高考數(shù)學(xué)-排列組合專項(xiàng)練習(xí)題-北師大版

1、高考數(shù)學(xué)排列組合專項(xiàng)練習(xí)題北師大版例1.從1、2、3、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有 個(gè)。分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問(wèn)題。設(shè)a,b,c成等差， 2b=a+c,可知b由a,c決定，又 2b是偶數(shù)，a,c同奇或同偶，即：分別從 1, 3, 5,19或2, 4, 6, 8,，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，C （2,10） *2*P （2,2）,因而本題為 180。例2.某城市有4條東西街道和 6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若 規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從 M到N有多少種

2、不同的走法 ？分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入（一）從 M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)，本題答案為：二56。2.注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合例3.在一塊并排的 10壟田地中，選擇二壟分別種植A, B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求 A, B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有 _種。分析：條件中 要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排

3、列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。例4 .從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有 O（A）240 （B）180 （C）120 （D）60分析：顯然本題應(yīng)分步解決。（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；（二）從剩下的十只手套中任選一只，有 10種方法。（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法；（四）由于選取與順序無(wú)關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。例5.身高互不相同的 6個(gè)人排成2橫彳

4、T 3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列 的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為 。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90 種。例 6 在 11 名工人中，有5 人只能當(dāng)鉗工， 4 人只能當(dāng)車工，另外2 人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工。現(xiàn)從11 人中選出 4 人當(dāng)鉗工， 4 人當(dāng)車工，問(wèn)共有多少種不同的選法分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)O第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有35 種；第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)

5、鉗工，有75 種；第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有75 種。因而共有 185 種。例 7 現(xiàn)有印著0 ， l ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 的六張卡片，如果允許9 可以作 6 用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0 ， l ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 的排法數(shù)乘以 2 即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9 的話才可能用 6 替換，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0 ，含9 ，有種方法；抽出的三數(shù)含0 不含9 ，有種方法；抽出的三數(shù)含9 不含0 ，有種方法；抽出的三數(shù)不含 9 也不含 0 ，有種方法。又因?yàn)閿?shù)字9可以當(dāng)6用，因此共有2X(+)+=144 種方法。

6、例 8 停車場(chǎng)劃一排12 個(gè)停車位置，今有8 輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是 種。分析：把空車位看成一個(gè)元素，和8 輛車共九個(gè)元素排列，因而共有種停車方法。3 特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮例 9 六人站成一排，求(1) 甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)(2) 甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)分析：( 1 )先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。第一類：乙在排頭，有種站法。第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法，共 + 種站法。( 2 )第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。第三類：乙在排

7、頭，甲不在排頭，有種方法。第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。共+2+=312 種。例 10 對(duì)某件產(chǎn)品的 6 件不同正品和4 件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測(cè)試的有種可能；第二步：前四次有一件正品有中可能。第三步：前四次有種可能。共有種可能。4 捆綁與插空例 11. 8 人排成一隊(duì)(1) 甲乙必須相鄰(2) 甲乙不相鄰(3) 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4) 甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰(

8、5) 甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分析：( 1 )有種方法。( 2 )有種方法。( 3 )有種方法。( 4 )有種方法。( 5 )本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。用間接解法：全排列 - 甲乙相鄰 -丙丁相鄰 + 甲乙相鄰且丙丁相鄰，共-+=23040種方法。例 12. 某人射擊 8 槍，命中 4 槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?分析：:連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問(wèn)題。另外沒(méi)有命中的之間沒(méi)有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的 5 個(gè)空中選出 2 個(gè) 的排列，即。例13.馬路上有編號(hào)為1, 2, 3,，10十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只

9、燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種 ?分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒(méi)有區(qū)別，因而問(wèn)題為在 7 盞亮著的燈形成的不包含兩端的 6 個(gè)空中選出 3 個(gè)空放置熄滅的燈。共=20種方法。4 間接計(jì)數(shù)法.(1) 排除法例 14. 三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形?分析：有些問(wèn)題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問(wèn)題的方法數(shù)= 任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，共種。例 15 正方體 8 個(gè)頂點(diǎn)中取出 4 個(gè)，可組成多少個(gè)四面體?分析：所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方

10、法數(shù)，共-12=70-12=58 個(gè)。例16. l , 2, 3,，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè) 不同數(shù)值的對(duì)數(shù)？分析：由于底數(shù)不能為1。（1）當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)， 有一種情況。（2）當(dāng)不選1時(shí)，從2-9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中10g2為底4=1og3 為底 9, 10g4 為底 2=1og9 為底 3, 1og2 為底 3=1og4 為底 9, 1og3 為底 2=1og9 為底4.因而一共有53個(gè)。（3）補(bǔ)上一個(gè)階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題例17.六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢？分析：

11、（一）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排 法數(shù)。因而有=360種。（二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前 面的排法數(shù)重復(fù)了種，.共=120種。例18 . 5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的 方法？分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有 一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9X 8X7X6=3024種。若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048 種。例19.三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法？分析：先認(rèn)為

12、三個(gè)紅球互不相同，共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況 下，共有變化，因而共 =20種。5 .擋板的使用例20. 10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問(wèn)有多少種不同的分配方法分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè) 位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。6 .注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排 列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問(wèn)題。例21.從0, 1, 2,，9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個(gè) 無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。（

13、一）兩個(gè)選出的偶數(shù)含0,則有種。（二）兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含0,則有種。例 22. 電梯有 7 位乘客，在10 層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出 去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法分析：（一）先把7 位乘客分成3 人， 2 人，一人，一人四組，有種。（二）選擇 10 層中的四層下樓有種。共有種。例 23. 用數(shù)字 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，（1）可組成多少個(gè)不同的四位數(shù) ?（2） 可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù) ?（3） 可組成多少個(gè)能被 3 整除的四位數(shù)?（4）將（1） 中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一

14、數(shù)列，問(wèn)第 85 項(xiàng)是什么 ?分析：（ 1 ）有個(gè)。（ 2 ）分為兩類： 0 在末位，則有種： 0 不在末位，則有種。共+種。（ 3 ）先把四個(gè)相加能被 3 整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來(lái)，即先選0， 1， 2， 30， 1， 3， 50 ， 2， 3 ， 40 ， 3， 4 ， 51 ， 2， 4 ， 5它們排列出來(lái)的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4X（）+=96種。（ 4 ）首位為 1 的有 =60 個(gè)。前兩位為20 的有=12 個(gè)。前兩位為21 的有=12 個(gè)。因而第 85 項(xiàng)是前兩位為 23 的最小數(shù)，即為 2301 。7 分組問(wèn)題例 24. 6 本不同的書（1） 分給甲乙丙三人，每人

15、兩本，有多少種不同的分法?（2） 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？（3） 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？（4） 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法?（5） 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法?分析：（ 1 ）有中。（ 2 ）即在（ 1 ）的基礎(chǔ)上除去順序，有種。（ 3 ）有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。（ 4 ）有種。同（ 3 ），原因是甲，乙，丙持有量確定。（ 5 ）有種。例 25. 6 人分乘兩輛不同的車，每車最多乘 4 人，則不同的乘車方法為分析：（一）考慮先把6 人分成 2 人和 4 人， 3 人和 3 人各兩組。第一類：平均分成3 人一組，有種方法。第二類：分成2 人，