數(shù)學(xué)建模在醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域中的研究與應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)建模在醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域中的研究與應(yīng)用         【摘要】  介紹數(shù)學(xué)模型及其重要性，討論了數(shù)學(xué)建模的一般步驟，包括模型的準(zhǔn)備、假設(shè)、建立、求解、檢驗(yàn)、分析及其應(yīng)用的全過(guò)程；并結(jié)合醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域中不允許缺貨的存儲(chǔ)模型、機(jī)械化傳送系統(tǒng)的效率模型、流行病學(xué)以及腫瘤生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型等幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題，探析了數(shù)學(xué)建模的技巧、分析了模型應(yīng)用的局限性，對(duì)實(shí)際工作具有一定的指導(dǎo)意義和較好的借鑒作用。 【關(guān)鍵詞】  數(shù)學(xué)建模 創(chuàng)新思維 醫(yī)藥衛(wèi)生 應(yīng)用Abstract  This paper introdu

2、ced the mathematical modeling and its importance, discussed the general steps of this modeling ,including its preparation，Supposition， establishment，solution，test，analysis and the whole applying process. Combining with the storage modeling which not allow to be out of stock in medicine 、the efficien

3、cy modeling of mechanization transmission system、the mathematical modeling in epidemiology and tumor growth, it also dicussed the skill of establishing mathematical modeling , analysed the limitations of this modeling in application. This has a good guide and reference to the practical work. &#

4、160; Key words   mathematical modeling ; innovative thinking;  medicine ; application1  引言   數(shù)學(xué)是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系、空間形式的科學(xué)。隨著社會(huì)的發(fā)展，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和不斷完善，數(shù)學(xué)不但運(yùn)用于自然科學(xué)各學(xué)科、各領(lǐng)域，而且滲透到經(jīng)濟(jì)、管理以至于社會(huì)科學(xué)和社會(huì)活動(dòng)的各領(lǐng)域。    眾所周知，利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，然后才能在該模型的基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、計(jì)算和研究。 &

5、#160; 數(shù)學(xué)建模(Mathematical  Modeling)活動(dòng)是討論建立數(shù)學(xué)模型和解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程，是一種數(shù)學(xué)思維方式。2  數(shù)學(xué)建模的過(guò)程   數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的簡(jiǎn)化、假設(shè)、抽象，提煉出數(shù)學(xué)模型；然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)工具等，得到數(shù)學(xué)上的解答；再把它反饋到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，給出解釋、分析，并進(jìn)行檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)結(jié)果符合實(shí)際或基本符合，就可以用來(lái)指導(dǎo)實(shí)踐；否則再假設(shè)、再抽象、再修改、再求解、再應(yīng)用。其過(guò)程如圖1所示。   構(gòu)造數(shù)學(xué)模型不是一件容易的事，其建模過(guò)程和技巧具體主要包括以下步驟2.1  模型準(zhǔn)備&

6、#160;  在建模前要了解實(shí)際問(wèn)題的背景，明確建模的目的和要求；深入調(diào)研，去粗取精，去偽存真，找出主要矛盾；并按要求收集必要的數(shù)據(jù)。2.2  模型假設(shè)   在明確目的、掌握資料的基礎(chǔ)上，抓住復(fù)雜問(wèn)題的主要矛盾，舍去一些次要因素；對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出幾個(gè)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，使復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題得到必要的簡(jiǎn)化。2.3  建立模型   首先根據(jù)主要矛盾確定主要變量；然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具刻劃變量間的關(guān)系，從而形成數(shù)學(xué)模型。模型要盡量簡(jiǎn)化、不必復(fù)雜，以能獲得實(shí)際問(wèn)題的滿意解為標(biāo)準(zhǔn)。2.4  模型檢驗(yàn)   建模后要對(duì)模型

7、進(jìn)行分析，用各種方法(主要是數(shù)學(xué)方法，包括解方程、邏輯推理、穩(wěn)定性討論等；同時(shí)利用計(jì)算機(jī)技術(shù)、計(jì)算技巧)求得數(shù)學(xué)結(jié)果；將所求得的答案返回到實(shí)際問(wèn)題中去，檢驗(yàn)其合理性；并反復(fù)修改模型的有關(guān)內(nèi)容，使其更切合實(shí)際，從而更具有實(shí)用性。2.5  模型應(yīng)用   用建立的模型分析、解釋已有的現(xiàn)象，并預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，以便給人們的決策提供參考。   總之，數(shù)學(xué)建模是一種創(chuàng)造性勞動(dòng)，成功的模型往往是科學(xué)與藝術(shù)的結(jié)晶。一個(gè)“好”的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該具有以下特點(diǎn)：考慮全面，抓住本質(zhì)；新穎獨(dú)特，大膽創(chuàng)新；善于檢驗(yàn)，結(jié)果合理。而模型檢驗(yàn)一般包括下列幾個(gè)方面：穩(wěn)定性和敏感性分

8、析；統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和誤差分析；新舊模型的比較；實(shí)際可行性檢驗(yàn)。   因此，數(shù)學(xué)建模的分析方法和操作途徑不可能用一些條條框框規(guī)定得十分死板，下面通過(guò)實(shí)例探析建模過(guò)程與技巧。3  模型：藥廠不允許缺貨的存儲(chǔ)模型3.1  模型準(zhǔn)備(背景介紹)   企業(yè)或商品流動(dòng)部門需要存儲(chǔ)原料或貨物。若存量過(guò)多（供過(guò)于求），會(huì)導(dǎo)致資金占用過(guò)多、存儲(chǔ)費(fèi)用過(guò)高等問(wèn)題；但存量過(guò)少（供不應(yīng)求），會(huì)導(dǎo)致訂貨批次增多而增加訂貨費(fèi)用，有時(shí)造成的缺貨也會(huì)發(fā)生經(jīng)營(yíng)的損失。因此，如何選擇庫(kù)存量、訂貨量和訂貨時(shí)間是一個(gè)需要研究的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。   實(shí)例1：某藥廠平均每

9、天需要某種原料0.2噸，已知每噸原料每天的保管費(fèi)為0.75元，每次的訂貨費(fèi)用為75元。如果藥廠不允許缺貨并且每次訂貨均可立即補(bǔ)充，請(qǐng)為該藥廠做出最佳決策：即多長(zhǎng)時(shí)間訂一次貨，每次訂多少貨才能使每天所花費(fèi)的總費(fèi)用最少。3.2  模型假設(shè)(分析問(wèn)題)   在求解時(shí)需要考慮的費(fèi)用問(wèn)題有以下兩項(xiàng)：   進(jìn)貨費(fèi)用：包括固定費(fèi)用(每次訂貨費(fèi)用c1 元)和可變費(fèi)用(貨物的成本費(fèi)用 元噸，與訂貨數(shù)量有關(guān))。   單位時(shí)間內(nèi)的存儲(chǔ)費(fèi)用：c2 元噸。   由于題設(shè)“藥廠不允許缺貨并且每次訂貨均可立即補(bǔ)充”，即缺貨費(fèi)用為零，因

10、此，總費(fèi)用 T=T1+T2，其中T1 為進(jìn)貨費(fèi)用，T2 為存儲(chǔ)費(fèi)用。3.3  模型建立   設(shè)每隔 t天訂一次貨，每次訂貨數(shù)量為x ，每次訂貨費(fèi)為c1 ，每天（單位時(shí)間）每單位貨物存儲(chǔ)費(fèi)為c2 ，每天內(nèi)對(duì)貨物的需求量為r 。   經(jīng)分析，在上述假定條件下有x=rt ，每次的進(jìn)貨費(fèi)為：c1+cx=c1+crt ，則平均每天的進(jìn)貨費(fèi)為：T1=c1t+cr ；   又每天的平均庫(kù)存量為x2 ，則每天的平均庫(kù)存費(fèi)為T2=c2·x2=12c2rt ；   則每天總費(fèi)用為：T(t)=c1t+rc+c2rt2

11、3.4  模型求解   制定最優(yōu)存儲(chǔ)方案，可歸結(jié)為確定訂貨周期t ，使T(t) 達(dá)到最小值。根據(jù)“微分法”   因 dT(t)dt=-c1t+12c2r，令 dT(t)dt=0，   得駐點(diǎn)： t=2c1rc2，（1）   而 T2c1rc2=c32r32c10，   故t=2c1rc2 時(shí)，T（t）取得最小值；代入x=rt ，求得每批最佳訂貨量為   x*=r2c1rc2=2c1rc2 （2）   式（2）是經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式，它表

12、明：訂貨費(fèi)越高，需求量越大，則每次訂貨批量應(yīng)越大；存儲(chǔ)費(fèi)越高，則每次訂貨批量應(yīng)越小。這種分析與實(shí)際意義相符合。3.5  模型應(yīng)用   在（1）、（2）式中，代入實(shí)例1中的已知數(shù)值:  c1=75,  c2=0.75,  r=0.2，得最佳訂貨時(shí)間間隔和每批最佳訂貨量分別為   t0=2×750.75×0.2=31.623 （天）；   x0=6.3246 （噸）。   實(shí)證研究表明，存儲(chǔ)模型能提供科學(xué)、合理、經(jīng)濟(jì)的管理思路，從而有效地提高管理效益。4

13、60; 模型：機(jī)械化傳送系統(tǒng)的效率模型   實(shí)例2：假設(shè)在某藥廠機(jī)械化生產(chǎn)車間里，排列整齊的工作臺(tái)旁工人們緊張地生產(chǎn)同一種藥品；工作臺(tái)上方一條設(shè)置若干鉤子的傳送帶在運(yùn)轉(zhuǎn)，工人們將藥品掛在經(jīng)過(guò)他上方的鉤子上帶走；當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后，每個(gè)工人生產(chǎn)出一件藥品所需時(shí)間是不變的，而他要掛藥品的時(shí)刻卻是隨機(jī)的。衡量這種傳送系統(tǒng)的效率可以看它能否及時(shí)把工人們生產(chǎn)的藥品帶走。顯然，在工人數(shù)目不變的情況下傳送帶速度越快，帶上鉤子越多，效率會(huì)越高。要求構(gòu)造一個(gè)衡量傳送系統(tǒng)效率的指標(biāo)，并且在一些簡(jiǎn)化假設(shè)下建立一個(gè)模型來(lái)描述這個(gè)指標(biāo)與工人數(shù)目、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系。4.1  模型分析&

14、#160;  為了用傳送帶及時(shí)帶走的藥品數(shù)量來(lái)表示傳送系統(tǒng)的效率，在工人們生產(chǎn)周期(即生產(chǎn)一件藥品的時(shí)間)相同的情況下，需要假設(shè)工人在生產(chǎn)出一件藥品后，要么恰好有空鉤子經(jīng)過(guò)他的工作臺(tái)，使他可以將藥品掛上帶走；要么沒(méi)有空鉤子經(jīng)過(guò)，迫使他將藥品放下并立即投入下一件藥品的生產(chǎn)，以保持整個(gè)系統(tǒng)周期性地運(yùn)轉(zhuǎn)。   工人們的生產(chǎn)周期雖然相同，但是由于各種隨機(jī)因素的干擾，經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，他們生產(chǎn)完一件藥品的時(shí)刻就會(huì)不一樣，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性是一樣的。   由上述分析可知，傳送系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)轉(zhuǎn)的效率等價(jià)于一周期的效率，而一周期

15、的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的藥品數(shù)與一周期內(nèi)生產(chǎn)的全部藥品數(shù)之比來(lái)描述。   為了將問(wèn)題簡(jiǎn)單化到用簡(jiǎn)單的概率方法來(lái)解決，我們做出如下的假設(shè)。4.2  模型假設(shè)   有n個(gè)工人，其生產(chǎn)是相互獨(dú)立的；生產(chǎn)周期是常數(shù)；n個(gè)工作臺(tái)均勻排列。   生產(chǎn)已進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，即每個(gè)工人生產(chǎn)出一件藥品的時(shí)刻在-周期內(nèi)是等可能的。   在一周期內(nèi)有m個(gè)均勻排列的鉤子通過(guò)每一工作臺(tái)上方，到達(dá)第一個(gè)工作臺(tái)上方的鉤子都是空的。   每個(gè)工人在任何時(shí)刻都能且只能觸到一只鉤子。于是在他生產(chǎn)出一件藥品的瞬間，若他能

16、觸到空鉤子，則可將藥品掛在鉤子上帶走；否則他只能將這件藥品放在地上，而將它永遠(yuǎn)退出這個(gè)傳送系統(tǒng)。4.3  模型建立與求解   將傳送系統(tǒng)效率定義為一周期內(nèi)帶走的藥品數(shù)（設(shè)為s ）與生產(chǎn)的全部藥品數(shù)（顯然為 n）之比，記作D=sn 。于是，只需求出s 就行了。   若從工人角度考慮，每個(gè)工人能將自己的藥品掛上鉤子的概率顯然與工人所在的位置有關(guān)，這樣就使問(wèn)題復(fù)雜化了。若從鉤子的角度考慮，在穩(wěn)定狀態(tài)下，鉤子沒(méi)有次序，處于同等的地位，若能對(duì)一周期內(nèi)的m只鉤子求出每只非空的概率p ，則 s=mp 。   求解p 的步驟如下(均對(duì)一周期

17、而言)   任一鉤子被一名工人觸到的概率為1m ；   任一鉤子不被一名工人觸到的概率為 1-1m ；   根據(jù)工人生產(chǎn)的獨(dú)立性，任一只鉤子不被所有n個(gè)工人掛上藥品的概率，即任一鉤子為空鉤的概率為(1-1m) ；   從而任一鉤子為非空鉤的概率為:   p=1-(1-1m)n   故傳送系統(tǒng)效率指標(biāo)為:   D=mpn=mn1-(1-1m)n（3）4.4  模型簡(jiǎn)化   在鉤子數(shù)m 遠(yuǎn)大于工人數(shù)n 時(shí)，即nm 較小的情況下，可

18、經(jīng)簡(jiǎn)化，將多項(xiàng)式(1-1m)n 展開(kāi)后只取前3項(xiàng)，則有:   Dmn1-(1-nm+n(n-1)2m2)=1-n-12m（4）   再假定n永大于1，則此模型可簡(jiǎn)化為   D=1-E, En2m（5）4.5  模型應(yīng)用   當(dāng)工人數(shù) =10人，鉤子數(shù) =40個(gè)時(shí)，由簡(jiǎn)化模型(5)式給出的結(jié)果為 D=87.5；而由(3)式得到的精確結(jié)果為D=89.4 。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)模型具有的適用性和局限性。5  模型：無(wú)移除的簡(jiǎn)單流行病學(xué)模型   隨著生命科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在醫(yī)藥學(xué)中的應(yīng)用，主

19、要是采用各種數(shù)學(xué)方法建立醫(yī)藥學(xué)數(shù)學(xué)模型，即建立表示醫(yī)藥學(xué)問(wèn)題中各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程（常見(jiàn)有微分方程）。   實(shí)例3：假定感染通過(guò)一個(gè)群體內(nèi)成員之間的接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，則所有的易感者最終都將轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊?。顯然，這種假定對(duì)實(shí)際情況而言是太簡(jiǎn)化了，但可近似地適用于下述情況：疾病有高度的傳染力，但尚未嚴(yán)重到發(fā)生死亡或需要隔離的程度，例如某種上呼吸道感染。也可近似地表示這樣一種疾病的流行：從流行中移除的時(shí)間一般要比感染傳遍群體的時(shí)間更長(zhǎng)。5.1  模型假設(shè)   為了建立這類流行病的數(shù)學(xué)模型，對(duì)群體及其流行病學(xué)狀態(tài)作如下假

20、設(shè)   在時(shí)間t 時(shí)的易感人數(shù)和感染人數(shù)分別為 S和I ；   群體是封閉性的，總?cè)藬?shù)為N ，在這 N個(gè)人中開(kāi)始時(shí)只有一個(gè)感染者；   該群體中各成員之間接觸是均勻的，易感者轉(zhuǎn)為感染者的變化率與當(dāng)時(shí)的易感人數(shù)和感染人數(shù)的乘積成正比。         5.2  模型建立與求解   根據(jù)上述假設(shè)，可建立如下數(shù)學(xué)模型   dSdt=-SI ，（6）   S+I =N，（7）初始條件是I(0)=

21、1 ，比例系數(shù) 稱為感染率。   將式（7）代入（6）式，得   dSdt=-S(N-S)（8）   分離變量后再兩邊積分，得   1NlnSN-S=-t+C（9）   其中C 為積分常數(shù)。將初始條件I(0)=1 ，代入上式（9），可得C=ln(N-1)N ，代入（9）式 即得:   1NlnSN-S=-t+ln(N-1)N   整理后得易感人數(shù)隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)關(guān)系式   S=N(N-1)(N-1)+eNt6  模型：腫瘤生長(zhǎng)

22、的數(shù)學(xué)模型   實(shí)例4（模型假設(shè)）：設(shè)V 表示在時(shí)刻t 腫瘤的大小（體積、重量、細(xì)胞數(shù)等），由經(jīng)驗(yàn)知，腫瘤在時(shí)刻t 增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)的大小V 值成正比，比例系數(shù)為k ；但比例系數(shù)k 不是常數(shù)，它隨時(shí)間t 減小，其減小速率與當(dāng)時(shí)k 的大小成正比，此比例系數(shù)（0 ）為常數(shù)。6.1  模型建立   經(jīng)分析，并根據(jù)已知經(jīng)驗(yàn)和微分方程知識(shí)，可建立如下數(shù)學(xué)模型：dVdt=kV   (10)dkdt=-k   (11)6.2  模型求解   現(xiàn)分兩種情況討論上述模型的解 

23、0; 如果=0 ，這時(shí)dkdt=0 ，故k 為常數(shù)，記為A 。設(shè)t=0 時(shí)，V=V0 ，則由(10)式，得   V=V0eAt（12）由此可知，在這種情況下，腫瘤完全呈指數(shù)生長(zhǎng)，生長(zhǎng)速率常數(shù)為A。   如果0 ，這時(shí)由（11）式，得   k=Ae-t ，其中，A 為t=0 時(shí)的 k值。   將上式代入方程（10），有   dVdt=AVe-t   分離變量后積分，得   ln V=-Ae-t+lnC （ C為任意常數(shù)）   設(shè)t=0 時(shí)

24、，V=V0 ，于是有C=V0eA ，從而有   V=V0eA(1-et)（13）這就是描述腫瘤生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，稱為高姆帕茨（Gompertz）函數(shù)。6.3  模型應(yīng)用   現(xiàn)在利用高姆帕茨函數(shù)來(lái)研究腫瘤生長(zhǎng)情況：   當(dāng)t0 時(shí)，由于e-t 1-t ，于是式（13）成為：V=V0eAt可見(jiàn)，當(dāng) 為不等于0的有限值時(shí)，只要t 足夠小，即腫瘤生長(zhǎng)的初期階段，腫瘤是呈指數(shù)生長(zhǎng)的。   當(dāng)t+ 時(shí)，e-t0 ，由式（13）得V 的最大漸近值為：Vmax=V0eA   這就是腫瘤生長(zhǎng)的理論上限。容易知道，dVdt0 ，故V單調(diào)遞增，從而當(dāng)t+ 時(shí)，VVmax 。   通常把腫瘤體積增大一倍所需的時(shí)間稱為腫瘤的倍增時(shí)間，記