2017年高考數(shù)學真題三角函數(shù)(理科)

1、精心整理第四章三角函數(shù)第一節(jié)三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)關系式和誘導公式題型42終邊相同的角的集合的表示與識別 暫無題型43倍角、等分角的象限問題 一一暫無題型44弧長與扇形面積公式的計算一一暫無題型45三角函數(shù)定義題一一暫無題型46三角函數(shù)線及其應用一一暫無題型47象限符號與坐標軸角的三角函數(shù)值 一一暫無題型48誘導求值與變形一一暫無題型49同角求值一一已知角與目標角相同一一暫無第二節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)題型50已知解析式確定函數(shù)性質(zhì)1. (2017全國3理6)設函數(shù)f(x) = cos'x + - j,則下列結(jié)論錯誤的是().,38 二.一A. f (x )的一個周期為-2nB. y

2、 = f (x)的圖像關于直線x=一對稱3C. f(x +兀)的一個零點為x=' D. f(x)在上,冗單調(diào)遞減62/ I .J解析函數(shù)f(x)=c0st +3)圖像可由y=c0sx向左平移1個單位長度得到，由圖可知，f(x)在金,|上先遞減后遞增，所以D選項錯誤.故選D.題型51根據(jù)條件確定解析式1. (2017 天津理 7)設函數(shù) f(x) =2sin(0x +9), x 三 R ,其中 o>0, |中|<兀.若£旦)=2, f 且=0 ,8. 8且f(x )的最小正周期大于2%則().A. .=2, 三2B. 0 =,中=_3C.。, 9 =llnD.=1,

3、中二_ 7n312312324324解析解法5con不冗=2k1二-由題意82二 k2 二824 .2 _ _ 2二一其中 k1,k2w Z,所以(o= (k2 2k1.又T => 2n ,33<ji,得中=.故選A.12所以0 <8父1 ,從而6=2.由中=2(冗+工冗，由中 312解法二：由f導|=2 , f8空卜0 ,易知x = *為f (x ) = 2singx +邛)的一條對稱軸，點111 ,0 1為f(x )的一個零點，則 短-史=(2k+1/T,又因為丁=生，即6=2(2k+1)乂 60且f(x)的8843, i最小正周期大于2n ,所以8 = 2 從而X- +

4、 =2kn+? 又中 工 冗 所以中=.故選A. 3 ，8 32 ，122.(2017浙江理 18)已知函數(shù) f (x )=sin2 xcos2 x _ 2V3sin xcosx(xw R ).(1)求f I的值；3i !/ /r ! '-J.>(2)求f (x )的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解析(1)由小生J3, cos紅=，得f空>座1一2石土/ 323232222(2)由 cos2x = cos2 x -sin2 x , sin2x =2sin xcosx ,得 f (x )= -cos2x - V3sin 2x = -2sin %x 十 t I 6所以f(x )的最

5、小正周期是T=§ = n.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得+2k瑙2x +四+2kn,kWz 解得衛(wèi)+k璘x +kn,k z . 26263所以f (x洶單調(diào)遞增區(qū)間是 g+k兀壽+k/kWZ .題型52三角函數(shù)的值域(最值)暫無題型53三角函數(shù)圖像變換,人一-，2 冗*1. (2017全國 1 理 9)已知曲線 Ci： y=cosx, C2： y = sin .2x十一，I 3 J則下面結(jié)論正確的是().頁腳內(nèi)容A.把Ci上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移二個單位長度, 6得到曲線C2B.把Ci上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移12

6、個單位長度，得到曲線C2C.把Ci上各點的橫坐標縮短到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移3個單位長度,得到曲線C2D.把Ci上各點的橫坐標縮短到原來的2倍,縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移二個單位長度, 12得到曲線C2一一 一 2c解析 C1 : y =cosx , C2: y =sin . 2x 十一 I13首先曲線G, C2統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將C1:y=cosx用誘導公式處理.y =cosx =cos. x=sin.x+ .橫坐標變換需將 切=1變成0=2, 2 22( n C1上各點橫坐標縮短到原來的2倍( n ( 1T、22n、 ( q即 y =sin !x :2

7、1y = sin !2x sin 2 !x y =sin! 2x =sin2! x .2.2433/3 I注意O的系數(shù)，左右平移需將缶=2提到括號外面，這時 x +平移至x +，43根據(jù) 左加右減”原則，x +”到x +”需加上，即再向左平移 .故選D. 4312122. (2017 山東理 1)設函數(shù) f(x)=sin cox-6J H sin I . x 2j,其中 0。3.已知 f =06(1)求切；(2)將函數(shù)y= f (x)的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的 2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)y = g(x)的圖像，求g(x)在-3亞I上的最小值 4_ 4 4(

8、 3Tl解析(1)因為f (x戶sin (x-6 I+ sin產(chǎn)x2 '3 .1、一3 .33 .所以 f x = sin x cos x - cos x = sin x - - cos x _ sin x- cos x 222222頁腳內(nèi)容f- (IT )、.3 Isin x - -.3由題設知f -6QJ0 ,所以%-一引=k冗，k z Z .故 s=6k+2, k z Z ,又 0<(o <3,所以切=2.(2)由(1)得 f(x)=J3I c n sin 12x -ji ji3 所以 g(x)=V3sin 儼+-； 3 . 4 3J Hsin x- I .12 .因

9、為x冗x;12123 .3g(x)取得最小值-1.第三節(jié)三角包等變換 題型54化簡求值1.(17 江蘇 05)若 tan ,解析解法一（角的關系）：tan 二二tan I 一 一 I4 431 )tan 工一 141 - tan I -4解法二（直接化簡）：tan : 一 1tan 一 ：41 tan ;17. 76，所以tan 故"2.（2017北京理12）在平面直角坐標系xOy中, 角口與角P均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對1稱.右 sin = -，cos （a - = ）=.I/1解析由題作出圖形，如圖所不，sin ct =-，則cos（x22 ,由于與P關于y軸對稱,31

10、2 2則 sin B =sin (n -a)= g，cos P = -一-，故 cos(a - P )=313,1 1;_73 393. (2017全國2理14)函數(shù)f (x =sin 2 x3 cosx 一-I x J i0 -4 . 一 ,2解析 f x =sin2x 3cosx -3 =1 - cos2 x 3cosx -43 I x 1。，- 1 I 令 cos x =t 且 t 三0 , i 4L.2，"'y = -t2.3t 1 - - t -342、用H . _ +1,當t哼,即x=%時,f（x）取最大值為1.精心整理4.(2017浙江理 18)已知函數(shù) f (

11、x )=sin2 x-cos2 x_2V3sin xcosx(xw R ).(1)(2)求f (x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)問解析(1)由s吟/，吟V得f停f 一；12聲喈上卜2.22(2)由 cos2x=cos xsin x ,sin2x =2sinxcosx ,得 f (x )= -cos2x-V3sin 2x = -2sin 2x + - I , 6所以f(x)的最小正周期是T=? =冗.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2+2k嶗2x+6斗2k.Z，解得髀硼 *氣Z .所以f (x )的單調(diào)遞增區(qū)間是第四節(jié)解三角形題型55正弦定理的應用1. (2017天津理15)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分

12、別為a,b,c.已知ab, asin B(1)=3 .5求b和sin A的值;(2)求 sin 2A +4解析(1)在 ABC中，因為a >b,故由sin B =3 ,可得cosB.由已知及余弦定理，得 55b2 = a2+c2-2accosB =13 ,所以 b =713由正弦定理3sin Ab /日 一：一 a ,行 sin A 一 sin BasinB 3/1313(2)由(I )及2 13a < c ,彳寸 cos A =,13所以 sin 2A = 2sin Acos A1213，25cos2A =1 -2sin A =- 137t,故 sin i 2A - 44)=si

13、n 2Acos - cos2Asin - = 724262. (2017山東理9)在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a , b, c .若 ABC為銳角三角形， 且滿足 sin B(1 +2cosC 尸 2sin AcosC +cosAsinC , 則下列等式成立的是().A. a =2bB.b =2aC. A =2BD. B =2A解析 因為 sin( A+C)+2sin BcosC =2sin AcosC 十 cos Asin C ,所以 2sin BcosC = sin AcosC ,又0 <C <-,得2sinB=sinA,即 2b = a .故選 A.2題型56余

14、弦定理的應用題型57判斷三角形的形狀一一暫無題型58解三角形的綜合應用1. (2017江蘇18)如圖所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I和正四棱臺形玻璃容器II的高均為 32 cm ,容器I的底面對角線AC的長為10" cm ,容器II的兩底面對角線EG , E1G1的長分別為 14 cm和62 cm ,分別在容器I和容器II中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l ,其長度為 40 cm (容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計).(1)將l放在容器I中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CCi上，求l沒入水中部分的長度； ! / / r !(2)將l放在容器n中，l的一端置于點E處

15、，另一端置于側(cè)棱GGi上，求l沒入水中部分的長度.解析(1)由正棱柱的定義，CC1 _L平面ABCD ,所以平面AACCi _L平面ABCD , CC1 .L AC .記玻璃棒的另一端落在CCi上點M處，如圖所示為截面AACG的平面圖形.因為AC = 10",AM =40,所以MC = ,402 (10"； =30,從而sin/MAC = 4 .記AM與水面的交點為P,過點PQ1P 作 PQJAC, Qi 為垂足，貝 u PQJ 平面 ABCD,故 PQ1 =12 ,從而 AP1 =1Q1一 = 16. sin MAC答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16 cm .(2)如圖

16、所示為截面EiEGGi的平面圖形，O, O1是正棱臺兩底面的中心.由正棱臺的定義，OOi_L平面EFGH，所以平面E1EGG1 _L平面EFGH , OQ _L EG .同理，平面 E1EGG1 _L 平面 E1F1G1H1 , O1O _L E1G1 .記玻璃棒的另一端落在GGi上點N處.過 G 作 GK_LEG, K 為垂足，則 GK=OOi=32.精心整理62-14因為 EG 44 , E1G1 =62 ,所以 KGi =242，從而 GGi = JkG； +GK2 = J242 +322 =40 .設 NEGGi=o(, 2ENG=P,貝Usina= sinf- + Z KGG424=

17、cos/ KGG4 =5頁腳內(nèi)容3因為一 <a < n 所以cosa = 一一25.一 4014. 一 .7在AENG中，由正弦2里可得smsnj，解得sinP二市.24因為。父父萬，所以cosPn五,于是 sin / NEG = sin (冗a P )= sin (a + P 尸.-4 243sin 二 cos: cos二 sin - 5 25525記EN與水面的交點為P2 ,過P2作P2Q2 J- EG , Q2為垂足，則P2Q2，平面EFGH ,.一一 .PQc故 P2Q2=12,從而 EF2=-2Q = 20.sin. NEG答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為20 cm .且

18、該評注此題本質(zhì)上考查解三角形的知識，但在這樣的大背景下構(gòu)造的應用題讓學生有畏懼之感,I ;應用題的實際應用性也不強.也有學生第(1)問采用相似法解決，解法如下：AC =1oV7, AM =40 ,所以 CM =，402 -(106 j =30, 叫=12,PQ, AP12 AP所以由APIQ1SACM , 4 = 一即 一=1 ,解得 AP1 = 16.CM AM30 40答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm.32.(2017北樂理 15)在 ABC 中，/A = 600，c = a.(1)求sinC的值；(2)若a=7,求4ABC的面積.精心整理解析(1)在 4ABC 中，因為/A=60

19、，c=3a,所以由正弓S定理得sinC=csn公=3 g.=3.a 7214(2)因為 a=7,所以 c =3父7 =3.由余弦定理 a2=b2+c2 2bccosA,得 72 = b2+32 2bw 3父)，72解得 b=8 或 b = -5 (舍).所以 4ABC 的面積 S=1bcsin A = lx8M3xY3=6V3.2222 a 3.(2017全國1理17) AABC的內(nèi)角A , B , C的對邊分別為a , b , c ,已知 ABC的面積為 3sin A(1)求 sinBsinC 的值；(2)若 6cosBcosC =1 , a =3,求 AABC 的周長.分析本題主要考查三角

20、函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎知識的綜合應用a2- 1a212 32解析(1)因為 ABC 的面積 S=且 S= bcsinA,所以=bcsinA,即 a =-bcsin A.3sinA 23sin A 2223.2一2由正弦te理得 sin A =sin Bsin Csin A,由 sin A ¥0 ,得 sin B sinC =.23i' I yI I2 1.(2)由(1)型 sinBsinC =-,又 cosBcosC =,因為 A + B +C =n，3 61所以 cos A =cos(兀一 B -C )=-cos(B +C )=sin B sinC-cosB

21、 cosC =.又因為 AW(0,n)，所以 a=60'，sin A =43, cosA =1由余弦定理得a2=b2+c2bc=9 2 a.aa由正弦te理信 b=sinb , c= sinC ,所以 bc = -2 SinBsinC =8sin Asin Asin A由，得 b +c=j33,所以 a +b+c=3 +J33,即 ABC 周長為 3 +V33.B4. (2017全國2理17) AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin (A +C )= 8sin2一.2求cosB;(2)若a+c=6, AABC的面積為2,求b.2 B 1 - cos B 解析(1)依

22、題得 sinB=8sin ±=82=4(1 - cosB).因為 sin2 B+cos2 B =1 ,所以 16(1cosB)2 +cos2 B =1 ,所以(17cos B 15)(cos B 1) =0 ,得 cosB T (舍去)15 或 cosB 二一 .81- 1817 一,15（2）由可知 sin B = 因為 Sa abc =2 ,所以-ac sin B =2 即工 ac =2 得 ac =二.因為 cosB = 17 '2217217 '222所以 a +c -b竺 即 a2 +c2b2=15 ,從而（a+c）22acb2=15 ,2ac 17即 36 -17 -b2