窗函數(shù)設計FIR濾波器

1、1. 課題描述. 12. 題目及要求.13. 設計原理.1 3.1 濾波器的分類.1 3.2 數(shù)字濾波器工作原理.1 3.3 FIR濾波器的設計指標.3 3.4窗函數(shù)設計FIR濾波器的設計原理.5 3.5用窗函數(shù)設計濾波器的步驟.10 3.6實驗所用MATLAB函數(shù)說數(shù).114設計內(nèi)容.12 4.1用MATLAB編程實現(xiàn).12 4.2結果分析.155總結.17 6參考文獻.171.課題描述數(shù)字濾波器是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。因此，數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是信號的形成和實現(xiàn)濾波方法不同。正因為數(shù)字

2、濾波通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波處理精度高、穩(wěn)定、體積小、質(zhì)量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實驗模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。本課題使用MATLAB信號處理箱和運用窗函數(shù)的FIR濾波器去除無用信號。2. 題目及要求 產(chǎn)生包含三個正弦成分（120hz,80hz,20hz）的信號，設計基于窗函數(shù)的FIR濾波器去除120hz,20hz成分，保留80hz信號。通帶允許的最大衰減為0.25dB，阻帶應達到的最小衰減為20dB。 濾波器的采樣頻率為500Hz。3. 設計原理3.1濾波器的分類 從功能上可以分為：低通、高通、帶通和帶阻。 從處理信號分為：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。 從設計方法上分

3、為：切比雪夫和巴特沃斯 從實現(xiàn)方法上分為：FIR和IIR3.2數(shù)字濾波器的工作原理數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)，輸入x(n)是一個時間序列，輸出y(n)也是一個時間序列。如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(Z),其脈沖響應為h(n),則在時間域內(nèi)存在下列關系 y(n)=x(n) h(n) 在Z域內(nèi)，輸入輸出存在下列關系 Y(Z)=H(Z)X(Z)式中，X(Z),Y(Z)分別為輸入x(n)和輸出y(n)的Z變換。 同樣在頻率域內(nèi)，輸入和輸出存在下列關系 Y(jw)=X(jw)H(jw)式中，H(jw)為數(shù)字濾波器的頻率特性，X(jw)和Y(jw)分別為x(n)和y(n)的頻譜。w為數(shù)字角頻率，單位rad

4、。通常設計H(jw)在某些頻段的響應值為1，在某些頻段的響應為0.X(jw)和H(jw)的乘積在頻率響應為1的那些頻段的值仍為X(jw)，即在這些頻段的振幅可以無阻礙地通過濾波器，這些頻帶為通帶。X(jw)和H(jw)的乘積在頻段響應為0的那些頻段的值不管X(jw)大小如何均為零，即在這些頻段里的振幅不能通過濾波器，這些頻帶稱為阻帶。 一個合適的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可以根據(jù)需要輸入x(n)的頻率特性，經(jīng)數(shù)字濾波器處理后的信號y(n)保留信號x(n)中的有用頻率成分，去除無用頻率成分。3.3 FIR濾波器的設計指標我們在進行濾波器設計時，需要確定其性能指標。一般來說，濾波器的性能要求往往以

5、頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應有通帶、過渡帶及阻帶三個范圍。在通帶內(nèi)：  1- AP 1 在阻帶中：       其中為通帶截止頻率, 為阻帶截止頻率，Ap為通帶誤差, 為阻帶誤差。圖2-6 低通濾波器的幅度特性與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應是周期性的，周期為2。由于頻率響應的周期性，頻率變量以數(shù)字頻率來表示，所以數(shù)字濾波器設計中必須給出抽樣頻率。圖2-7為各種數(shù)字濾波器理想幅度，可以看出：1、 一個高通濾波器相當于

6、一個全通濾波器減去一個低通濾波器。2、 一個帶通濾波器相當于兩個低通濾波器相減。3、 一個帶阻濾波器相當于一個低通濾波器加上一個高通濾波器。這里的相加相減都是相當于并聯(lián)結構。圖2-7中所示的各種數(shù)字濾波器理想頻率響應只表示了正頻率部分，這樣的理想頻率響應是不可能實現(xiàn)的，原因是頻帶之間幅度響應是突變的，因而其單位抽樣響應是非因果的。因此要給出實際逼近容限。數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，它在z平面單位圓上的值為濾波器頻率響應，表征數(shù)字濾波器頻率響應特征的三個參量是幅度平方響應、相位響應和群延時響應。窗函數(shù)的設計指標主要為：過渡帶寬和阻帶最小衰減。3.4窗函數(shù)設計 FIR濾波器的設計原理 FIR濾波器與II

7、R濾波器特點不同，設計方法也就不同。由于FIR系統(tǒng)的沖激響應就是其系統(tǒng)函數(shù)各次項的系數(shù)，所以設計FIR濾波器的方法之一可以從時域出發(fā)，截取有限長的一段沖激響應作為H（z）的系數(shù)，沖激響應長度N就是系統(tǒng)函數(shù)H（z）的階數(shù)。只要N足夠長，截取的方法合理，總能滿足頻域的要求。這種時域設計、頻域檢驗的方法一般要反復幾個回合，不像IIR DF設計靠解析公式一次計算成功。 窗函數(shù)法設計 FIR的基本思想是:首先根據(jù)給定的設計指標求出理想濾波器的頻響 ,其對應的單位樣值響應是非因果的無限長序列。設計要用一個有限長序列來逼近它 ,最有效的辦法是用一個有限長的窗函數(shù)截取理想濾波器的單位樣值響應 ,因而窗函數(shù)的形

8、狀及長度的選擇就成為了關鍵。在Matlab中常用的窗函數(shù)有矩形窗、Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Kaiser窗等。這些窗函數(shù)各有優(yōu)缺點 ,所以要根據(jù)實際情況合理選擇窗函數(shù)類型。 3.4.1.窗函數(shù)分為：矩形窗、三角形窗、漢寧窗（Hanning）、哈明窗、布萊克曼窗、凱塞-貝塞爾窗。 3.4.2.窗函數(shù)法設計原理設數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為,是與其對應的單位脈沖響應, 為系統(tǒng)函數(shù)。 (式3.1.1) (式3.1.2) (式3.1.3) 一般說來, 是無限長的,需要求對的一個逼近。采用窗函數(shù)設計法時,可通過對理想濾波器的單位采樣響應加窗設計濾波器 (式3.1.4)其中, 是一

9、個長度有限的窗,在區(qū)間0 n N外值為0 ,且關于中間點對稱 (式3.1.5)頻率響應根據(jù)(式3.1.5) ,由卷積定理得出 (式3.1.6)理想的頻率響應被窗函數(shù)的離散時間傅立葉變換“平滑”了。采用窗函數(shù)設計法設計出來的濾波器的頻率響應對理想響應的逼近程度,由兩個因素決定:主瓣的寬度;旁瓣的幅度大小。理想的情況是主瓣的寬度窄,旁瓣的幅度小。但對于一個長度固定的窗函數(shù)來說,這些不能獨立地達到最小。窗函數(shù)的一些通用性質(zhì)為:1、窗函數(shù)的長度N增加,主瓣的寬度減小,使得過渡帶變小。關系為:NB = C其中:B是過渡帶的寬度;C是取決于窗函數(shù)的一個參數(shù)。如矩形窗為4。調(diào)整N可以有效地控制過渡帶的寬度,

10、但N的改變不改變主瓣和旁瓣的相對比例。隨著N值增加,過渡帶變窄,波動頻率也隨著增加,雖然總的幅度有所減少,但截止頻率附近的肩峰并不減少,而只是隨著N值的增加,肩峰被抑制在愈來愈小的范圍內(nèi),使肩峰寬度變窄。2、窗函數(shù)的旁瓣的幅度大小取決于窗函數(shù)的選擇。選擇恰當?shù)拇昂瘮?shù)使主瓣包含更多的能量,相應旁瓣的幅度就減小。旁瓣幅度的減小,可以減少通帶和阻帶的波動,使通帶盡可能趨近水平,阻帶盡可能達到最大衰減。但通常此時過渡帶會變寬。3、取不同的窗函數(shù)對幅度特性的整形效果比單純的增加窗口長度要強得多。3.4.3設計方法這種方法也叫傅里葉級數(shù)法。一般是先給出所要求的理想的濾波器的頻率響應，要求設計一個FIR濾波

11、器頻率響應來逼近。設計是在時域進行的，因而先由的傅里葉反變換導出，即 (式3.2.1)由于是矩形頻率響應特性，故一定是無限長序列，且是非因果的，而FIR濾波器的必然是有限長的，所以要用有限長的來逼近無限長的，最有效的方法是截斷或者說用一個有限長度的窗口函數(shù)序列來截取，即 (式3.2.2)因而窗函數(shù)序列的形狀及長度的選擇就是關鍵。我們以一個截止頻率為的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波器為例來討論。設低通特性的群延時為，即 (式3.2.3)這表明，在通帶范圍內(nèi)，的幅度是均勻的，其值為1，相位是。利用(1)式可得 (式3.2.4)是中心點在的偶對稱無限長非因果序列，要得到有限長的，一種最簡單的方

12、法就是取矩形窗，即 但是按照線形相位濾波器的約束，必須是偶對稱的，對稱中心應為長度的一半(N-1)/2，因而必須=(N-1)/2，所以有 (式3.2.5)將(式3.2.4)代入(式3.25)，可得 (式3.2.6)此時，一定滿足這一線性相位的條件。下面求的傅里葉變換，也就是找出待求FIR濾波器的頻率特性，以便能看出加窗處理后究竟對頻率響應有何影響。按照復卷積公式，在時域是相乘、頻域上是周期性卷積關系，即 (式3.2.7)因而逼近的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性。窗函數(shù)的頻率特性為 (式3.2.8)對矩形窗，則有 (式3.2.9)也可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù) (式3.2.10)其中 (式3.2

13、.11)就是頻域抽樣內(nèi)插函數(shù)，其幅度函數(shù)在之內(nèi)為一個主瓣，兩側形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應也寫成 (式3.2.12)則其幅度函數(shù)為 (式3.2.13)3.5用窗函數(shù)設計濾波器的步驟1、根據(jù)阻帶的衰減，選擇合適的窗： 不同的窗有不同的性質(zhì)：不同的窗函數(shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號的截斷產(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數(shù)對它們的影響進行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高)。2、根據(jù)

14、窗函數(shù)得到的序列經(jīng)過firl或fir2得到一個濾波器傳輸函數(shù)系數(shù)的序列。1）fir1 ： 用來設計傳統(tǒng)的低通，高通，帶通，帶阻，多頻帶FIR濾波器； 調(diào)用格式：b = fir1(N,Wn); b = fir1(N,Wn,high); b = fir1(N,Wn, stop); 參數(shù)說明：N：階次，濾波器長度為N1； Wn：通帶截止頻率，其值在01之間，1對應Fs/2； b:濾波器系數(shù)。 在上述所有格式中，若不指定窗函數(shù)的類型，fir1自動選擇Hamming窗。2）fir2 ： 用來設計具有任意幅度響應的FIR濾波器。 調(diào)用格式：b = fir2(N, F, M); 參數(shù)說明：F是頻率向量，其值

15、在01之間； M是和F相對應的所希望的幅頻相應。 如同fir1, 缺省時自動選用Hamming窗。3）為了觀測到設計出來的濾波器的特性，用freqz得到頻率響應。 其中在畫頻率響應的時候我們分為幅度和相位畫出。 又因為我們要觀測的是衰減的大小程度，以dB為單位，所以我們在畫幅度的時候縱坐標應該轉換成dB。4） 為了觀測是否濾除已知頻率，用filte(b,1,a)函數(shù)來實現(xiàn)，對信號的濾波實驗。3.6實驗所用MATLAB函數(shù)說數(shù)1H,w=freqz(b,a,N) b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0pi范圍內(nèi)N個頻率等分點的值（其中N為正整數(shù)

16、），w則包含了范圍內(nèi)N個頻率等分點。調(diào)用默認的N時，其值是512?？梢韵日{(diào)用freqz()函數(shù)計算系統(tǒng)的頻率響應，然后利用abs()和angle()函數(shù)及plot()函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線。 2 Wn=kaiser(N,beta) 列向量wn中返回長度為N的凱塞貝塞爾窗函數(shù)w（n）。3 ceil(x) 是取大于等于x的最小整數(shù)。 4 fir1使用窗函數(shù)法設計線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)。本函數(shù)在3.5中有詳細介紹。 4.設計內(nèi)容4.1用MATLAB設計程序如下clear;fs=500;t=(1:250)/fs;x=10*cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*80*t)+1

17、0*cos(2*pi*120*t);L=length(x);N=2(nextpow2(L);Hw=fft(x,N);figure(2);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid on;title('濾波前信號x');xlabel('時間/s');% 原始信號subplot(2,1,2);plot(0:N-1)*fs/L,abs(Hw);% 查看信號頻譜grid on;title('濾波前信號頻譜圖');xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅|H(ejw)|');Ap=0.25;As=

18、20;% 定義通帶及阻帶衰減dev=10(-As/20),(10(Ap/20)-1)/(10(Ap/20)+1),10(-As/20);% 計算偏移量mags=0,1,0;% 帶通fcuts=30,50,90,110;% 邊界頻率N,Wn,beta,ftype=kaiserord(fcuts,mags,dev,fs);% 估算FIR濾波器階數(shù)hh2=fir1(N,Wn,ftype,kaiser(N+1,beta);% FIR濾波器設計hn,w1=freqz(hh2,1,512);%求解數(shù)字濾波器的頻率響應figure(5)stem(hh2)title('hh2波形')figure(1) %繪圖subplot(2,1,1)plot(w1/pi,20*log10(abs(hn)gridxlabel('頻率w');ylabel('幅度/db');subplot(2,1,2)plot(w1/pi,angle(hn)gridxlabel('頻率w');ylabel('相位/rad');y=cos(2*pi*80*t)y=filter