《等差數(shù)列前n項和公式》教學設計53171

1、等差數(shù)列的前n 項和教學設計一、設計理念讓學生在具體的問題情境中經歷知識的形成和發(fā)展， 讓學生利用自己的原有認知結構中相關的知識與經驗，自主地在教師的引導下促進對新知識的建構，因為建構主義學習理論認為，學習是學生積極主動地建構知識的過程在教學過程中，根據(jù)教學內容，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n 項和的求法通過設計一些從簡單到復雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學生獲得公式的推導思路，并且充分引導學生展開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓學生在問題解決中學會思考、學會學習同時根據(jù)我校的特點，為了促進成績優(yōu)秀學生的發(fā)展，還設計了選做題和

2、探索題，進一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點分析、解決問題的能力，達到了分層教學的目的二、背景分析本節(jié)課教學內容是高中課程標準實驗教科書必修5（ 北師大）中第二章的第三節(jié)內容本節(jié)課主要研究如何應用倒序相加法求等差數(shù)列的前n 項和以及該求和公式的應用等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的一類問題同時，求數(shù)列前 n 項和也是數(shù)列研究的基本問題，通過對公式推導，可以讓學生進一步掌握從特殊到一般的研究問題方法三、學情分析1、學生已掌握的理論知識角度：學生已經學習了等差數(shù)列的定義及通項公式，掌握了等差數(shù)列的基本性質，有了一定的知識準備。2、學生了解數(shù)列求和歷史角度：大部分學

3、生對高斯算法有比較清晰的認識，并且知道此算法原理，但在高斯算法中數(shù)列 1, 2, 3,100只是一個特殊的等差數(shù)列， 對于一般的等差數(shù)列的求和方法和公式學生還是一無所知。3、學生的認知規(guī)律角度：本節(jié)課采取了循序漸進、層層深入的教學方式，以問題解答的形式，通過探索、討論、分析、歸納而獲得知識，為學生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺，讓學生去感悟倒序相加法的和諧對稱以及使用范圍。四、教學目標1、類比高斯算法，探求等差數(shù)列前n 項和公式，理解公式的推導方法；2、能較熟練地應用等差數(shù)列前n 項和公式解決相關問題；3、經歷公式的推導過程，體會層層深入的探索方式，體驗從特殊到一般、具體到抽象的研究方法，

4、學會觀察、歸納、反思與邏輯推理的能力；4、通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產生熱愛數(shù)學的情感，體驗在學習中獲得成功；五、教學重點與難點1、教學重點：等差數(shù)列前n 項和公式的推導和應用2、教學難點：公式推導的思路3、重難點解決的方法策略： 本課在設計上采用了從特殊到一般、從具體到抽象的教學策略。利用分類討論、類比歸納的思想，層層深入。通過學生自主探究，分析、整理出推導公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫助學生理解，通過教師的點撥引導、師生互動、講練結合，突出重點、突破難點。六、教學過程設計（一）創(chuàng)設情景，提出問題

5、欣賞圖片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格， 是 17 世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建。它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有 100 層，奢靡之程度，可見一斑。問題 1： 你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎教師活動：利用多媒體，展示泰姬陵的圖片，并截取出三角形寶石圖案，引導學生觀察寶石數(shù)目變化情況。學生活動：欣賞之余觀察三角形中寶石變化情況并嘗試解決問題1.活動預設：（ 1）能得到的信息：從上到下，寶石數(shù)目以 1 為公差依次遞增，構成等差數(shù)列。（

6、2）需要解決的問題：100 層中究竟共有多少顆寶石【設計意圖】 （ 1）教師先用多媒體展示彩圖呈現(xiàn)的問題，使學生進入問題情境，激發(fā)學生的興趣，并使學生體會數(shù)學來源于生產生活。（ 2）以問題的提出作為引入方式，使學生帶著問題學習新課，更有目的性。（二）探究等差數(shù)列前n 項和公式教師活動：指出此數(shù)列的求和方法在1787 年已被高斯解決，讓學生講高斯故事。學生活動：學生根據(jù)課前的搜集簡介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小學四年級時，一次數(shù)學老師布置了一道數(shù)學習題： 把從1 到 100 的自然數(shù)加起來，和是多少年僅 10 歲的小高斯略一思索就得到答案：5050，這使老師非常吃驚。問題 1： 高斯是采用

7、了什么方法來巧妙地計算出答案的呢教師活動： 指導學生快速找出規(guī)律。學生活動：高斯算法解決：1 + 2 + 3 + 50 + 51 + 98 + 99 + 100=活動預設：高斯算法：1+100=101,2+99=101,50+51=101,所以原式=50X （ 1+101） =5050問題 2： 在高斯算法中實際上利用了等差數(shù)列通項的哪種性質教師活動：引導學生思考高斯算法的技巧性及理論依據(jù)。學生活動：利用高斯算法計算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隱藏的等差數(shù)列項的何種性質。活動預設：構造數(shù)列：a1 1,a2 2,L a99 99, a100 100 ,則有性質：等差數(shù)列an中，若m n

8、p q ,則am an ap aq。【設計意圖】高斯算法首尾組合的思想揭示了等差數(shù)列“角標和相等，對應的項和相等”的特征，為等差數(shù)列前n項和公式的推導的“倒序相加法”做好鋪墊，開啟了更深入、更細致的研究大門。問題3:你能否利用高斯算法解決一般等差數(shù)列的求和問題方法：倒序相加法 (借助幾何圖形之直觀性，把這個“全等三角形”倒置，與原圖補成平行四邊形，由此引入倒序相加法)教師活動：S n a 1 a 2 a 3 L an 2 a n 1 anS n a n a n 1 an 2 L a 3 a 2 a 12&(a1an)(a2an1)(a3an 2) L (an 2a3)(an1a2)(ana1)

9、由性質“若m n p q ,則am an ap aq”可得：n (a 1 a )2Sn n(a1 an) Sn(等差數(shù)列前n項和公式)2【設計意圖】(1)數(shù)學問題的解決講究最優(yōu)化原則，因此引導讓學生體會到數(shù)學方法的多樣性，但需要尋求高效率的方法；(2)倒序相加求和法是數(shù)列求和常用方法之一，方法比公式本身更為重要，也為以后數(shù) 列求和的學習做好鋪墊；(三)公式理解和深化公式一、G n(a1 an)2問題1:此公式中有哪些變量，已知哪些量可求另外量教師活動：引導學生找出變量學生活動：觀察公式，找出變量?；顒宇A設：此公式中，共有四個變量：Sn, n, a1,an ,可知三求一?！驹O計意圖】 讓學生從變

10、量上理解公式，從形式上初步了解如何由已知探求未知，在頭 腦中初步建構公式的適用情況。問題2:此公式還可進行怎樣的變形學生活動:活動預設:嘗試對公式進行變形。.c n(n 1), 公式二、Sn na -d2教師活動：引導學生從an下手對公式進行變形，投影學生的變形過程【設計意圖】(1)讓學生學會在舊知與新知之間搭建橋梁，運用舊知鞏固新知，利用舊知得出新知；(2)體會知識之間的整體性和關聯(lián)性，感受運用舊知推導新知的成功和喜悅。問題3:觀察、對比公式一、二，你能得出什么結論有利于你解題時對公式進行篩選教師活動：引導學生從兩個公式中的變量進行總結。學生活動：總結出兩公式的區(qū)別及適用情況?；顒宇A設：(1

11、)在兩個公式，五個變量中：a1,n,d,an,Sn ,可知三求二(2)若已知小，優(yōu)先選用公式一，若已知d ,優(yōu)先選用公式二?！驹O計意圖】 通過兩公式的對比研究，可進一步加深學生對公式的記憶，公式一、二的 區(qū)別可提高學生的做題速度和質量，再一次體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美和精準性。(四)公式應用、反饋評價課堂練習之“爭分奪秒”：例1、在等差數(shù)列中：(1)已知 a114.5, d 0.7, an 32,求 S(2)已知 d3, an 20, Sn65,求 a1和 n ;五個元素 a 1, a n, n, d, S n , 知 三求二你能自己構造一個類似的題目并自己解決嗎 變式訓練：(1)a120,an 54

12、, sn999，求 d,n例2.等差數(shù)列一10, 6, 2, 2,前多少項和是54解：a1=-10,d=-6 (-10)=4-10n+n(n-1)/2 X4=54解得 n=9, n=-3(舍)前9項的和是54變式訓練：求等差數(shù)列13, 15, 17, 81的各項和例3已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310,前20項的和是1220,由此可以確定求其前n項和的公式嗎QSn na nn2d又 S10310,S20122010a1 45d 310 a 4d 620al 190d 1220Sn 4n n(r2 1) 6 3n2 n教師活動：分析解決問題，組織學生交流、討論，再進行公式的應用。【設計意圖】透過此題，培養(yǎng)學生 熟練地選取恰當?shù)墓竭M行求解。六、布置作業(yè)1 .課本P46習題，第1題（1） （3）七、板書設計一、等差數(shù)列前n項和：Sn ai a2 L an二、公式的推導方法：倒序相加法三、深化公式公式1、/ C等差數(shù)列前n項和四、課堂練習（輔助性板書）公認2、八、教學反思”等差數(shù)列前n項和”的推導不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究 這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和.該方法反映了等差數(shù)列的本質，可以進一步 促進學生對等差數(shù)列性質的理解，而且該推導過