)也是一個(gè)時(shí)間序列。如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(Z),其脈沖響應(yīng)為h(n),則在時(shí)間域內(nèi)存在下列關(guān)系 y(n)=x(n) h(n) 在Z域內(nèi)，輸入輸出存在下列關(guān)系 Y(Z)=H(Z)X(Z)式中，X(Z),Y(Z)分別為輸入x(n)和輸出y(n)的Z變換。 同樣在頻率域內(nèi)，輸入和輸出存在下列關(guān)系 Y(jw)=X(jw)H(jw)式中，H(jw)為數(shù)字濾波器的頻率特性，X(jw)和Y(jw)分別為x(n)和y(n)的頻譜。w為數(shù)字角頻率，單位rad

4、。通常設(shè)計(jì)H(jw)在某些頻段的響應(yīng)值為1，在某些頻段的響應(yīng)為0.X(jw)和H(jw)的乘積在頻率響應(yīng)為1的那些頻段的值仍為X(jw)，即在這些頻段的振幅可以無(wú)阻礙地通過(guò)濾波器，這些頻帶為通帶。X(jw)和H(jw)的乘積在頻段響應(yīng)為0的那些頻段的值不管X(jw)大小如何均為零，即在這些頻段里的振幅不能通過(guò)濾波器，這些頻帶稱(chēng)為阻帶。 一個(gè)合適的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可以根據(jù)需要輸入x(n)的頻率特性，經(jīng)數(shù)字濾波器處理后的信號(hào)y(n)保留信號(hào)x(n)中的有用頻率成分，去除無(wú)用頻率成分。3.3 FIR濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。一般來(lái)說(shuō)，濾波器的性能要求往往以

5、頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來(lái)表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應(yīng)有通帶、過(guò)渡帶及阻帶三個(gè)范圍。在通帶內(nèi)：  1- AP 1 在阻帶中：       其中為通帶截止頻率, 為阻帶截止頻率，Ap為通帶誤差, 為阻帶誤差。圖2-6 低通濾波器的幅度特性與模擬濾波器類(lèi)似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類(lèi)型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為2。由于頻率響應(yīng)的周期性，頻率變量以數(shù)字頻率來(lái)表示，所以數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中必須給出抽樣頻率。圖2-7為各種數(shù)字濾波器理想幅度，可以看出：1、 一個(gè)高通濾波器相當(dāng)于

6、一個(gè)全通濾波器減去一個(gè)低通濾波器。2、 一個(gè)帶通濾波器相當(dāng)于兩個(gè)低通濾波器相減。3、 一個(gè)帶阻濾波器相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器加上一個(gè)高通濾波器。這里的相加相減都是相當(dāng)于并聯(lián)結(jié)構(gòu)。圖2-7中所示的各種數(shù)字濾波器理想頻率響應(yīng)只表示了正頻率部分，這樣的理想頻率響應(yīng)是不可能實(shí)現(xiàn)的，原因是頻帶之間幅度響應(yīng)是突變的，因而其單位抽樣響應(yīng)是非因果的。因此要給出實(shí)際逼近容限。數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，它在z平面單位圓上的值為濾波器頻率響應(yīng)，表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特征的三個(gè)參量是幅度平方響應(yīng)、相位響應(yīng)和群延時(shí)響應(yīng)。窗函數(shù)的設(shè)計(jì)指標(biāo)主要為：過(guò)渡帶寬和阻帶最小衰減。3.4窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR濾波器的設(shè)計(jì)原理 FIR濾波器與II

7、R濾波器特點(diǎn)不同，設(shè)計(jì)方法也就不同。由于FIR系統(tǒng)的沖激響應(yīng)就是其系統(tǒng)函數(shù)各次項(xiàng)的系數(shù)，所以設(shè)計(jì)FIR濾波器的方法之一可以從時(shí)域出發(fā)，截取有限長(zhǎng)的一段沖激響應(yīng)作為H（z）的系數(shù)，沖激響應(yīng)長(zhǎng)度N就是系統(tǒng)函數(shù)H（z）的階數(shù)。只要N足夠長(zhǎng)，截取的方法合理，總能滿足頻域的要求。這種時(shí)域設(shè)計(jì)、頻域檢驗(yàn)的方法一般要反復(fù)幾個(gè)回合，不像IIR DF設(shè)計(jì)靠解析公式一次計(jì)算成功。 窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR的基本思想是:首先根據(jù)給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)求出理想濾波器的頻響 ,其對(duì)應(yīng)的單位樣值響應(yīng)是非因果的無(wú)限長(zhǎng)序列。設(shè)計(jì)要用一個(gè)有限長(zhǎng)序列來(lái)逼近它 ,最有效的辦法是用一個(gè)有限長(zhǎng)的窗函數(shù)截取理想濾波器的單位樣值響應(yīng) ,因而窗函數(shù)的形

8、狀及長(zhǎng)度的選擇就成為了關(guān)鍵。在Matlab中常用的窗函數(shù)有矩形窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Kaiser窗等。這些窗函數(shù)各有優(yōu)缺點(diǎn) ,所以要根據(jù)實(shí)際情況合理選擇窗函數(shù)類(lèi)型。 3.4.1.窗函數(shù)分為：矩形窗、三角形窗、漢寧窗（Hanning）、哈明窗、布萊克曼窗、凱塞-貝塞爾窗。 3.4.2.窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為,是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng), 為系統(tǒng)函數(shù)。 (式3.1.1) (式3.1.2) (式3.1.3) 一般說(shuō)來(lái), 是無(wú)限長(zhǎng)的,需要求對(duì)的一個(gè)逼近。采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法時(shí),可通過(guò)對(duì)理想濾波器的單位采樣響應(yīng)加窗設(shè)計(jì)濾波器 (式3.1.4)其中, 是一

9、個(gè)長(zhǎng)度有限的窗,在區(qū)間0 n N外值為0 ,且關(guān)于中間點(diǎn)對(duì)稱(chēng) (式3.1.5)頻率響應(yīng)根據(jù)(式3.1.5) ,由卷積定理得出 (式3.1.6)理想的頻率響應(yīng)被窗函數(shù)的離散時(shí)間傅立葉變換“平滑”了。采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器的頻率響應(yīng)對(duì)理想響應(yīng)的逼近程度,由兩個(gè)因素決定:主瓣的寬度;旁瓣的幅度大小。理想的情況是主瓣的寬度窄,旁瓣的幅度小。但對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度固定的窗函數(shù)來(lái)說(shuō),這些不能獨(dú)立地達(dá)到最小。窗函數(shù)的一些通用性質(zhì)為:1、窗函數(shù)的長(zhǎng)度N增加,主瓣的寬度減小,使得過(guò)渡帶變小。關(guān)系為:NB = C其中:B是過(guò)渡帶的寬度;C是取決于窗函數(shù)的一個(gè)參數(shù)。如矩形窗為4。調(diào)整N可以有效地控制過(guò)渡帶的寬度,

10、但N的改變不改變主瓣和旁瓣的相對(duì)比例。隨著N值增加,過(guò)渡帶變窄,波動(dòng)頻率也隨著增加,雖然總的幅度有所減少,但截止頻率附近的肩峰并不減少,而只是隨著N值的增加,肩峰被抑制在愈來(lái)愈小的范圍內(nèi),使肩峰寬度變窄。2、窗函數(shù)的旁瓣的幅度大小取決于窗函數(shù)的選擇。選擇恰當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)使主瓣包含更多的能量,相應(yīng)旁瓣的幅度就減小。旁瓣幅度的減小,可以減少通帶和阻帶的波動(dòng),使通帶盡可能趨近水平,阻帶盡可能達(dá)到最大衰減。但通常此時(shí)過(guò)渡帶會(huì)變寬。3、取不同的窗函數(shù)對(duì)幅度特性的整形效果比單純的增加窗口長(zhǎng)度要強(qiáng)得多。3.4.3設(shè)計(jì)方法這種方法也叫傅里葉級(jí)數(shù)法。一般是先給出所要求的理想的濾波器的頻率響應(yīng)，要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波

11、器頻率響應(yīng)來(lái)逼近。設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的，因而先由的傅里葉反變換導(dǎo)出，即 (式3.2.1)由于是矩形頻率響應(yīng)特性，故一定是無(wú)限長(zhǎng)序列，且是非因果的，而FIR濾波器的必然是有限長(zhǎng)的，所以要用有限長(zhǎng)的來(lái)逼近無(wú)限長(zhǎng)的，最有效的方法是截?cái)嗷蛘哒f(shuō)用一個(gè)有限長(zhǎng)度的窗口函數(shù)序列來(lái)截取，即 (式3.2.2)因而窗函數(shù)序列的形狀及長(zhǎng)度的選擇就是關(guān)鍵。我們以一個(gè)截止頻率為的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波器為例來(lái)討論。設(shè)低通特性的群延時(shí)為，即 (式3.2.3)這表明，在通帶范圍內(nèi)，的幅度是均勻的，其值為1，相位是。利用(1)式可得 (式3.2.4)是中心點(diǎn)在的偶對(duì)稱(chēng)無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，要得到有限長(zhǎng)的，一種最簡(jiǎn)單的方

12、法就是取矩形窗，即 但是按照線形相位濾波器的約束，必須是偶對(duì)稱(chēng)的，對(duì)稱(chēng)中心應(yīng)為長(zhǎng)度的一半(N-1)/2，因而必須=(N-1)/2，所以有 (式3.2.5)將(式3.2.4)代入(式3.25)，可得 (式3.2.6)此時(shí)，一定滿足這一線性相位的條件。下面求的傅里葉變換，也就是找出待求FIR濾波器的頻率特性，以便能看出加窗處理后究竟對(duì)頻率響應(yīng)有何影響。按照復(fù)卷積公式，在時(shí)域是相乘、頻域上是周期性卷積關(guān)系，即 (式3.2.7)因而逼近的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性。窗函數(shù)的頻率特性為 (式3.2.8)對(duì)矩形窗，則有 (式3.2.9)也可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù) (式3.2.10)其中 (式3.2

13、.11)就是頻域抽樣內(nèi)插函數(shù)，其幅度函數(shù)在之內(nèi)為一個(gè)主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應(yīng)也寫(xiě)成 (式3.2.12)則其幅度函數(shù)為 (式3.2.13)3.5用窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器的步驟1、根據(jù)阻帶的衰減，選擇合適的窗： 不同的窗有不同的性質(zhì)：不同的窗函數(shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號(hào)的截?cái)喈a(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計(jì)算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過(guò)選擇不同的窗函數(shù)對(duì)它們的影響進(jìn)行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高)。2、根據(jù)

14、窗函數(shù)得到的序列經(jīng)過(guò)firl或fir2得到一個(gè)濾波器傳輸函數(shù)系數(shù)的序列。1）fir1 ： 用來(lái)設(shè)計(jì)傳統(tǒng)的低通，高通，帶通，帶阻，多頻帶FIR濾波器； 調(diào)用格式：b = fir1(N,Wn); b = fir1(N,Wn,high); b = fir1(N,Wn, stop); 參數(shù)說(shuō)明：N：階次，濾波器長(zhǎng)度為N1； Wn：通帶截止頻率，其值在01之間，1對(duì)應(yīng)Fs/2； b:濾波器系數(shù)。 在上述所有格式中，若不指定窗函數(shù)的類(lèi)型，fir1自動(dòng)選擇Hamming窗。2）fir2 ： 用來(lái)設(shè)計(jì)具有任意幅度響應(yīng)的FIR濾波器。 調(diào)用格式：b = fir2(N, F, M); 參數(shù)說(shuō)明：F是頻率向量，其值

15、在01之間； M是和F相對(duì)應(yīng)的所希望的幅頻相應(yīng)。 如同fir1, 缺省時(shí)自動(dòng)選用Hamming窗。3）為了觀測(cè)到設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器的特性，用freqz得到頻率響應(yīng)。 其中在畫(huà)頻率響應(yīng)的時(shí)候我們分為幅度和相位畫(huà)出。 又因?yàn)槲覀円^測(cè)的是衰減的大小程度，以dB為單位，所以我們?cè)诋?huà)幅度的時(shí)候縱坐標(biāo)應(yīng)該轉(zhuǎn)換成dB。4） 為了觀測(cè)是否濾除已知頻率，用filte(b,1,a)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，對(duì)信號(hào)的濾波實(shí)驗(yàn)。3.6實(shí)驗(yàn)所用MATLAB函數(shù)說(shuō)數(shù)1H,w=freqz(b,a,N) b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0pi范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)的值（其中N為正整數(shù)

16、），w則包含了范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)。調(diào)用默認(rèn)的N時(shí)，其值是512?？梢韵日{(diào)用freqz()函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用abs()和angle()函數(shù)及plot()函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線。 2 Wn=kaiser(N,beta) 列向量wn中返回長(zhǎng)度為N的凱塞貝塞爾窗函數(shù)w（n）。3 ceil(x) 是取大于等于x的最小整數(shù)。 4 fir1使用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)。本函數(shù)在3.5中有詳細(xì)介紹。 4.設(shè)計(jì)內(nèi)容4.1用MATLAB設(shè)計(jì)程序如下clear;fs=500;t=(1:250)/fs;x=10*cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*80*t)+1

17、0*cos(2*pi*120*t);L=length(x);N=2(nextpow2(L);Hw=fft(x,N);figure(2);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid on;title('濾波前信號(hào)x');xlabel('時(shí)間/s');% 原始信號(hào)subplot(2,1,2);plot(0:N-1)*fs/L,abs(Hw);% 查看信號(hào)頻譜grid on;title('濾波前信號(hào)頻譜圖');xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅|H(ejw)|');Ap=0.25;As=

18、20;% 定義通帶及阻帶衰減dev=10(-As/20),(10(Ap/20)-1)/(10(Ap/20)+1),10(-As/20);% 計(jì)算偏移量mags=0,1,0;% 帶通fcuts=30,50,90,110;% 邊界頻率N,Wn,beta,ftype=kaiserord(fcuts,mags,dev,fs);% 估算FIR濾波器階數(shù)hh2=fir1(N,Wn,ftype,kaiser(N+1,beta);% FIR濾波器設(shè)計(jì)hn,w1=freqz(hh2,1,512);%求解數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)figure(5)stem(hh2)title('hh2波形')figure(1) %繪圖subplot(2,1,1)plot(w1/pi,20*log10(abs(hn)gridxlabel('頻率w');ylabel('幅度/db');subplot(2,1,2)plot(w1/pi,angle(hn)gridxlabel('頻率w');ylabel('相位/rad');y=cos(2*pi*80*t)y=filter