試驗設計與設計的準則

1、試驗設計與設計的準則劉森茂數(shù)學科學學院v先從一個簡單的試驗開始：生產(chǎn)集成電路的一個初始步驟是產(chǎn)生晶體外延層。試驗中有三個地方需要配置： 感應旋轉方法、噴咀位置、沉積溫度，每個地方有兩種配置方法。也即有三個因子，每個因子兩個水平。試驗人員希望找出最好的配置，使得產(chǎn)生的外延層厚度盡可能接近15.4毫米。v為此，試驗人員在每一種可能的設置下（2的3次方，共8種可能）做5次試驗，共40次試驗。v上述試驗叫做“完全因析試驗”，我們可以用五次試驗距離目標值差距的平方和作為響應變量，建立回歸模型，并進行方差分析。v模型方程是：v上述參數(shù)叫做回歸方程的系數(shù)，在試驗設計中，也叫因子的效應。.;ijklijkij

2、ikijkijkly,1, 2;1, 2,3, 4,5;ij kl一般的分析方法：v最小二乘估計v回歸分析中的變量篩選v正態(tài)圖、半正態(tài)圖vF檢驗效應是否顯著v根據(jù)顯著的回歸系數(shù)確定因子水平v這個試驗有三個因子，每個水平下重復5次，共有40次試驗。但在稍微復雜一點的試驗中，因子數(shù)往往有8-10個，甚至更多，那時即使沒有重復，試驗次數(shù)也已經(jīng)數(shù)百、上千，這在很多情形下（如農(nóng)業(yè)試驗有很長的周期，汽車、機械、核物理等試驗則很費錢）是很不好的。v這時，流行的做法是選擇一個“部分因析試驗”。v為了引出“部分因析設計”，我們先給前面提到的“效應”做一個嚴格的定義。vA因子的主效應：vA、B因子的交互效應：vA

3、、B、C的三階交互效應：v“+”是指一個水平，“-”是另一個?！盇B+”是指”A+, B+”或”A-, B-”。v通過與前面的回歸模型相對比（回歸模型中用最小二乘計算回歸系數(shù)），這里的效應與回歸模型中的回歸系數(shù)只相差一個倍數(shù)。()()()ME Ay Ay A ( , )()()INT A By ABy AB ( , , )()()INT ABCy ABCy ABC 著名的效應三原則：v效應排序原則；低階效應比高階效應更重要；主效應二階效應三階效應同階效應同樣重要；v效應稀疏原則；在因析試驗中相對重要的因子效應數(shù)目是不多的。v效應遺傳原則；要使一個交互效應是顯著的，至少它的一個親本因子是顯著的。

4、若AB交互效應顯著，則A和B至少有一個是顯著的。v基于以上原則，設計界目前廣泛使用的是部分因析試驗，以及用MA準則來判斷試驗是否優(yōu)良。v部分因析試驗只是完全因析試驗的一部分。v考慮一個簡單的試驗(參見Box(1961), page5, table3).v我們來看這兩個效應：123和4，顯然有：也即，這兩個效應“別名”，在記號上有：4=123，或I=1234（I是單位元），這也稱作一個定義對照關系，也叫定義字。(4 )(4 )(123 )(123 )yyyy v對一般的部分因析試驗，可能有不只一個定義對照關系，可以證明，所有的定義對照關系構成一個二階可交換群，叫做“定義對照子群”。v一個 設計，

5、是說它的試驗次數(shù)是 ，它有k個因子，它的定義對照子群有 個元素。2kp2kp2pMA準則（最小低階混雜）：v對上面的那個定義字I=BCDE，我們說它的字長度為4，因為是一個4階效應與單位效應別名。v對一個 設計，用 記其定義對照子群中字長為i的字的個數(shù)，v稱為一個試驗的字長型。v一個MA設計就是順次最小化字長型的設計。它所依據(jù)的道理是效應排序原則，因為如果長度較短的定義字比較多，就意味著低階效應別名狀況比較嚴重。2kpiA34(,.,)kWA AAv上面講的都是兩水平的情形，對于一般的素數(shù)水平，理論是相似的。v為了一般化，前面說的”+”和”-”要改為GF(2)中的0和1，而一般的素數(shù)p水平，就

6、是用GF(p)中的運算法則。對于素數(shù)冪 水平，運用GF( )中的運算。v但對于一般的數(shù)，因為沒有對應的有限域，所以無法構建相應的部分因析設計理論。v我們做一個羅列：2，3，5，7（素數(shù)）；4，8，9（素數(shù)冪），但6不行，而7水平以上的實際試驗極為罕見。mpmpv試驗設計大量的成果和論文就是用來尋找MA設計。v參見Chen, Sun, and Wu(1993)(page816).v用計算機進行搜索在試驗次數(shù)和因子數(shù)比較小的情形下是可行的，但二者比較大時就變得不可行。v90以來，學術界開始用編碼理論和有限域上的射影幾何來尋找MA設計。v其他方法還有“補設計”和“最大偶設計的補設計”等。其他設計準則

7、：vMA設計準則很直觀，也很簡潔，但它是不是最好的？v我們引入兩個基本的概念：一般可以認為，主效應和二階交互效應是應該考慮的，最多在某些時候考慮一下三階交互效應，三階以上是應該忽略的。v一個主效應或二因子交互效應如果不與其他主效應或二因子交互效應別名，那么我們稱這個主效應（或二因子交互效應）是純凈的。v一個純凈的效應如果也不與任何三階交互效應別名，則稱它是強純凈的。v一個新的設計準則就是：那些擁有最多純凈效應的設計是最優(yōu)的。v兩個準則的區(qū)別與聯(lián)系：v在試驗次數(shù)和因子數(shù)都不太大的情形下，二者大多數(shù)是一致的，但隨著試驗次數(shù)和因子數(shù)的增大，二者的分歧越來越大。v我們考慮一個例子：v考慮兩個 設計：v

8、（1）I=1235=1246=3456v（2）I=125=1346=234566 22v字長型分別為： （0，3，0，0）和（1，1，1，0），因此從MA準則的角度考慮，設計（1）比設計（2）優(yōu)良。v但設計（1）沒有純凈的二因子交互作用，而設計（2）有6個，所以在某些場合設計（2）優(yōu)于設計（1），設計（2）的缺點在于它純凈的主效應只有三個。v這兩個準則各有優(yōu)劣，應該使用哪個應視具體情況而定。GMC準則v這個準則的形式很復雜，要表述清楚都需要很多新的定義和細節(jié)。它的思想是全面考慮所有效應之間的別名關系，給出一個復雜的數(shù)組，然后順次最小化這個數(shù)組，注意MA設計也是順次最小化一個數(shù)組字長型。v但這個準則卻是一個最一般化的情形