二元一次方程組競賽題集答案+解析

1、二元一次方程組典型例題【例 1】已知方程組2耳+3k 加的解*y 滿足方程 5x-y=3,求 k 的值.31尸氏+1【思考與分析】本題有三種解法，前兩種為一般解法，后一種為巧解法(1)由已知方程組消去 k,得 x 與 y 的關(guān)系式，再與 5x-y=3 聯(lián)立組成方程組求出 x,y 的值，最后將 x,y 的值代入方程組中任一方程即可求出 k 的值.(2)把 k 當做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù) 5x-y=3 建立關(guān)于 k 的方程，便可求出 k 的值.(3)將方程組中的兩個方程相加，得 5x-y=2k+11,又知 5x-y=3,所以整體代入即可求出 k 的值.2x+3y=kr3%-4y=k+lI.5xy

2、=3.解法一：O得尸I匚得34產(chǎn)-52,解得片一辛杷尸-魯代人，得5升魯=3,解得好尋把二二，了=一代入，得 2x(一-)二止，解得 k=-4.解法二：X3X2,得 17y=k-22,解得片與竽-，杷尸煤代包D,得2?虱詈)身，解 i 導(dǎo)亭-杷“書L和尸特-代入得 5XM3_*Z_=3 廨得Jc=-4.解法三：+，得 5x-y=2k+11.又由 5x-y=3,得 2k+11=3,解得 k=-4.【小結(jié)】解題時我們要以一般解法為主，特殊方法雖然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的時間，可能這道題我們已經(jīng)用一般解法解了一半了，當然，巧妙解法很容易想到的話，那就應(yīng)該用巧妙解二元一次方程組能力提升講

3、義知識提要a1x+b1y=c11.二元一次方程組的解的情況有以下三種：a2x+b2y=c2abc當=二時，方程組有無數(shù)多解。（兩個方程等效）a2b2C2當曳=旦#2時，方程組無解。（兩個方程是矛盾的）a2b2c2aibi當（即 aib2a2b1w0）時，萬程組有唯一的解:a2b2-C2bix=aib2-a2biC2aic電y二aib2-a?”2 .方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，一般是不定解，即有無數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進行。3 .求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當己知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。（見例 2、3）例題5x+y=7

4、例 i.選擇一組 a,c 值使萬程組，i.有無數(shù)多解，2.無解，3.有唯一的ax+2y=c解【例 2】解方程組片生【思考與分析】本例是一個含字母系數(shù)的方程組.解含字母系數(shù)的方程組同解含字母系數(shù)的方程一樣，在方程兩邊同時乘以或除以字母表示的系數(shù)時，也需要弄清字母的取值是否為零.解：由，得 y=4-mx,把代入，得 2x+5（4m 為=8,解得（25m）x=-i2,當 25m=0,即 m=5 時，方程無解，則原方程組無解.212當 25m0,即廿 3時，方程解為加釬二 2 一 1 女辿 L將52代入，得2TM2（這個解可用加減消元法求得）故當廿5時，S-8m原方程組的解為六京京.x+y=a例 3.

5、a 取什么值時，萬程組 3 的解是正數(shù)?、5x+3y=312xmy4例 4.m 取何整數(shù)值時，方程組的解 x 和 y 都是整數(shù)?、x+4y=1二元一次方程組的特殊解法1.二元一次方程組的常規(guī)解法，是代入消元法和加減消元法。這兩種方法都是從“消元”這個基本思想出發(fā)，先把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”把解二元一次方程組的問題歸結(jié)為解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”轉(zhuǎn)化到“已知”的重要數(shù)學(xué)化歸思想。2、靈活消元(1)整體代入法y1_x21.解方程組 14-32x-3y=1(2)先消常數(shù)法(3)設(shè)參代入法x3y=2：13.解萬程組x:y=4:3：2(4)換元法3一 q=64.解方程組2232.解罰

6、隨m1：二23xy=4x-y(5)簡化系數(shù)法課堂練習(xí)1 .不解方程組，判定下列方程組解的情況：cx2y=3f2xy=3f3x+5y=13x-6y=9x-2y=33x-5y=1x+2y=5a,一一.2 .a 取哪些正整數(shù)值，方程組的解 x 和 y 都是正整數(shù)?3x_4y=2ax+ky=k一一.3 .要使方程組的解都是整數(shù)，k 應(yīng)取哪些整數(shù)值?x-2y=1二元一次方程組應(yīng)用探索【知識鏈接】列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為審、找、歹 h 解、答五步，即:5.解方幣-克；口1440,所以建造的 4 道門符合安全規(guī)定.答：平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過 120 名學(xué)生、80 名學(xué)生；建

7、造的這 4 道門符合安全規(guī)定.【例 9】某水果批發(fā)市場香蕉的價格如下表:用省買香用省買香蕉翅千克蕉翅千克不順不順2C 干克干克20 千克以上但千克以上但不跑過不跑過曲干克曲干克4 千克千克以以上上每每千克價千克價格格6 元元5 元元4 元元張強兩次共購買香蕉 50 千克(第二次多于第一次)，共付款 264 元，請問張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克？【思考與分析】要想知道張強第一次、第二次分別購買香蕉多少千克，我們可以從香蕉的價格和張強買的香蕉的千克數(shù)以及付的錢數(shù)來入手.通過觀察圖表我們可知香蕉的價格分三段，分別是 6 元、5 元、4 元.相對應(yīng)的香蕉的千克數(shù)也分為三段，我們可以假設(shè)張強兩

8、次買的香蕉的千克數(shù)分別在某段范圍內(nèi)，利用分類討論的方法求得張強第一次、第二次分別購買香蕉的千克數(shù).根據(jù)題意，得2（料劭料劭=5604解：設(shè)張強第一次購買香蕉 x 千克，第二次購買香蕉 y 千克.由題意，得 0Vx25.當 0 x20,尸 40 時，由題意，得計尸見解得X=l4r區(qū)+5 尸 264 一|兆一#-f-v=50 x=32當 040 時，由題意，得4I.解得5r（與 0 xW20,yW40 相矛 6x+4y=264.y=la.盾，不合題意，舍去）.當 20 x25 時，25y30.此時張強用去的款項為 5x+5y=5（x+y）=5X50=250264（不合題意，舍去）.綜合可知，張強第

9、一次購買香蕉 14 千克，第二次購買香蕉 36 千克.答：張強第一次、第二次分別購買香蕉 14 千克、36 千克.【反思】我們在做這道題的時候，一定要考慮周全，不能說想出了一種情況就認為萬事大吉了，要進行分類討論，考慮所有的可能性，看有幾種情況符合題意【例 10】 用如圖 1 中的長方形和正方形紙板做側(cè)面和底面， 做成如圖 2 的豎式和橫式兩種無蓋紙盒.現(xiàn)在倉庫里有 100。張正方形紙板和 2000 張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存的紙板用完？包巨包巨圖圖 1 圖圖 2【思考與分析】我們已經(jīng)知道已知量有正方形紙板的總數(shù) 1000,長方形紙板的總數(shù) 2000,未知量是豎式紙盒的個數(shù)

10、和橫式紙盒的個數(shù).而且每個豎式紙盒和橫式紙盒都要用一定數(shù)量的正方形紙板和長方形紙板做成，如果我們知道這兩種紙盒分別要用多少張正方形紙板和長方形紙板，就能建立起如下的等量關(guān)系：每個豎式紙盒要用的正方形紙板數(shù) X 豎式紙盒個數(shù)+每個橫式紙盒要用的正方形紙板數(shù) X 橫式紙盒個數(shù)=正方形紙板的總數(shù)每個豎式紙盒要用的長方形紙板數(shù) X 豎式紙盒個數(shù)+每個橫式紙盒要用的長方形紙板數(shù) X 橫式紙盒個數(shù)=長方形紙板的總數(shù)通過觀察圖形，可知每個豎式紙盒分別要用 1 張正方形紙板和 4 張長方形紙板，每個橫式紙盒分別要用 2 張正方形紙板和 3 張長方形紙板解：由題中的等量關(guān)系我們可以得到下面圖表所示的關(guān)系T個豎式個豎式紙盒中紙盒中7個橫式紙個橫式紙龕中龕中合計合計正方形紙正方形紙板的張數(shù)板的張數(shù)Z1000長方形繼長方形繼板板的張數(shù)的張數(shù)4H3000設(shè)豎式紙盒做 x 個，橫式紙盒做 y 個.根據(jù)