數(shù)學(xué)物理方法授課教案

1、第八章平面坐標(biāo)下的別離變量本征值問題一通過上一章的討論，我們知道，在研究物理場量的變化時， 不僅要考慮物理場量隨時間的變化規(guī)律，有時候還需要考慮其在 空間變化規(guī)律，由此便導(dǎo)致了反映物理規(guī)律的“偏微分方程 。偏微分方程泛指同一類的物理規(guī)律，因此稱為泛定方程。偏微分方程假設(shè)附加上邊界條件、初始條件的限制，那么物理過程解就唯一確定，此時便構(gòu)成了定解問題。對于偏微分方程用高等數(shù)學(xué)中介紹的一些方法，無法求解。因此必須引進別離變量法。別離變量法是把偏微分方程分解為幾個常微分方程，從而到達求 解之目的一個數(shù)學(xué)過程。別離變數(shù)法的可行性問題：上一章推導(dǎo)出了三類偏微分方程， 波動方程、輸運方程和泊松方 程。第一類

2、、第二類方程都是時間和空間的函數(shù)，我們在普通物理中 曾對駐波問題進行過研究，其空間周期性和時間周期性彼此獨立，由此受到啟發(fā)，其解應(yīng)具ux,tr XxTt的形式。對于第三種情況 泊松方程，反映的是“有源情況下的一種作用，其效果相當(dāng)于簡單 疊加。由此看來，變量是可以別離的。實際情況如何？我們可以通過實例進行驗證。 8.1齊次方程的別離變數(shù)法一、別離變數(shù)法簡介以兩端固定的均勻弦的自由振動為例 其定解問題為% - a2Uxx 二 02x=0 吒=0(2)()W(x) Utt(x)這里研究的弦是有限長的，它有兩個端點，波就在這兩端點之間 往復(fù)反射。這樣，駐波解的一般表示式應(yīng)當(dāng)為設(shè) u(x,t)二 X(x

3、)T (t)(8.1.2)在(8.1.2)中，自變數(shù)x只能出現(xiàn)于X之中，自變數(shù)t只出現(xiàn)于T 之中，駐波的一般表示式具有別離變數(shù)的形式。那么，在兩端固定的弦上究竟有哪些駐波呢？把駐波的一般表示式(8.1.2)代入弦振動方程(8.1.1)和相應(yīng)的邊界條件，得：XT - a2X T 二 0r(8.1.3)X(0)T(t)二 0X(l)T(t) = 0條件)表示，在時刻t， X(0)T(t)和X (l)T (t)總是零。這樣只能是 X (0) = 0 和 X (I ) = 0(8.1.4)只有邊界條件是齊次的，才得出(8.1.4)這樣簡單的結(jié)論?，F(xiàn)用a2 XT遍除(8.1.3)第一式各項，并整理得(8

4、.1.5)TXa2T X左邊是時間t的函數(shù),跟坐標(biāo)x無關(guān),右邊那么是坐標(biāo)x的函數(shù),跟 時間t無關(guān)。兩邊相等顯然是不可能的，除非兩邊實際上是同一個常 數(shù)，把這個常數(shù)記作“r x“.arw(8g(8.1.6)可以別離為關(guān)于X的常數(shù)微分方程和關(guān)于T的常微分方程,前者還附帶有邊界條件X + X=0X(0) = 0 X(I)=O (8.1.7)a2T = 0(8.1.8)現(xiàn)對(8.1.7)在:0= 00三種可能的情況分別加以討論。1、當(dāng) 0，方程(8.1.7)的解是X(x)二 Gex 一C2ex 一積分常數(shù)G和C2由邊界條件確定，即G c2 = 0Ge1 一C2e一二 0解出6 = 0, C2 = 0

5、,從而X(x)二0,解u(x,t) = 0沒有意 義的。因而排除了 ，舟0的可能。2、，=0.方程(8.1.7)的解是X(x)二 C1x C2C2 二 0 C|l C2 二 0仍然解出 C 0, C 0，從而 u(xt)二 X(x)T(tp 0仍沒有意義，應(yīng)予排除。現(xiàn)只剩下一種可能性，即03、0的情況方程(8.1.7)的解是 X(x) = 5 cosx C2 sin x 其積分常數(shù)由下式確定C2sin=0假設(shè) C0問題仍無解。只能sin v H 0唯一的可能是 I二n二(n為整數(shù))亦即 二1(8.1.10)n兀x當(dāng)入取這些數(shù)值時，X(x)=C2Si n-p(8.1.11)C2為任意常數(shù)。(8.

6、1.11)正是傅里葉正弦級數(shù)的根本函數(shù)族。這樣,別離變數(shù)過程中所引入的常數(shù)不能為負數(shù)或零，甚至也不能是任意的正數(shù)，它必須取(8.1.10)所給出的特定數(shù)值。常數(shù)的這種特 定數(shù)值叫作 本征值，相應(yīng)的解(8.1.11)叫作本征函數(shù)。方程(8.1.7) 和邊界條件那么構(gòu)成所謂本征值問題。再看關(guān)于T的方程(8.1.9),按照(8.1.10),這應(yīng)改寫為a22-T = 0nK at . nH at這個方程的解是 T(t) = AcosBsin(8.1.12)其中A和B是積分常數(shù)把(8.1.11)和(8.1.12)代入(8.1.2),得到別離變數(shù)的形式解( 0,1,2,31!)(8.1.13)n 二 at

7、n at .n二 xun(x,t)=(代 cosBnsin )sinn為正整數(shù)。這就是兩端固定弦上的可能的駐波。每一個 n對應(yīng)于一種駐波，這些駐波也叫作兩端固定弦的本征振動kl在 X 二一(k = 0,1,2,3,111, n)共計 n 1 個點上，nn兀xsin l sin k二二0從而叫(X,t)二0。這些點就是駐波的節(jié)點，l21相鄰節(jié)點間隔-應(yīng)為半波長，所以波長二耳。nnn兀a本征振動(8.1.13)的角頻率(又叫圓頻率)是，從而頻其線性疊加便得到物理問題的一般解n atn at、. n xu(x,t)二 (代 cosBnn=1III其中A和Bn為任意常數(shù)，這里尚未考慮初始條件。為了確定

8、疊加系數(shù)An和Bn，(8.1.14 )滿足初始條件。I .n =1n兀at代 sin(x)Bnn a . n atsinII八(x)(0 x I)(8.1.15)的左邊是傅里葉正弦級數(shù)，這就啟示我們應(yīng)把右邊的展開為傅里葉正弦級數(shù)，然后比擬兩邊的系數(shù)就可確定An和Bn2 In代()sin di l.(8.1.16)2 lnzBn Osin- dLn兀 a 0I解(8.1.14)正好是傅里葉正弦級數(shù)，這正是第一類齊次邊界條件 所決定的?；貞浾麄€求解過程，可以作出圖解如下：別離變量偏微分萬程- - -常微分方程(關(guān)于X)+ 邊界條件，本征(值)函數(shù) 常微分萬程(關(guān)于T) + 初始條件，疊加系數(shù)通解二

9、v 本征函數(shù)本征值一方面，把別離變數(shù)形式的試探解代入偏微分方程，從而把它分 解為幾個常微分方程，問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程；另一方面，代入齊 次邊界條件把它轉(zhuǎn)化為常微分方程的附加條件，這些條件與相應(yīng)的常微分方程構(gòu)本錢征值問題。雖然我們是從駐波引出解題的線索，其實整個求解過程跟駐波并沒有特殊的聯(lián)系， 從數(shù)學(xué)上講，完全可以推廣 應(yīng)用于線性齊次方程和線性齊次邊界條件的多種定解問題。這個方 法，按照它的特點，叫作別離變數(shù)法。用別離變數(shù)法得到的定解問題的解一般是無窮級數(shù) ，不過,在具 體問題中，級數(shù)里常常只有前假設(shè)干項較為重要，后面的項那么迅速減小， 從而可以一概略去?，F(xiàn)將上述弦振動的解與實驗結(jié)果比擬：圖

10、僅示意n =1nxT1 sin 波速Zv = an =2T .2兀 xT2 sin 扎v = an =3. 3 兀 x T| sin 扎v = a結(jié)果與實驗情況完全一致二、舉例例1、磁致伸縮換能器、魚群探測換能器等器件的核心是兩端自 由的均勻桿，它作縱振動。研究兩端自由棒的自由棒的縱振動，即定解問題utt 一 a2ux = 0Ux0:Uxlx廠 0|U t=0= (x) h(x)(o*i)解：按照別離變數(shù)步驟，先以以別離變數(shù)形式的試探解u(xt)二 X(x)T(t)代入泛定方程(8.1.17 )和相應(yīng)的邊界條件，得XT -a2XT 二 0X (O)T(t) = 0X (l)T(t) = O即：

11、X (0) = 0 和 X (l) = 0(8.1.19)IIII用a2XT遍除各項即得厶 牛要相等除非等于一個常數(shù)-a T XIIIITX=九a2TXX X = 0t(8.1.20)X (0) = 0 X (I) = 0Ta2T = 0( )求解本征值問題(8.1.20)。如果 0，只能得到無意義的解X(x)=0 ；如果 =0,那么方程(8.1.20)的解是X(x)二CDx，代入(8.1.20)中之邊界條件，得D0，于是X (x) = Co，其G為任意常數(shù)； 如果 0，方程(8.1.20)的解為X(x) = G cos i x C2 sin 一 x現(xiàn)確定積分常數(shù)G和C2 ，代入(8.1.20

12、)中之邊界條件C2、 = 0i ： (G sinI C2由于= o,所以C2 =0，G sin1=0 ;如果G = 0,那么得無意義 的解 X(x)=0;因此 C 0 , sinx = 0 ,于是x = n二,即 =n 2 (n = 0,1,2,3iii),這是 0情況下的本征值，相應(yīng)的本征函數(shù)是n71X (x) = C1 cosxl現(xiàn)在把 =0與， 0情況本征值和本征函數(shù)合在一起n兀Ci為任意常數(shù),(8.1.22)即傅里葉余弦級數(shù)的根本函數(shù)族。 當(dāng)，-0時,將本征值代入T的方程,有2_. 22 n 応T = 0 和 T a 廠T = 0 (n=0)其解是(8.1.23)To(t) = Ao

13、+ Btn兀atn兀at丄Tn(t) = AnCOSBnS in 丨(n = 1,2J|)其中A Bo An Bn均為獨立的任意常數(shù).把(8.1.22)(8.1.23)代回到開始的假設(shè)解中，得到本征振動n atn at、n- xun(x,t)=代B0t (代 cosBn sin )con (n = 0)(8.1.24)這正是傅里葉余弦級數(shù)的根本函數(shù)族。其一般解為：n atn atn xu(x,t)二 A0Bot(A cosBn sin)con 一gIII(8.1.25) 現(xiàn)確定系數(shù)Ao Bo An Bn。將(8.1.25) 代入(8.1.17)之初始條件n 二 xAo Ancon(x)ndlB

14、o Bn節(jié) conF (x) (o x)L心ll把右邊的和展開為傅里葉余弦級數(shù)，然后比擬兩邊的系數(shù)，即1 I1 lA。二。()d B。( )d2 in兀2in兀An 。 ( )C0S dBn。 ( )cos dI 。Ina 0I例2 研究細桿導(dǎo)熱問題，初始時刻桿的一端溫度為零度，另一 端溫度為uo,桿上溫度梯度均勻，零度的一端保持溫度不變，另一端跟 外界絕熱,試求細桿上溫度的變化。解桿上溫度滿足泛定輸運方程和如下定解條件Ut -a2Uxx 二 0(8.1.26)ju 0:Ux = 0|u ta= u。(0 x I)泛定方程和邊界條件都是齊次的，可以應(yīng)用別離變數(shù)法，首先以 別離變數(shù)形式的試探解u

15、(xt) = X(x)T (t)(8.1.27)代入泛定方程和相應(yīng)的邊界條件，整理并別離變量得：X X - 0 (8.1.28) X(0) = 0 X (I) = 0Ta2T = 0(8.1.29)(8.1.28)構(gòu)成了本征值問題，如果:0或=0 ,只能得到無 意義的解X(x) = 0 ；僅討論 0 ,那么方程(8.1.28)的解是X (x)二 C1 cosx C2 sin i x積分常數(shù)G和C2由(8.1.28)之中邊界條件確定，即G = 0C2co n、1=0假設(shè)C0 , C2 =0,從而得到X (x) = 0 ,除非是con、, I = 0 ,在此條件下，C2是任意常數(shù)；條件con=0,

16、即A2)1 2 2(k /(2k 1)2二2f 2 2l24l2相應(yīng)的本征函數(shù)為：(2 k 1 x(k = 0,123,)(8.1.30) 其X(x) = C2 sin2l此時，關(guān)于T的方程應(yīng)改寫成:(k 71,2,3,)(8.1.31)T a2l20(k)2 二2a2-TtCe t0,123,)其解：T(t)二本例的邊界條件說明：導(dǎo)熱細桿從區(qū)間后。其邊界條件變成ux異0 ux(8.1.32)(0,l)偶延拓到區(qū)間(l,2l)二0,第一個和第三個條x -2l件決定了函數(shù)應(yīng)當(dāng)做奇延拓。延拓后,本征函數(shù)是2k 1, L = 21，這便決定了 一2 2(2k 1) :2(2l).xsin 其中L 5

17、 丿、I(k、)同理，如果其邊界條件變成 u泊=0，那么應(yīng)當(dāng)對函數(shù)作2 2n兀 x(2k + 1)2兀 2偶延拓。延拓后，本征函數(shù)是cos ，其本征值仍為L(2l)這樣,本例問題的一般解應(yīng)是八亠1、222(k+ ) n aoo2L1u(x,t)二 Ckek=01t (k -y xsin 2l系數(shù)Ck,應(yīng)由(8.1.26 )之初始條件確定，即1g(k + Mxuo Ck sin 20x (0 x )(8.1.33)k(k+2)x左邊是以sin 2為根本函數(shù)族展開的傅氏級數(shù)，這就提示我們把右邊的Ux也以sin(k 2 X為根本函數(shù)展開傅氏級數(shù)(這其實就是在區(qū)間(0,2)上展開為傅里葉正弦級數(shù)),然

18、后比擬兩邊的系數(shù)八1、(k + )嘰 得： Ck- sin 2 -得:02 U002u2 2u(x,t)二弩Ck(-)k71 k =0d )k 彳(k )2(k l)2 二2a222uie(k ) 221(k -) x . 2 sin(8.1.34)(k J)2二2a2-t,級數(shù)(8.1.34)收斂對于e ,隨的增大而急劇減小得很快，t越大，級數(shù)收斂的越快。它的一邊y = b處于較y = 0, X = 0, X = a那么處于冷卻介質(zhì)因而保持較低的例3散熱片的橫截面為矩形(圖9-2)。高溫度U,其他三邊 溫度U,求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布U(x, y),即定解問題:Uxx Uyy = 0It

19、Ux=u。Uxw=u (0*yb) (8.1.35)IUg = U0 u/U (0yy)解：這是二維拉普拉斯方程的第一類邊界值問題，由于不含初始條件，拉普拉斯方程的邊界不可能全是齊次的，因為這種條件下的解只能是零。假設(shè)能把一些邊界條件化為齊次，將會帶來一些方便，常用 的方法是把分解為(x,y)和.(x, y)的線性疊加.u(x, y)(x, y) (x, y)(x, y)和，(x, y)分別滿足拉氏方程，并各有一組齊次邊界條件，即xx yyx 廠 U。xU0y廠0coixx+ cox=0y=0yyUoy=b容易驗證，把：(x, y)和(x, y)的泛定方程疊加起來恰好是 U 的泛定方程，把的邊

20、界條件疊加起來確是 U的邊界條件，于是問題轉(zhuǎn) 化為求解(x, y)和(x, y)的問題了。u(x, y)L f(x)sin 丁 yb門兀其中f(x) F(y)都不難求出。蛍(x, y)F(y)sin xb實際上有一個更為簡便的方法，令：u(x, y)二 u(x, y) (8.1.36)這相當(dāng)于把溫標(biāo)作了個平移，將原來的U。作為新溫標(biāo)的零點，以 (8.1.36)代入(8.1.35)得：xx.IVyyV+ynx=0x=a(8.1.36)-uo設(shè)形式解為： (x,t)二X(x)Y(y)代入泛定方程(8.1.36)得：*+ X = 0(8.1.37)X(0)=0 X(a) = 0(8.1.37)構(gòu)本錢

21、征值問題，不難求出本征值和本征函數(shù):2 2n :n_ xX (x) = Csina(n 二 1,2,.)將本征值代入方程,解得yY( y) = AeaBey y這樣，其形式解為：*x，八2ea sin anx,y稱為本征值解，那么一般解是這些本征值解的疊加:g 味y但y即：x,y八AeaBne a)sin a為確定系數(shù)，將x,y代入非齊次邊界條件(8.1.36), (An Bn)sinn =1b (ApeaBne a )sinnTa把右邊展開為傅里正弦級數(shù)，然后比擬兩邊系數(shù)，即得 bAeabBne a(n 二 2k)n-u n = 2k 1問題最后的解為: u(x, y)-1 shX(2k1)

22、ya _ (2k 1) xsinsh(2k 1) b邊長為11,12的巨形薄板，兩板面間不透熱，它的一邊 yr絕熱，其余三邊保持溫度為零。設(shè)薄板的初始溫度分布是fx, y，求板內(nèi)的溫度變化。解定解問題是:r2q(x,y,t) - a 冬(人 y,t) uyy(x, y,t)二 0卜嘰7府UyOU f (x,y)(0 xU,O y l2)設(shè)形式解：u(x, y,t)二X(x)Y(y)T(t)代入泛定方程得其中設(shè)T (t)2aT(t)XM Y(一)X(x)Y(y)XT a2(待定1 )T得到兩個本征值問題X(0)=0 X(lJY(0p 0丫 (叨二 0其本征值和本征解分別為:(n )2liX(x)

23、二 Xn(x)二 sinx|i(n M,2,3J|)U22Ym = si 門22l2212(m 二 0,1,2,111)關(guān)于T的解為:- (f)2 + (穿)2a2 沢 2tT(tp Tnm(tp Cnme 124(n)2 (2m)2a：2tu(x, y,t)八 Cnme11 212.n x . (2m 1) y sin sinn=1 m=0ll212代入初始條件確定疊加系數(shù)兩個正弦函數(shù)分別在相應(yīng)區(qū)域正交f(x, y)Cnmsin Usin2ll212Cnm11 121112f(x,y)sinSsi ndxdyll212下一個例題是平面極坐標(biāo)系的別離變數(shù)法例5:帶電的云跟大地之間的靜電電場近似

24、是勻強靜電場，其電場強度Eo是豎直的.水平架設(shè)的輸電線處在這個靜電場之中。假設(shè)把輸電導(dǎo)線看成無窮長的圓柱體，求解導(dǎo)體圓柱周圍的靜電場分布。解：設(shè)輸電導(dǎo)線半徑為a，取圓柱的軸為z軸,如果圓柱“無限 長，那么這個靜電場的電場強度、電勢顯然跟 z無關(guān)，我們只需在xy 平面上加以研究就夠了。取導(dǎo)線在 xy平面的截面為研究對象，中心 為坐標(biāo)原點，x軸沿E。方向，指向地面。因為導(dǎo)體柱外的空間中沒有電荷，所以電勢U滿足二維的拉普拉斯方程，其定解問題x2y2 二a2Uxx + Uyy =0)以別離變數(shù)形式的試探解u(x, y)二 X(x)Y(y)代入泛定方程后，可以別離變量，但是代入對于邊界條件后得到:X(x

25、)Y(、a2 - x2) = 0可見無法別離成獨立的X(x)和Y(x)的邊界條件，前面介紹的方法無 效，需要另辟蹊徑。顯然選取極坐標(biāo)比擬適宜。此時定解問題改寫成：2u 1 :u12u)：U Pt = 0u _Eoconr設(shè) u( )二 R(r)：()代入(8.1.40 )的拉普拉斯方程式，得nAdR_ 丄Rd-門上式左邊是的函數(shù)，與無關(guān)；右邊是的函數(shù)，與無關(guān)。兩邊不 可能相等，除非兩邊實際上是同一個常數(shù)，把這常數(shù)記作入，R d d-分解為兩個常微分方程：二 0(8.1.41 )2RR0(8.1.42 )常微分方程(8.1.41 )中隱含著一個附加條件。即 ：(2二)八()(8.1.42 )此條

26、件稱作自然的周期條件。常微分方程(8.1.41 )與(8.1.42 )條 件構(gòu)成了本征值問題。其解為：AconBsin (0)門 C)= A B(= 0)【Ae +( (x, t, )d ，貝y ：ut+ a2。ttxxx=0 = O t=r0,=f (x,t) (t -)v =0二 0t=0即:丿亠a2tt a xxx=O 二 0,t 二 0,t :由于t= d 中的d 很小， 物理問題的最后解二 f(X,)t =.上式中已經(jīng)將d.忽略不寫了。由此得到tu(x,t)八.=0u()(x,t)； (x,t; )d例題 12-16 見 Powerpoint 講稿。 8 3非齊次邊界條件的處理以前處

27、理方程都是對齊次邊界條件，而生活實踐中大多數(shù)對于非 齊次邊界條件如何處理？一、一般處理方法例17自由振動問題廠 utt -a2uxx = 0(8.3.1)Y ux=%t), UyF) u 心 N(X), ut y =W(X)此時，邊界條件為非齊次的。選取一個函數(shù).(x,t)，使其滿足非 齊次邊界條件，為了簡單起見，不妨取.(x,t)為x的線性函數(shù)，即(x,t)二 A(t)x B(x)(832)將此式代入上述邊界條件解得：(x,t)l叫切X叫t)利用疊加原理，令：U(x,t) = ： (x,t) w(x,t)代入波動方程22 x 貝y： “七-a Wxx =+aj 卩(t)“ (t) - #(t

28、)w(x,t)二 u(x,t) - (x,t)wx=o Wx/1Wy =(x)=%x) +;卩(0) T(O)x 4(0)l1Wt y = (x) q y = (x) + 4(0) V(0) x 卩0)盡管(x,t)的方程一般是非齊次的，但是定解問題具有齊次邊 界條件，可按求解.這里還要特別說一下x = 0 ,x = l兩端都是第二類非齊次邊界條件Ux = 4(t), Ux x =v(t)的情況，仍取/的線性函數(shù)為u ,那么代入非齊次 邊界條件得 9 x x=0 = A(t) = (t)Ax|x廠 A(t) i(t).,除非卩(t)=v(t),否那么 這兩式互相矛盾，這時不妨改試(x,t)二

29、A(t)x2 B(t)x二、特殊處理方法例18弦的=0端固定，=1端受迫作諧振動Asint,弦的初始 位移和初始速度都是零，求弦的振動，這個定解問題是2-Utt - a Uxx 7(0 ： X ： l)寸 ux=0, Ux/As(833)lut=0, Mt/0X二l端為非齊次邊界條件。如果按上述一般處理方法，應(yīng)?。?x,t) =(Asint/l)x,但相應(yīng)的 w(x,t)的定解問題中泛定方程為Wt - a2w“ = (% - a2.) = (AJ2X/I)si ncot,是非齊次方程，求解麻煩 能否能較為簡便的方法呢？由于求解的是弦在x = l端受迫作諧振動Asin t情況下的振動， 它一定有

30、一個特解(X,t),滿足(831)中齊次方程和非齊次邊界條件，且跟x = I端同步振動，就是說其時間局部的函數(shù) As in， t,因此 特解的別離變數(shù)形式應(yīng)(x,t)二 X(x)sint(834)將(8.3.4)代入(8.3.1)中泛定方程，得2(8.3.5)X()X =0/ aX(0) =O,X(I) = A形式解為 X(x)二 Ccos( x/a) Dsin( x/a)， 代入(8.3.5),確定系數(shù)后確定X(x)二A/sin( x/a) sin( x/a)從而(x,t)二.l sinaA sinsinta令u(x,t)得w(x,t)的定解問題(x,t)W(x,t)2wtt_ a wi wxxx