初中經(jīng)典幾何證明練習(xí)題集

1、C、E 是圓上的兩點(diǎn)， CD± AB, EH AB, EG, CO.PAD= / PDA= 15° 。初中幾何證明題經(jīng)典題（一）1、已知：如圖， O是半圓的圓心， 求證：CD= GF.證明：過點(diǎn)G作GHXABT H,連接OE EG± CO, EF± AB/ EGO=90° , / EFO=90° ./ EGO+Z EFO=18O° E、G、O、F四點(diǎn)共圓/ GEO=Z HFG / EGO=Z FHG=90° . EGA FHGEO GO FG - HGGH± AB, CD, AB .GH/ CD ,GO

2、COHG CD EO CO FG CD EO=CO CD=GF2、已知：如圖，P是正方形 ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，/ 求證： PBC是正三角形.（初二） 證明：作正三角形 ADM,連接MP . / MAD=60 ° , / PAD=15°/ MAP=Z MAD+Z PAD=75°. / BAD=90° , / PAD=15°Z BAP=Z BAD-Z PAD=90° -15° =75° .Z BAP=Z MAP MA=BA, AP=AP . MAPA BAP ，/BPA=/ MPA, MP=BP 同理/ CPD=Z M

3、PD, MP=CP . / PAD= / PDA= 15°PA=PQ / BAP=Z CDP=75 BA=CD . BAP / CDP/ BPA=Z CPD / BPA=Z MPA, / CPD=Z MPD ./ MPA=Z MPD=75° ./ BPC=360 -75° X 4=60° MP=BP, MP=CP BP=CP .BPC是正三角形N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交 MN于E、3、已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AD=BC, M、 F.求證：/ DEN= Z F.證明:連接AC,取AC的中點(diǎn)G,連接NG、MG CN=DNI, C

4、G=DG .GN/ AD, GN=1AD 2 ./ DEN=Z GNM AM=BM , AG=CGGM / BC, GM= 1 BC2 ./ F=Z GMN AD=BC.GN=GM ./ GMN=/GNM/ DEN=Z F經(jīng)典題（二）1、已知： ABC中，H為垂心(各邊高線的交點(diǎn))，O為外心，且(1)求證：AH=2OM;(2)若/ BAC= 600,求證：AH=AO.(初二)證明：(1)延長AD交圓于F,連接BF,過點(diǎn)O作OGL AD于GOG± AFAG=FG AB =Ab/ F=Z ACB又 ADBC, BEX AC ./ BHD+Z DBH=90°/ ACB+Z DBH

5、=90°/ ACB=Z BHD ./ F=Z BHDBH=BF又 ADXBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2GH+DH) =2GD又 ADBC, OM ± BC, OGXAD 四邊形 OMDG是矩形OM=GD AH=2OM(2)連接 OR OC . / BAC=60.,. / BOC=12O°OB=OC, OMXBC，_1 ._ j/ BOM= / BOC=60 / OBM=30 2BO=2OM由（1）知 AH=2OM-. AH=BO=AO2、設(shè)MN是圓O外一條直線，過 O作OA，MN于A,自A引圓的兩條割線交圓

6、O于B、C及D、E,連接CD并延長交 MN于Q,連接EB并延長交 MN于P求證：AP=AQ.證明：作點(diǎn)E關(guān)于AG的對稱點(diǎn)F,連接AF、AG± PQ / PAG4 QAG=90°又/ GAE=Z GAF/ PAG吆 GAE=Z QAG+Z即 / PAE之 QAF E、F、C、D四點(diǎn)共圓AEF+Z FCQ=180°EF± AG, PQ± AGEF/ PQ/ PAF=/ AFE AF=AE/ AFE=Z AEF/ AEF=Z PAF / PAF吆 QAF=180°/ FCQ=Z QAFF、C、A、Q四點(diǎn)共圓/ AFQ=Z ACQ又/ AEP

7、=Z ACQ在 AEP和 AFQ中r /AFQ=/ AEP:.AF=AEI /QAF=/ PAE . AEP AFQAP=AQ/ AFQ=Z AEPA任作兩弦 BC DE,設(shè)CD EB分另1J交MN于P、Q.3、設(shè)MN是圓O的弦，過 MN的中點(diǎn) 求證：AP= AQ.（初二）證明：作 OF± CD于 F, OG± BE于 G,連接 OP、OQ、OA、AF、AG C、D、B、E四點(diǎn)共圓 .B=/D, / E=Z C. AB® ADC,AB 匹 2BG BG AD DC 2FD DF . ABGs ADF / AGB=Z AFD / AGE=Z AFC AM=AN, O

8、A± MN又 OG± BE, ./ OAQ+ZOGQ=180° O、A、Q、E四點(diǎn)共圓 ./ AOQ=Z AGE 同理/ AOP=Z AFC ./ AOQ=Z AOP又/ OAQ=Z OAP=90° , OA=OA . OAQZ AOAPAP=AQ4、如圖，分別以 ABC的AB和AC為一邊，在 ABC的外側(cè)作正方形 ABFG和正方形 ACDE點(diǎn)O是DF的中 點(diǎn)，OP, BC求證：BC=2OP （初二）證明：分別過 F、A、D作直線BC的垂線，垂足分別是 L、M、N OF=OD, DN/OP/ FLPN=PL二.OP是梯形DFLN的中位線 DN+FL=2O

9、P.ABFG是正方形 ./ ABM+Z FBL=90° 又/ BFL+Z FBL=90° ./ ABM=Z BFL又 / FLB=/BMA=90° , BF=AB . BFL ABMFL=BM同理 AMCA CND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP經(jīng)典題（三）1、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE/ AC, AE= AC, AE與CD相交于F.求證：CE= CF.（初二）證明：連接 BD交AC于Oo過點(diǎn)E作EG± AC于G ABCD是正方形BD±AC 又 EG± ACBD/ EG又 DE/ ACODEG是

10、平行四邊形又/ COD=90°ODEG是矩形EG=OD= BD= 1 AC= - AE222/ EAG=30° AC=AE / ACE玄 AEC=75又/ AFD=90° -15° =75°/ CFE=/ AFD=75° =/ AECCE=CF2、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE/ AC,且CE= CA,直線EC交DA延長線于F.求證：AE= AF.(初二)證明：連接BD,過點(diǎn)E作EG，AC于G ABCD是正方形BD±AC,又 EG± AC.BD/ EG又 DE/ ACODEG是平行四邊形I又/ COD=90&

11、#176;ODEG是矩形1I-八 111iEG = OD =BD=-AC=-CE/ GCE=3C AC=EC1/ CAE=Z CEA=1 / GCE=152在AFC中/F =180° -/FAC2ACF=180° -/FACZGCE =180° -135° -30° =15 / F=Z CEA AE=AF3、設(shè)P是正方形 ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF±AP, CF平分/ DCE求證：PA= PF.(初二)證明：過點(diǎn)F作FG, CE于G,CD± CGHCGF是矩形 . / HCF=Z GCF FH=FGHCGF是正方形CG

12、=GF .API FP / APB+/ FPG=90 / APB+Z BAP=90° / FPG玄 BAP又/ FGP=Z PBA . FGF PBAFhl± CD于 H設(shè) AB=x, BP=y, I z： y= (x-y+z): x化簡彳導(dǎo)(x-y) - y= (x-y) , . x-yw 0 y=z即 BP=FGCG=zFG: PB=PQ AB . ABP PGF求證:證明:4、如圖，PC切圓O于C, AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D.AB= DC, BC= AD.（初三）B J過點(diǎn) E作EK/ BD,分別交 AC AF于M、K,取EF

13、的中點(diǎn)H,連接 OH、MH、EC EH=FHOH± EF,/ PHO=90°又 PCX OC,/ POC=90°P、C、H、O四點(diǎn)共圓/ HCO=Z HPO又 EK/ BD, .HPO=Z HEK ./ HCM=/HEM H、C E、M四點(diǎn)共圓/ ECM=Z EHM又/ ECM=Z EFA ./ EHM=Z EFAHM / AC EH=FH.EM=KM. EK/ BD,OB AOODEM AMKM.OB=OD又 AO=CO四邊形ABCD的對角線互相平分ABCD是平行四邊形.AB=DC, BC=AD經(jīng)典題（四）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)， PA=

14、 3, PB= 4, PC= 5.A求/APB的度數(shù).（初二）解：將 ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60°得 BCQ連接PQ 則 BPQ是正三角形/ BQP=60° , PQ=PB=3在APQC中，PQ=4, CQ=AP=3, PC=5 . PQC是直角三角形/ PQC=90°Z BQC=Z BQP+Z PQC=60° +90° =150°C ./ APB=Z BQC=150°2、設(shè)P是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且/ PBA= / PDA. 求證：/ PAB= / PCB （初二）證明：過點(diǎn)P作AD的平行線，過點(diǎn)BE兩平

15、行線相交于點(diǎn) E,連接 PE/ AD, AE/ PDADPE是平行四邊形PE=AD,又ABCD是平行四邊形AD=BCPE=BC又 PE/ AD, AD/ BCPE/ BCBCPE是平行四邊形 ./ BEP=/ PCB ADPE是平行四邊形 ./ ADP=Z AEP又/ ADP=Z ABP/ AEP=Z ABP A、E、B P四點(diǎn)共圓/ BEP=Z PAB/ PAB=Z PCB3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證:AB - CD+ AD - BC= AC BD.證明：在 BD上去一點(diǎn) E,使/ BCE=/ ACD- CD =CD / CAD=Z CBD（初三） . BES ADC_BE_ BCA

16、D ACAD - BC=BE- AC / BCE玄 ACD / BCE-+Z ACE=Z ACD+/ ACE即 / BCA=Z ECD- BC =BC ,，/ BAC=Z BDC BAC EDC,AB ACDE CDAB - CD=DE- AC+彳導(dǎo) AB - CD+ AD- BC =DE- AC+ BE- AC=（DE+BB - AC=BD AC4、平行四邊形 ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且AE= CF.求證：/ DPA= / DPC.（初二）證明：過點(diǎn) D作DG, AE于G,作DHL FC于H,連接C 11SaadE=2 AE - DG, &F

17、DC=2 FC- DHPGG 1又 & ADE= & FDC=2 ScabcdAE - DG=FC DH又 AE=CFDG=DH.點(diǎn)D在/APC的角平分線上/ DPA= / DPC經(jīng)典題（五）1、設(shè)P是邊長為1的正 ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L= PA+ PB+ PC, 求證：V3 < 1,<2.證明：（1）將 BPC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°的4 BEF,連接PE, BP=BE / PBE=60°. PBE是正三角形。PE=PB 又 EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF當(dāng)PA PE、EF在一條直線上的時(shí)候，L=PA+PE+E的值最小（如圖）在

18、4ABF 中，/ ABP=120° . AF= J3 L=PA+PB+P僂 3(2)過點(diǎn)P作BC的平行線分別交 AB、AC于D、G 則 ADG是正三角形/ ADP=Z AGP, AG=DG. / APD> / AGP ./ APD> / ADPAD> PA又 BD+PD>PBCG+PG> PC + +彳導(dǎo) AD+BD+CG+PD+PG> PA+PB+PC . AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=L AB=AC=1, L<2由(1) (2)可知：J3 WL<2.2、已知：P是邊長為1的正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，

19、求 PA+ PB+ PC的最小值.解：將4BCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得BEF,連接PE,則 BPE是正三角形PE=PB/. PA+ PB+ PC=PA+PE+EF要使 PA+ PB+PC最小，則 PA、PE、EF應(yīng)該在一條直線上（如圖）此時(shí) AF= PA+PE+EF過點(diǎn)F作FG± AB的延長線于 G則 / GBF=180 -/ABF=180° -150° =30°,7'- 3 gf=2 , BG=MF'GF2 AG2、2 苧 1 42 J3PA+ PB+ PC的最小值是 V2 ；33、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA= a

20、, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的邊長.證明：將 ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得 BCQ,連接PQ則 BPQ是等腰直角三角形，PQ=/2 PB=<2 x 2a=2 V2 a又 QC=AP=aQP2+QC2=(2 . 2 a)2+a2=9a2=PC2 . APQC是直角三角形BQC=135BC?=BQ2+CQ2-2BQ - CQ cos/ BQC=PB2+PA2-2PB PAcos135°4a2+a-2 x 2ax a x (- )2解得 BC=、,5 2 2a，正方形的邊長為5 2,2a4、如圖， ABC中，/ ABC= /ACB= 80° , D

21、、E分別是 AB、AC上的點(diǎn)，/ DCA= 30° , / EBA= 20° , 求/ BED的度數(shù).解：在AB上取一點(diǎn)F,使/ BCF=60, CF交BE于G,連接EF、DG. /ABC=80° , / ABE=20° , . . / EBC=6CT ,又/ BCG=60° BCG是正三角形BGBC / ACB=80° , / BCG=60°/ FCA=20°/ EBAZ FCA又/ A=/A, AB=AG,. ABE ACF . . AEAF/1Z AFE=Z AEF=2 (180。-/A) =80。又. / ABC=80° =/ AFE，EF/ BC< / EFG=Z BCG=60 . EFG是等邊三角形EF=EG / FEG=/ EGF=/ EFG=60° ACB=80° , / DCA=30°/ BCD=50° ./BDC=180° -/BCD-/ ABC=180° -50° -80° =50°/ BCD=Z B