二叉樹定價模型參考模板

1、期權(quán)定價的二叉樹模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期權(quán)定價的另一種常用方法 二叉樹（binomial tree）模型，它假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)在下一個時間點(diǎn)的價格只有上升和下降兩種可能結(jié)果，然后通過分叉的樹枝來形象描述標(biāo)的資產(chǎn)和期權(quán)價格的演進(jìn)歷程。本章只討論股票期權(quán)定價的二叉樹模型，基于其它標(biāo)的資產(chǎn)如債券、貨幣、股票指數(shù)和期貨的期權(quán)定價的二叉樹方法，請參考有關(guān)的書籍和資料。8.1   一步二叉樹模型我們首先通過一個簡單的例子介紹二叉樹模型。例8.1 假設(shè)一只股票的當(dāng)前價格是$20，三個月后該股票價格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票價格的這種變動過程可通過

2、圖8.1直觀表示出來。                    在上述二叉樹中，從左至右的節(jié)點(diǎn)（實(shí)圓點(diǎn)）表示離散的時間點(diǎn)，由節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的分枝（路徑）表示可能出現(xiàn)的不同股價。由于從開始至期權(quán)到期日只考慮了一個時間步長，圖8.1表示的二叉樹稱為一步（one-step）二叉樹。這是最簡單的二叉樹模型。一般地，假設(shè)一只股票的當(dāng)前價格是 ，基于該股票的歐式期權(quán)價格為 。經(jīng)過一個時間步（至到期日T）后該股票價格有可能上升到 相應(yīng)的期

3、權(quán)價格為 ；也有可能下降到 相應(yīng)的期權(quán)價格為 . 這種過程可通過一步（one-step）二叉樹表示出來，如圖8.2所示。我們的問題是根據(jù)這個二叉樹對該歐式股票期權(quán)定價。為了對該歐式股票期權(quán)定價，我們采用無套利（no arbitrage）假設(shè)，即市場上無套利機(jī)會存在。構(gòu)造一個該股票和期權(quán)的組合（portfolio），組合中有2 / 19 股的多頭股票和1股空頭期權(quán)。如果該股票價格上升到 ，則該組合在期權(quán)到期日的價值為 ；如果該股票價格下降到 ，則該組合在期權(quán)到期日的價值為 。根據(jù)無套利假設(shè)，該組合在股票上升和下降兩種狀態(tài)下的價值應(yīng)該相等，即有    

4、60;                   由此可得                               (8.1)上式意

5、味著 是兩個節(jié)點(diǎn)之間的期權(quán)價格增量與股價增量之比率。在這種情況下，該組合是無風(fēng)險的。以 表示無風(fēng)險利率，則該組合的現(xiàn)值（the present value）為 ,又注意到該組合的當(dāng)前價值是 ，故有                      即            &#

6、160;   將(8.1)代入上式，可得基于一步二叉樹模型的期權(quán)定價公式為                         (8.2)                 &

7、#160;                   (8.3)需要指出的是，由于我們是在無套利（no arbitrage）假設(shè)下討論歐式股票期權(quán)的定價，因此無風(fēng)險利率應(yīng)該滿足： .         現(xiàn)在回到前面的例子中，假設(shè)相應(yīng)的期權(quán)是一個敲定價為$21，到期日為三個月的歐式看漲權(quán)，無風(fēng)險的年利率為12%，求該期權(quán)的當(dāng)前價值。已知：且在期權(quán)到

8、期日，當(dāng) 時，該看漲權(quán)的價值為而當(dāng) 時，該看漲權(quán)的價值為 根據(jù)(8.3)和(8.2)，可得                .上述期權(quán)定價公式(8.2)和(8.3)似乎與股價上升或下降的概率無關(guān)，實(shí)際上，在我們推導(dǎo)期權(quán)價值時它已經(jīng)隱含在股票價格中了。不妨令股價上升的概率為 ，則股價下降的概率就是 ，在時間 的期望股票價格為          

9、0;            如果我們假設(shè)市場是風(fēng)險中性的（risk neutral），則所有證券的價格都以無風(fēng)險利率增加，故有                       于是，我們有       &

10、#160;                                由此可得                 &#

11、160;        與(8.3)比較，我們發(fā)現(xiàn)： ，這就是參數(shù) 的含義，我們稱之為風(fēng)險中性狀態(tài)下股價上升的概率。8.2   兩步二叉樹模型在一步二叉樹模型中，股票和期權(quán)的價格只經(jīng)過一個時間步的演化，如果初始時間距期權(quán)到期日的時間間隔太長，有可能造成計算誤差太大的缺陷。因此，在初始時間與期權(quán)到期日之間增加離散的時間點(diǎn)，縮短計算的時間步長，有助于提高計算精度?，F(xiàn)在我們將初始時間距期權(quán)到期日的時間T分成兩個相等的時間步，則每個時間步長 。假設(shè)一只股票的初始價格是 ，基于該股票的歐式期權(quán)價格為 ，且每經(jīng)過一個

12、時間步，該股票價格或者增加到當(dāng)前價格的 倍，或者下降到當(dāng)前價格的 倍。股票和期權(quán)價格的演化過程可通過如圖8.3所示的二叉樹表示出來，這種含有兩個時間步長的二叉樹稱為兩步二叉樹（Two-step binomial trees）模型。我們的問題是根據(jù)這個二叉樹對該歐式股票期權(quán)定價。類似于一步二叉樹模型的期權(quán)定價方法，采用無套利（no arbitrage）假設(shè)，由前向后（backward）逐步計算期權(quán)價值，我們得到                 (8

13、.4)其中，                                       (8.5)    在(8.4)中， 分別是風(fēng)險中性狀態(tài)下最后一個時間步股價到達(dá)上節(jié)點(diǎn)，中間節(jié)點(diǎn)和下節(jié)

14、點(diǎn)的概率。因此，期權(quán)的初始價值可認(rèn)為是期權(quán)在到期日的期望價值貼現(xiàn)。            例8.2 假設(shè)一只股票的初始價格是$50，且每過1年該股票價格或者上升20%，或者下降20%，無風(fēng)險利率為5%，現(xiàn)有一個基于該股票，敲定價為$52且2年后到期的歐式看跌權(quán)，試用二叉樹模型確定該期權(quán)的價值。分析  將初始時間到期權(quán)到期日的2年時間分成相等的兩個時間步，則股票和期權(quán)價格的演化進(jìn)程可通過圖4直觀表示出來。依題意，已知： 且在期權(quán)到期日，當(dāng) 時，該看跌權(quán)的價值為 

15、60;                   當(dāng) 時，該看跌權(quán)的價值為                       當(dāng) 時，該看跌權(quán)的價值為    &#

16、160;                根據(jù)(8.5)，可得                     再由(8.4)，即可求得該看跌權(quán)的初始價值為        

17、0;.              8.3   多步二叉樹模型一步和兩步二叉樹模型太簡單了，實(shí)際使用的二叉樹要求具有多個離散的時間步長來計算期權(quán)的價值。通常從初始時間到期權(quán)到期日需要分成30或更多個時間步長。兩步二叉樹模型的歐式股票期權(quán)定價公式容易推廣到多步二叉樹模型的情形。如果我們將初始時間距期權(quán)到期日的時間T分成 個相等的時間步，則每個時間步長 。令股票的初始價格為 ，且每經(jīng)過一個時間步，股價或向上增加到當(dāng)前價格的 倍，或向下下降到當(dāng)前價格的

18、倍，無風(fēng)險利率為的 ，則在期權(quán)到期日，股票價格有 種可能結(jié)果： 它們在風(fēng)險中性狀態(tài)下出現(xiàn)的概率分別是： 其中                                       (8.6)令 為與 種股票價格對應(yīng)

19、的期權(quán)價值， 為期權(quán)的敲定價，則在無套利假設(shè)下，股票看漲權(quán)在到期日的價值為           股票看跌權(quán)在到期日的價值為           將該期權(quán)在到期日的期望價值貼現(xiàn)，我們即可得到期權(quán)的（初始）價值為                

20、        (8.7)關(guān)于參數(shù) 的取值，Cox，Ross和Rubinstein給出了由股票價格波動率 確定的公式：                              (8.8)8.4   二叉樹模型的美式股票

21、期權(quán)定價上面我們討論了應(yīng)用二叉樹模型給歐式股票期權(quán)定價。實(shí)際上，二叉樹模型還可給美式股票期權(quán)定價。美式和歐式股票期權(quán)在到期日的價值是相同的。不同的是，美式股票期權(quán)的定價過程要求在到期前每一個離散時間點(diǎn)上判斷提早執(zhí)行（early exercise）是否最優(yōu)，并計算對應(yīng)的期權(quán)價值。假設(shè)股票價格經(jīng)歷了 個時間步的演化到達(dá)期權(quán)到期日，且每一個時間步長為 ，這可用一個 步二叉樹描述（圖形省略）。若股票的初始價格為 ，且每經(jīng)過一個時間步，股價或向上增加到當(dāng)前價格的 倍，或向下下降到當(dāng)前價格的 倍，無風(fēng)險利率為的 ，則在第 個時間步后，二叉樹上產(chǎn)生 個節(jié)點(diǎn)，自上而下分別用 表示，則節(jié)點(diǎn) 對應(yīng)的股票價格為期權(quán)

22、價值用 表示。如果在節(jié)點(diǎn) 處期權(quán)沒有被提早執(zhí)行，則期權(quán)價值 可通過式(8.2)和(8.3)來計算，即                  (8.9)                       

23、0;              (8.10)如果在節(jié)點(diǎn) 處期權(quán)被提早執(zhí)行是最優(yōu)的，則期權(quán)價值 就是提早執(zhí)行的收益（payoff），令 為期權(quán)的敲定價，對股票看漲權(quán)，有                         &#

24、160;      (8.11)對股票看跌權(quán)，有                                (8.12)顯然，美式股票期權(quán)在節(jié)點(diǎn) 處的價值應(yīng)該取 中的較大者，即     

25、                                (8.13)由于美式股票期權(quán)在期權(quán)到期日的價值是已知的，因此美式股票期權(quán)的定價應(yīng)該由前向后逐步計算，這也稱作向后推演（backwards induction）。先由第 步（期權(quán)到期日）的 個節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價值通過公式(8.9)(

26、8.13)推出第 步對應(yīng)的 個節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價值，依此下去，我們可以得到初始時間上的期權(quán)價值。下面通過一個例題具體介紹美式股票期權(quán)的二叉樹定價過程。例8.3 若例7.2考察的股票期權(quán)是美式的，試對該美式股票期權(quán)定價。分析  股票價格的演化進(jìn)程見圖8.5。與歐式股票期權(quán)一樣，在期權(quán)到期日，該美式看跌權(quán)的價值自上而下分別為               (8.12)，可得根據(jù)式(8.9)                         故有                      (8.12)，可得再由式(8.9)   &