1999考研數(shù)二真題及解析

1、1999年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)二試題、填空題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分。把答案填在題中橫線上。)tx = e sin 2t , ., , , _曲線 t ,在點(diǎn)(0,1)處的法線方程為y =e cost(2)(4).、一 ,23.、一. dy設(shè)函數(shù)y = y(x )由萬程ln (x + y )=x y +sin x確定，則 一 dxx 5 dx =-6x 13x2, 、13，函數(shù)y=二在區(qū)間I1, ye上的平均值為 口 2 一微分方程y .-4y =3的通解為二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分。每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是 符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字

2、母填在提后的括號(hào)內(nèi)。)1 - cosx - ,x 0 設(shè)f(x) =vx,其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f (x)在x = 0處()2 . _x g x , x _0(A)極限不存在.(B)極限存在，但不連續(xù).(C)連續(xù)，但不可導(dǎo).(D)可導(dǎo).5x sin t -sinx 1(2)設(shè)口(x )= I dt, P (x )= (1 + t F dt ,則當(dāng) xt 0 時(shí)Ct (x )是 P (x )的(A)高階無窮小(C)同階但不等價(jià)的無窮小(B)低階無窮小(D)等價(jià)無窮小 設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f (x)的原函數(shù)，則()(A)當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù).(B)當(dāng)f(x)是偶

3、函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù).(C)當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是周期函數(shù).(D)當(dāng)f(x)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是單調(diào)增函數(shù)收斂于2的（）（A）充分條件但非必要條件.（C）充分必要條件.（B）必要條件但非充分條件.（D）既非充分條件又非必要條件x-2x -1x-2x-32x-22x-12x -22x-33x-33x-24x -53x-54x4x-35x-74x-3(B) 2.為（5）記行列式(A) 1.f（x）,則方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)為（）(C) 3.(D) 4.三、（本題滿分5分）求 l i m-1t2x 0 xl n 1 x -x四、（本題滿分6分）計(jì)算二ar ct axn

4、dx .五、（本題滿分7分）求初值問題y.x2 y2 dx - xdy = 0(x 0)的解.yx0六、（本題滿分7分）為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口見圖，已知井深30m30m,抓斗自重400N ,纜繩每米重50N ,抓斗抓污泥以 20N/S問克服重起的污泥重2000N ,提升速度為3m/s,在提升過程中, 的速度從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口, 力需作多少焦耳的功？（說明：1N dm=1J;其中m, N,s, J分別表示米，牛頓，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不 計(jì).）七、（本題滿分8分）x3已知函數(shù)y = x 2 ,求(x-1)

5、函數(shù)的增減區(qū)間及極值；（2）函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn) 函數(shù)圖形的漸近線.（本題滿分8分）1)=1，設(shè)函數(shù)f （x ）在閉區(qū)間-1,1上具有三 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（-1）=0,f（0） = 0,證明：在開區(qū)間（1,1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f）=3.九、（本題滿分9分）設(shè)函數(shù)y（x x xi0）二階可導(dǎo)，且 y（x）A0, y（0）=1.過曲線y = y（x）上任意一點(diǎn) P（x, y）作該曲線的切線及 x軸的垂線，上述兩直線與 x軸所圍成的三角形的面積記為 S, 區(qū)間I0,x上以y = y（x小曲邊的曲邊梯形面積記為 S2,并設(shè)2S,_S2恒為1,求此曲線 y = y（x用方程.十、（本題滿分6分）

6、nn設(shè)f（x周區(qū)間0,收）上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，an=Z f（k）-（ f（x）dxi=4（n =1,2, |H）,證明數(shù)列an的極限存在.十一、（本題滿分8分）11-1 、1，一“，一一 ,.- -一*1*設(shè)矩陣A= -111 ，矩陣X滿足AX=A +2X ,其中A是A的伴隨矩陣，J -1 1，求矩陣X .十二、（本題滿分5分）設(shè)向量組 % =（1,1,1,3L%=（-1,3,5力，%氣3,21,p + 2，, %=（2,-6,10,p：T（1） p為何值時(shí)，該向量組線性無關(guān)？并在此時(shí)將向量=（4,1,6,10）用u1p2,二3。4線性表出；（2） P為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并此時(shí)

7、求出它的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組1999年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)二試題解析一、填空題【答案】y+2x-1=0【詳解】點(diǎn)(0,1 )對(duì)應(yīng)t=0,則曲線在點(diǎn)(0,1)的切線斜率為dy ttdy dt e cost -e sint cost -sint dx dx e sin2t 2et cos2t sin2t 2cos2tdt把t =0代入得dy =二，所以改點(diǎn)處法線斜率為-2 ,故所求法線方程為 y + 2x -1 = 0 .dx 2(2)【答案】1【詳解】y(x)是有方程ln (x2 + y )= x3y+sin x所確定，所以當(dāng)x = 0時(shí)，y=1. 23對(duì)萬程ln(x +y ) = x

8、 y+sinx兩邊非別對(duì)x求導(dǎo)，得2x y _ 23 .= 3x y + x y +cosx , x2 y把x =0和y =1代入得y(0) =dy=1x -3 C2即dx xa1 . , 2_“、(3)【答案】 ln( x 6x+13)+4arctan 2【詳解】通過變換，將積分轉(zhuǎn)化為常見積分，(4)【答案】x 5-dx 二x -6x 13x -32_x -6x 13dx x-dx-6x 133 1121 d(x2 -6x 13)22x2 -6x 13-6x 13dx(x-3)2 412= 2ln(xln(x22d(x)-6x 13) 4 U (x-3)2 i2x 3-6x 13) 4arc

9、tan C【詳解】按照平均值的定義有_1y - _3 12 232丁 xij-Tdx，作變換令x =sin t,則dx =costdt ,所以13 sin21 cost 23- . 2.y = 3 1 611，in2t31 isin tdt22= (,3 1)J(1-1cos2t)dt =(.3 1) 16 2 2.2133 1t sin 2t =二2二126-1【答案】y =C1e/x+1C2+x e2x,其中C1C2為任意常數(shù).4【分析】先求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，再求出原方程的一個(gè)特解【詳解】原方程對(duì)應(yīng)齊次方程y - 4 y = 0的特征方程為:丸2 - 4 = 0,解得 = 2,兒2 =

10、 -2 ,故 y-4y =0的通解為 y1 =C1ex +C2e2x,由于非齊次項(xiàng)為f (x) = e2x,因此原方程的特解可設(shè)為y* = Axe2x,代入原方程可求得A 1, , 一 一-* _2x1A = 一，故所求通解為y = y+y =Ce+C2十 x44e?x二、選擇題(1)【答案】(D )【詳解】由于可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)則極限必存在，可以從函數(shù)可導(dǎo)性入手因?yàn)?f (0)- lim ff x 0 x -01 一 cosx呵 xx1 2x=lim 2= 0,x 10 x ； xfMlimff) x 0 x -02x g(x)二 lim -Lx )0 -x=lim xg(x) = 0, x0

11、 從而，f (0)存在，且(0) =0 ,故正確選項(xiàng)為(D).(2)【答案】(C )【詳解】當(dāng)XT 0有,5xsint .xsin5xdt(x)0 t5xlim 二 limt1 = lim5x 1cosxx 0 ：(x) x 0 sinx 1 x 0 (1 t)tdt (1 sin x)sinxsin5x=5lim x 口 5xlim (1 sin x)sinx limcos xsin x 0x 01= 51-e 1所以當(dāng)x T 0時(shí)u (x )是P (x )同階但不等價(jià)的無窮小(3)【答案】(A )【詳解】應(yīng)用函數(shù)定義判定函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性xf(x)的原函數(shù)F(x)可以表示為F(x

12、) = L f (t)dt+C,于是-xU xF(-x) = 0 f(t)dt C = 0 f(-u)d -uC.當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，f(_u)=_f(u),從而有 xxF(-x) = 0 f(u)du C = 0 f(t)dt C =F(x)即F(x)為偶函數(shù).故(A)為正確選項(xiàng).(B)、(C)、(D)可分別舉反例如下：213f(x) =x2是偶函數(shù)，但其原函數(shù) F(x) = -x +1不是奇函數(shù)，可排除(B)；3一、 2、11 .八f(x)=cos x是周期函數(shù)，但其原函數(shù)F(x)= x+ sin2x不是周期函數(shù)，可排除24(C);1 2 ,、f(x)=x在區(qū)間(3,依)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，

13、但其原函數(shù)F(x)=-x在區(qū)間(空,) 2內(nèi)非單調(diào)增函數(shù)，可排除(D).(4)【答案】(C )【詳解】【方法1】必要性：數(shù)列極限的定義對(duì)于任意2定的 超A 0 ,存在N1A 0,使得當(dāng)n A N1時(shí)恒有|xn -a|0, z = min三這時(shí) (0,1),由已知，對(duì)于此名存在N 0 ,3 3使得當(dāng)n之N時(shí)，恒有| xn -a |0,使得當(dāng)n A N時(shí)|xn -a|0 ,總存在N1A0,使得當(dāng)n豈N aNi時(shí)，有|Xn a|0 ln 11 - cosxxx,21 . x 2 次 1 x 1-1lim洛lim= lim2x Qln 1 x -x = 2 x w x (1 x) 2 x 1 x四【詳

14、解】采用分部積分法二 arctan xdx*11=一 arctan xd()=arctanx1 xx萬dx(-x 1 xJI2)dx 二一 ln x 一42-ln(1 x ) 2ji二ln4x一-二1一|1一-ln2.1 x242五【詳解】將原方程化簡嘰y一2 xla j (2 dx x x x令=u ,則dyuu+xdu，代入上式，得 xdx dx化簡并移項(xiàng)，得du_二dx.1 u2xu + xdu = u + Ji + u2 , dx由積分公式得ln(u + j1 + u2) =ln(Cx),其中C是常數(shù),因?yàn)閤 0,所以C 0 ,去掉根號(hào)，得u +Ji + u2 =Cx ,即？ +Ji

15、+ ()2 =Cx, x x，一1 o 1把y、3=0代入并化簡，得y = x2 ,x0x -122w =W +W4 +W3,其中W1是克服泡誦重商U0六【詳解】建立坐標(biāo)軸如圖所示，解法1:將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功作的功； 也是克服纜繩重力作的功；W3為提出污泥所作的功.由題意知W1 =400N 30m =12000J.將抓斗由x處提升到x+dx處，克服纜繩重力所作的功為dW2 =纜繩每米重蹴繩長 升高度= 50(30 -x)dx,30從而W2 = 0 50(30 - x)dx =22500J.在時(shí)間間隔t,t+dt內(nèi)提升污泥需做功為dW3=(原始污泥重-漏掉污泥重)父提升高度(3dt

16、)二 (2000 - 20t )3dt將污泥從井底提升至井口共需時(shí)間理m二10 s,3m/s10所以W3 = J0 3(2000-20t)dt =57000J.因此，共需做功W =皿 W2 W3 = (12000 22500 57000)J =91500J解法2：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功記為W,當(dāng)抓斗運(yùn)動(dòng)到x處時(shí)，作用力f(x)包括抓斗白自重400N ,纜繩的重力50(30 -x)N ,污泥的重力(2000 -5 ,20)N,3rr-20170即 f (x) = 400 50(30 一 x) 2000 一 x = 3900 x,33于是卸 I170 ：85 o 的W = ,3900 -

17、x dx=3900x-85x2 00 =117000 -24500 =91500J七 I3 )3七【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?-0,1)U(1,y),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得2 ,x (x -3)6xy =3 ， y =4(x -1)3(x-1)4令y = 0得駐點(diǎn)x=0,x=3；令y* = 0得x=0.因此，需以0,1,3為分界點(diǎn)來討論，列表討論如下:x(-0,0)0(0,1)(1,3)3(3,收)y0+y+0+0+y凸，增拐點(diǎn)凹，增凹，減極小值凹，增由此可知,27(1)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(g,1)U(3,+/)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3),極小值為y x.(2)函數(shù)圖形在區(qū)間(_。0)內(nèi)是向上凸的，在區(qū)間(

18、0,1),(1,+無)內(nèi)是向上凹的，拐點(diǎn)為(0,0)點(diǎn).3X由|im x 9 =+oc,可知x = 1是函數(shù)圖形的鉛直漸近線x 1 (x-1)2又因?yàn)閘 i my = l im 2x ：二 x x : x(x- 1 j3xlim( y -x) =hm( 一一Xx-. - (x -1). x)=lim x1)x-:(x-1),m *x：-?IL(x-1)=2故y =x + 2是函數(shù)的斜漸近線八、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x近閉區(qū)間1,1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f (-1 ) = 0, f (1) = 1 , f(0)=0,證明：在開區(qū)間(1,1 )內(nèi)至少存在一點(diǎn) J 使fK)=3.【詳解】解法1

19、:由麥克勞林公式得1213f (x) = f (0) + f (0)x +- f (0)x2 +- f p)x3,其中“介于 0與 x 之間，xW 1,1分別令x = -1, x = 1并結(jié)合已知條件得1 .1.f (-1) = f (0) - f (0) - - f ( 1) =0,-1 :二 1 ：二02 61 .1.f (1) = f (0) f (0) f ( 2) =1,0 ； 2 二 12 6兩式相減，得f ( 2) f ( 1) =6由f ”(x)的連續(xù)性，知f (x)在區(qū)間?,”2上有最大值和最小值，設(shè)它們分別為M和m ,則有1m - If ( 2) f ( 1)1 f 0,y

20、(0) =1,因此 y(x) 10 (x0)x-義V 2yx又S2 = y(t)dty2x根據(jù)題設(shè) 2s -S2 =1,得 2 .士 y(t)dt=1, 兩邊對(duì)x求導(dǎo)并化簡得yy = (y j這是可降階的二階常微分方程，令p=y；則丫” =藝=電，型= pE,dx dy dx dy上述方程化為ypdp = p2,分離變量得生=電，解得p=Gy,即型=Gy, dyp ydx從而有 y=C1ex+C2 ,根據(jù) y(0) =1,y(0) =1，可得 G =1,C2=0,故所求曲線得方程為y = ex.十【詳解】利用單調(diào)有界必有極限的準(zhǔn)則來證明.先將an形式化簡,n _1n23nnki：；1因?yàn)?f

21、(x)dx f(x)dx，I f (x)dx I f (x)dx = f (x)dx 112n 1kk所以nnJ k 1nJ k 1an =f k f (n)f(x)dx =、 f k - f (x)dx f (n)kkII kWkW又因?yàn)閒(x)單調(diào)減少且非負(fù)，kExWk+1,所以有n,k 1戶 fk f (k)-f(x)dx0i k =i,故 an 之 0 ,f(n)-0又因?yàn)閍n 1 -an二f k - 1 f x dx f k - 1 f x dxi =1f x dx寸 f k -v f k -f x dxi 1iW=f (n 1) -f (x)dx = f (n 1) - f (x)

22、dxM 0所以Gn單調(diào)減少，因?yàn)閱握{(diào)有界必有極限，所以nman存在.【詳解】題設(shè)條件上式兩端左乘A ,得 AA XAA- 2 AX因?yàn)?AA = A E, AA=E,所以根據(jù)可逆矩陣的定義：對(duì)于矩陣可逆矩陣，并稱B是A的逆矩陣，故X =(A E -2A)-1-1因?yàn)槌?shù)所以-11行2行k與矩陣A相乘,4A E =4E =A X= E+2 AfeA E2 )A X EAn ,如果存在矩陣Bn，使得AB = BA = E ,則稱A為（AE2A）,X均是可逆矩陣，且2行 1行3行+1行0 -1-1A的每個(gè)元素都要乘以010 , 2A =42-2I2一2-211行-3行2k ,故-2 I2-2A E

23、-2A =2(2E - A) = 2：一2X =( AE-2A)1-111用初等行變換求逆,換，單位矩陣E化成了一112 12一11-111-1 （對(duì)應(yīng)元素相減）1if一111T-1(kA),= k/A)當(dāng)用初等行變換將矩陣初等行變換A，即（A E ） tA化為單位矩陣時(shí),1經(jīng)過相同的初等行變A：1一1：01 ：02行-1行一10-13行41行0 1 -0-2： -1010-1 1： 10010： 01/21/201：1/201/21-12行+3彳10 20 001 -1 0：1/2 01 行3行0 10； 01/20 0 1：1/2 0-1/211/2 1行十2行1 01/200 0：1/2

24、 1/201 0： 01/21/20 1：1/201/21/21X = 021/21/201 111/2 1/2 = 0 1 401/21 00111十二【概念】向量組1,2,0(3,4線性無關(guān)U以四，i =1,2,3,4為列向量組成的線性齊次方程組 a洛 +a2x2 +u3x3 +u4x4 =卜102931a4 X =0只有零解向量a能否由向量組 出42,33,口4線性表出u以Gi,i=1,2,3,4為列向量組成的線性非齊次方程組%為+%X2 +63X3 +0(4X4 =口是否有解【詳解】作方程組 0(1x1 +豆2x2 +a3x3 + 0(4X4 = ,并對(duì)增廣矩陣作初等行變換,Im, ：-2, ：3, ：-4,：- 1 -31-3-2： 4-