用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)

1、word用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)一、知識(shí)點(diǎn)解析1、定義：定義1、形如yax3bx2cxd(a0)的函數(shù)，稱為"三次函數(shù)"。定義2、三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)：f/(x)3ax22bxc(a0),我們把4b212ac4(b23ac),叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式。2、三次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究：1、單調(diào)性一般地，當(dāng)b23ac0時(shí),三次函數(shù)yax3bx2cxd(a0)在R上是單調(diào)函數(shù)；當(dāng)b23ac0時(shí).三次函數(shù)yax3bx2cxd(a0)在R上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間。2、對(duì)稱中心三次函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)稱中心為點(diǎn)bb(丁，f(丁)，此點(diǎn)的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)

2、的橫坐標(biāo)。3a3ay=f(x)圖象的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù)y=/'O)的對(duì)稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)。3、三次方程根的問題1當(dāng)b23ac0時(shí)，由于不等式f(x)0恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個(gè)實(shí)根。2當(dāng)a、23ac0時(shí)，由于方程f(x)。有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,不妨設(shè)x1x2,可知，(”,f(x。)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，(x2,f(x2)為極小值點(diǎn)，且函數(shù)yf(x)在(，x1)和(x2,)上單調(diào)遞增，在xi,x2上單調(diào)遞減。14 / 13此時(shí)：假如f(x1)f(x2)0,即函數(shù)yf(x)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)在X軸同側(cè)，圖象均與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以原方

3、程有且只有一個(gè)實(shí)根。假如f(x1)f(x2)0,即函數(shù)yf(x)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)在x軸異側(cè)，圖象與x軸必有三個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有三個(gè)不等實(shí)根。假如f(x。f(x2)0,即f(x)與f(x2)中有且只有一個(gè)值為0,所以，原方程有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)相等。4、極值點(diǎn)問題假如函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo的附近恒有f(xo)>f(x)(或f(xo)<f(x),如此稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處取得極大值或極小值,稱點(diǎn)xo為極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)。當(dāng)。時(shí)，三次函數(shù)yfx在，上的極值點(diǎn)要么有兩個(gè)。當(dāng)o時(shí)，三次函數(shù)yfx在，上不存在極值點(diǎn)。5、最值問題。函數(shù)/=+反1+EK#H(白#嘰工W孫邦1隹i如工0U牌內(nèi),

4、且Q,如此：fmaxxfm,fxo,fn;/(工)1tttl=min(VO),/(X),。8、f(x)ax3bx2cxd(a0)類似于二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)表:2一_b3ac02ccb3ac0y麗/Iay-IoIi.V圖像f(Xi)f(X2)0J*業(yè)LXprlf(x1)f(x2)0f(Xi)f(X2)0f(x)0根的個(gè)數(shù)三實(shí)根兩實(shí)根一實(shí)根一實(shí)根與x軸的交點(diǎn)二交點(diǎn)兩交點(diǎn)一交點(diǎn)一交點(diǎn)單調(diào)性在(，x1HD(x2,)上為增函數(shù).，在(Xi,X2)上為減函數(shù)在R上為增函數(shù)極值后兩個(gè)極值，一個(gè)極大值f(x1),一個(gè)極小值f(x2)無極值二、經(jīng)典題型、考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性例1 函數(shù)f(x)=x3+px+q

5、(x C R)是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)，如此A、p=0,q=0B、p C R,q=0p< 0,q=0D、p> 0,q=0解析由奇函數(shù)以與增函數(shù)的定義易知選二、考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性對(duì)稱例2函數(shù)f(x)=x3-3x2+x-1的圖象關(guān)于A、直線x=1B、直線y=xC、點(diǎn)(1,-2)D、原點(diǎn)北尊成中心對(duì)稱知選C2 7ax2)(x2 ax b)的圖像關(guān)于直線解析由f(x)=ax3+bx2+cx+d(aw0)的圖象關(guān)于3ba,d例3、2013課標(biāo)全國，16假如函數(shù)f(x)(1x=-2對(duì)稱，如此f(x)的最大值為解析：函數(shù)f(x)(1x2)(x2axb)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，如此f(0)

6、f(4)f(1)f(5)22解得a=8,b=5,所以f(x)(1x)(x8x15)可以解得f(x)的最大值為16。三、運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解題例4函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如下列圖，如此A、bC(-8,0)B、b(0,1)Cb(1,2)D、bC(2,+8)解析顯然f(0)=d=0,由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0,又f(x)=ax3-3ax2+2ax比擬系數(shù)可知b=-3a<0,應(yīng)當(dāng)選A引申試確定的a,b,c,d符號(hào)答：a>0,b<0,c>0,d=0例52013課標(biāo)全國n卷，10函數(shù)f(x)=x3+a/+bx+c,如下結(jié)論中錯(cuò)誤

7、的答案是Ax“CR,f(x.)=0B函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C假如x”是f(x)的極小值點(diǎn)，如此f(x)在區(qū)間-0°,xa單調(diào)遞減D假如刈是fx的極值點(diǎn)，如此f'x00解析：由三次函數(shù)值域?yàn)镽知f(x)=0有解，A正確；由性質(zhì)可知B正確;由性質(zhì)可知假如f(x)有極小值點(diǎn)，如此f(x)0由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1x2),f(x)3x22axb3(xx1)(xx2)，如止匕f(x)在-0°,xi)上為增函數(shù)，在(X1,X2)上為減函數(shù)，在X2,)上為增函數(shù)，故C錯(cuò)。D正確。選Co四、考查單調(diào)區(qū)間、極值、最值的問題例62010年全國卷n文函數(shù)fX=x

8、3-3ax2+3x+1。I設(shè)a=2,求fX的單調(diào)區(qū)間；n設(shè)fX在區(qū)間2,3中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值X圍。解析：2求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x),在2,3內(nèi)有極值，即為f(x)在2,3內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，即可根據(jù)f(2)f(3)0,即可求出a的取值X圍。五、考查交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題例72009某某文20函數(shù)f(x)x33ax1,a0I求f(x)的單調(diào)區(qū)間；II假如f(x)在x1處取得極值，直線y=m與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值X圍.2 2解：1f(x)3x3a3(xa),當(dāng)a0時(shí)，對(duì)xR,有f'(x)0,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)當(dāng)a0時(shí)，由f'(x)0解得x0或x石，由

9、f'(x)0解得VaxVa,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，7),(Va,),單調(diào)減區(qū)間為(Ja,ja).2因?yàn)閒(x)在x1處取得極大值，所以f'(1)3(1)23a0,a1.所以f(x)x33x1,f'(x)3x23,由f'(x)0解得x11,x21.由1中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值1,在x1處取得極小值-3.因?yàn)橹本€ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以m的取值X圍是(3,1).點(diǎn)評(píng)：(1)此題是三次函數(shù)零點(diǎn)存在性問題的典型變式題，涉與圖象交點(diǎn)向函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化關(guān)系；(2)此題最終將問題轉(zhuǎn)化為研究三次函數(shù)根的分布，采用極值最值控

10、制法；(3)在這里應(yīng)結(jié)合上面例題進(jìn)一步揭示研究二次方程與三次方程實(shí)根分布問題在方法上的本質(zhì)關(guān)系，以便進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)極值最值的認(rèn)識(shí)和對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).六、考查曲線的切線問題例82007全國II理22函數(shù)f(x)x3X.1求曲線yf(x)在點(diǎn)M(t,f(t)處的切線方程；2設(shè)a0,假如過點(diǎn)(a,b)可作曲線yf(x)的三條切線，證明：abf(a)解：1f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)3x21.曲線yf(x)在點(diǎn)M(t,f(t)處的切線方程為:yf(t)f(t)(xt),即y(3t21)x2t3.2如果有一條切線過點(diǎn)(a,b),如此存在t,使b(3t21)a2t3.假如過點(diǎn)(a,b)可作曲線yf(x)

11、的三條切線，如此方程2t33at2ab0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.記g(t)2t33at2ab,如此g(t)6t26at6t(ta).當(dāng)t變化時(shí)，g(t),g(t)變化情況：t(,0)0(0,a)a(a,)g'(x)00g(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由g(t)的單調(diào)性，當(dāng)極大值ab0或極小值bf(a)0時(shí)，方程g(t)0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)3a根；當(dāng)ab0時(shí)，解萬程g(t)0得t0,t，即方程g(t)0只有兩個(gè)相異的實(shí)2a數(shù)根；當(dāng)bf(a)0時(shí)，解萬程g(t)0得t,ta,即方程g(t)0只有兩個(gè)相異2的實(shí)數(shù)根.綜上所述，如果過(a,b)可作曲線yf(x)三條切線，即g(t)0有三個(gè)相異的

12、實(shí)數(shù)根，如此ab0，即abf(a).bf(a)0.點(diǎn)評(píng)：(1)此題是前一個(gè)問題的延伸，其以導(dǎo)數(shù)幾何意義為載體；(2)此題最終將問題轉(zhuǎn)化為研究三次函數(shù)根的分布，采用極值最值控制法；(3)在這里應(yīng)結(jié)合上面例題進(jìn)一步揭示研究二次方程與三次方程實(shí)根分布問題在方法上的本質(zhì)關(guān)系，以便進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)極值最值的認(rèn)識(shí)和對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)七、含參數(shù)的恒成立問題例92008年某某文aq3工設(shè)函數(shù)f(x)-x-x(a1)x1,其中a為實(shí)數(shù)。3 2I函數(shù)f(x)在x1處取得極值，求a的值；n不等式f'(x)x2xa1對(duì)任意a(0,)都成立，某某數(shù)x的取值X圍。解析：If'(x)ax23x(a1),

13、由于函數(shù)f(x)在x1時(shí)取得極值，所以f'(1)0即a3a10,：a1對(duì)于問題n有兩種方法：方法一轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)g(a)由題設(shè)知：ax23x(a1)x2xa1對(duì)任意a(0,)都成立即a(x22)x22x0對(duì)任意a(0,)都成立設(shè) g(a) a( x2 2) x2 2x(aR),如此對(duì)任意xR, g(a)為單調(diào)遞增函數(shù)所以對(duì)任意a (0,),g(a)0恒成立的充分必要條件是g(0)0即x22x0,.2x0于是x的取值X圍是x|2x0方法二恒成立問題，轉(zhuǎn)化為不等式的最值問題由題設(shè)知：ax23x(a1)x2xa1對(duì)任意a(0,)都成立)都成立即a(x22)x22x0對(duì)任意a(0,于是ax

14、2 2x) 對(duì)任意 x2 2(0,上，x2 2x)都成立，即x 2x 0 x2 22x0于是x的取值X圍是x|2x0三、高考試題檢測(cè)1.(2011某某，12)函數(shù)f(x)=x33x2+1在乂=處取得極小值.解析f'x)=3x26x=0得x=0或x=2；.當(dāng)xC(8,0)U(2,十)時(shí)f'x)>0,f(x)為增函數(shù).當(dāng)xC(0,2)時(shí)，f'(x)<0,f(x)為減函數(shù).；f(x)在x=2處取得極小值.答案22、(2014某某，11)當(dāng)xC2,1時(shí)，不等式ax3-x2+4x+30包成立，如止匕實(shí)數(shù)a的取值X圍是()9A.5,-3B.-6,一&C.6,-2

15、D.-4,-3解析當(dāng)xC(0,1時(shí)，得a>31'41+1,令t=1,如此tC1,+8),xxxxa>-3t3-4t2+t,令g(t)=3t34t2+t,tC1,十川,如止匕g't)U9t28t+1=(t+1)(9t1),顯然在1,+0°)上，g'(t)v0,g單調(diào)遞減，所以g(t)max=g(1)=6,因此a>-6;同理，當(dāng)x2,0)時(shí)，得a02.由以上兩種情況得6&a<-2,顯然當(dāng)x=0時(shí)也成立.故實(shí)數(shù)a的取值X圍為6,2.答案C3、（2015某某某某模擬）曲線f（x）=x3+x2在p。處的切線平行于直線y=4x1,B. (2

16、, 8)如此P0點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.(1,0)C. (1, 0)和(一1, -4)D. (2, 8)和(一1, -4)解析設(shè)P0（x0,y°）,如此3x0+1=4,所以x°=蟲，所以p0點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）和（一1,-4）,應(yīng)當(dāng)選C.答案C4、(2015某某診斷)函數(shù)f(x)=x3+(1a)x2a(a+2)x+b(a,bR).假如函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為一3,求a,b的值;(2)假如曲線v=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值X圍.解f'x)=3x2+2(1a)x-a(a+2).(1)由題意得f0b=0,=一 aa + 2= - 3,解

17、得b=0,2=-3或1.(2)，曲線y=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，,關(guān)于x的方程f'x)=3x2+2(1a)xa(a+2)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，A=4(1a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,1.aw2.11a的取值X圍是一0°,2U2，+00.5.(2015某某，19)函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,bCR).(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)假如b=ca(實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),.一一一.一33a的取值X圍恰好是(一,-3)U1,2U2,+oo，求c的值.解(1)f'x)=3x2+2

18、ax,令f'x)=0,解得xi=0,x2=2a.3當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)閒x)=3x2>0(x0),所以函數(shù)f(X)在(一8,+00)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí)，x得U(0,+00)時(shí)，f(x)>0,x0時(shí),332a2af'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在一0°,-y,(0,+8)上單調(diào)遞增，在一"3,0上單調(diào)遞減;當(dāng)a<0時(shí)，x(8,0)u2,+00時(shí)，f，(x)>0,x0,2a時(shí),332a2a.f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(一oo,0),-,+OO上單調(diào)遞增，在0,一f上單調(diào)遞減.2a4q(2)由(1)知，函數(shù)f(x)的

19、兩個(gè)極值為f(0)=b,f萬=27a3+b,如此函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)f-2a=b27a3+b<0,a>0,a<0,從而_24a3<b<0或0<bv_24a3又b=ca,所以當(dāng)a>0時(shí)，27a3a+c>0或當(dāng)a<0時(shí)，27a3a+c<0.設(shè)g(a)=27a3a+c,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值X圍恰好是(8,+3-7U3- 21U 3)33如此在(8,3)上g(a)<0,且在1,2U2,+8上g(a)>0均恒成立.一一一3.從而g(-3)=c-1<0,且g2=c-1>0,因此c=1.此時(shí)

20、，f(x)=x3+ax2+1a=(x+1)x2+(a1)x+1a,因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，如此x2+(a1)x+1a=0有兩個(gè)異于一1的不等實(shí)根,所以A=(a1)24(1a)=a2+2a3>0,且(一1)2(a1)+1aw0,-33.解得aC(oo,3)u1,2U2，+00.綜上c=1.6、(2015新課標(biāo)全國I,21)函數(shù)f(x)=x3+ax+；,g(x)=Inx.當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線v=f(x)的切線；(2)用minm,n表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=minf(x),g(x)(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解(1)設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0,0),如此f(

21、x0)=0,f'x3 + ax0 + 4=0,23xo + a= 0,一13解得xo=2，a=4.3因此，當(dāng)a=4時(shí)，x軸為曲線y=f(x)的切線.(2)當(dāng)xC(1,+00)時(shí)，g(x)=_lnx<0,從而h(x)=minf(x),g(x)<g(x)<0,故h(x)在(1,+oo)無零點(diǎn).5,5當(dāng)x=1時(shí)，假如a>-4,如止匕f(1)=a+4>0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=50,故x=1是h(x)的零點(diǎn)；假如a<-5,如此f(1)<0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)<0,故x=1不是h(x)的零點(diǎn).當(dāng)xC(0,1)時(shí)，g(x)=lnx>0.所以只需考慮f(x)在(0,1)的