202X版高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式一二維形式的柯西不等式課件新人教A版選修4_5

1、一二維形式的柯西不等式第三講柯西不等式與排序不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式和三角形式，理解它們的幾何意義.2.會用柯西不等式證明一些簡單的不等式，會求某些特定形式的函數(shù)的最值.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點二維形式的柯西不等式思考思考1(a2b2)(c2d2)與與4abcd的大小關(guān)系如何？那么的大小關(guān)系如何？那么(a2b2)(c2d2)與與(acbd)2的大小關(guān)系又如何？的大小關(guān)系又如何？答案答案(a2b2)(c2d2)4abcd，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考思考2當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab且且cd時，時，(a2b2)(c2d2)4ab

2、cd，那么在什，那么在什么條件下么條件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?答案當(dāng)且僅當(dāng)答案當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，時，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.思考思考3假設(shè)向量假設(shè)向量(a，b)，向量，向量(c，d)，你能從向量的數(shù)量積與，你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式？向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式？梳理梳理(1)二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式定理定理1：假設(shè)：假設(shè)a，b，c，d都是實數(shù)，那么都是實數(shù)，那么(a2b2)(c2d2) ，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，等號成立時，等號成立.二維形式的柯西不等式的推論：二維形式的柯西不等式的推論：(acbd

3、)2|acbd|ac|bd|(2)柯西不等式的向量形式定理2：設(shè)，是兩個向量，那么 ，當(dāng)且僅當(dāng)是 ，或存在實數(shù)k，使k時，等號成立.(3)二維形式的三角不等式零向量當(dāng)且僅當(dāng)三點P1，P2與原點O在同一直線上，并且P1，P2點在原點O兩旁時，等號成立.|推論：對于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3R，有事實上，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點P1，P2，P3的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根據(jù)P1P2P3的邊長關(guān)系有|P1P3|P2P3|P1P2|，當(dāng)且僅當(dāng)三點P1，P2，P3在同一直線上，并且點P1，P2在P3點的兩旁時，等號成立.題型探究類型一利用柯西不等式證明不等

4、式證明證明a1，a2，b1，b2R，證明反思與感悟利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時，有時需要反思與感悟利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時，有時需要將待證不等式進(jìn)展變形，以具備柯西不等式的運(yùn)用條件，這種變形往往將待證不等式進(jìn)展變形，以具備柯西不等式的運(yùn)用條件，這種變形往往要認(rèn)真分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，利用添項、拆項、分解、組合、要認(rèn)真分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，利用添項、拆項、分解、組合、配方、數(shù)形結(jié)合等方法配方、數(shù)形結(jié)合等方法.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1為銳角，為銳角，a，bR，證明例例2假設(shè)實數(shù)假設(shè)實數(shù)x，y，z滿足滿足x24y2z23，求證：，求證：|x2yz|3.證明因為證

5、明因為x24y2z23，所以由柯西不等式得所以由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.證明反思與感悟反思與感悟(1)抓住柯西不等式的特征抓住柯西不等式的特征“方、和、積，構(gòu)造使用柯西方、和、積，構(gòu)造使用柯西不等式的條件不等式的條件.(2)此類題也可以用三角不等式，把此類題也可以用三角不等式，把ABO的三個頂點分別設(shè)為的三個頂點分別設(shè)為O(0,0)，A(x1，x2)，B(y1，y2)即可即可.將上面三個同向不等式相加，證明類型二利用柯西不等式求最值例例3假設(shè)假設(shè)3x4y2，試求，試求x2y2的最小值及最小值點的最小值及最小值點.解由

6、柯西不等式解由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，解答反思與感悟利用柯西不等式求最值反思與感悟利用柯西不等式求最值(1)先變形湊成柯西不等式的構(gòu)造特征，是利用柯西不等式求解的前提先變形湊成柯西不等式的構(gòu)造特征，是利用柯西不等式求解的前提條件；條件；(2)有些最值問題從外表上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上有些最值問題從外表上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；柯西不等式解題的技巧；(3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能到

7、達(dá)目的，但在有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能到達(dá)目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否那么就會出現(xiàn)錯誤盾，否那么就會出現(xiàn)錯誤.屢次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技屢次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一巧之一.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3a，bR，且，且9a24b218，求，求3a2b的最值的最值.解由柯西不等式，得解由柯西不等式，得(9a24b2)(1212)(3a2b)2，9a24b218，36(3a2b)2.|3a2b|6.解答達(dá)標(biāo)檢測1.a，bR，a2b24，那么3a2b的最大值為

8、A.4 B.2C.8 D.91234解析解析(a2b2)(3222)(3a2b)2，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)3b2a時取等號，時取等號，所以所以(3a2b)2413.所以所以3a2b的最大值為的最大值為解析答案52.a0，b0，且ab2，那么A.ab B.abC.a2b22 D.a2b23答案12345解析解析(a2b2)(1212)(ab)24，a2b22.解析123459最小值為9.解析答案12345解析解析(a2b2)(m2n2)(manb)225，m2n25.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)anbm時取等號時取等號.解析答案證明證明1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acos bsin )2，|acos bsin |1.12345證明5.a2b21，求證：|acos bsin |1.1.利用柯西不