基于馬爾科夫的醫(yī)療轉(zhuǎn)診策略研究

1、第 卷 第 期年 月工業(yè)工程與管理 文章編號：（）基于馬爾科夫的醫(yī)療轉(zhuǎn)診策略研究莫釩，李娜，于欣（上海交通大學 工業(yè)工程系 ，上海 ）摘要：基于馬爾科夫理論對醫(yī)院之間轉(zhuǎn)診合作問題進行建模 ，將其轉(zhuǎn)化 為排隊問題進行研究。 首先采用分解思想結合矩陣幾何的方法求解系統(tǒng)中病人平均等待時間 、資源利用率等主 要系統(tǒng)評 價指標，然后使用 仿真驗證近 似解的準確性 ，最后從經(jīng)濟收益的角 度探究了不同規(guī)模醫(yī)院 合作時的最優(yōu)轉(zhuǎn)診策略 ，為醫(yī)院之間進行轉(zhuǎn)診合作提供了決策參考和理論依據(jù) 。關鍵詞：醫(yī)療轉(zhuǎn)診；排隊論；矩陣幾何；仿真中圖分類號：文獻標識碼： ， （，）： ， ， ， ， ，：；引言年國務院關于發(fā)展 城

2、市社區(qū)衛(wèi)生服務的 指導意見明確指出，建立社區(qū)衛(wèi)生服務機構與大醫(yī) 院分 工 協(xié) 作、雙 向轉(zhuǎn) 診 的 城 市醫(yī)療服務體系 ； 年新醫(yī)改 意 見 中 提 到 要 引 導 一 般 診 療 下 沉 到 基 層，逐步實現(xiàn)社區(qū)首診 、分級診療和雙向轉(zhuǎn)診 ；目前， 北京、上海、深圳等城市正積極探索醫(yī)聯(lián)體的服務模 式，通過雙向轉(zhuǎn)診對區(qū)域內(nèi)醫(yī)療資源進行整合 ，取得 了一定的成效。 然而，轉(zhuǎn)診制度在實際推行中仍面 臨諸多困難，特別 是出于利益考慮大醫(yī)院不愿讓病 人轉(zhuǎn)診，呈現(xiàn)出“轉(zhuǎn)上容易轉(zhuǎn)下難”的現(xiàn)象。目前對于轉(zhuǎn)診問題的研究多為針對制度政策的 理論分析，指 出 制 度 設 計 的 不 足 并 提 出 改 進 建 議

3、， 如，賴 偉、陳 敏生指 出，目 前雙向轉(zhuǎn)診在制度設計 與現(xiàn)有政策之間存在矛盾 ：公立醫(yī)院公益性與醫(yī)院 市場化間的矛盾、醫(yī)療機構區(qū)域規(guī)劃與病人就醫(yī)慣 性的沖突等。張曉玲、李 紅玉提 出可以借 鑒 澳 大 利亞社區(qū)衛(wèi)生服務機構的模式 ，推廣全科醫(yī)生首診 制。趙茜倩、潘 習龍指 出由于醫(yī)院和社區(qū) 衛(wèi) 生 服 務機構存在利益沖突 ，故而在建立轉(zhuǎn)診體系時 ，需要 考慮居民、各級醫(yī)院之間的利益博弈 。 少數(shù)研究采 用數(shù)學建模的方法對轉(zhuǎn)診問題進行了量化分析 ，如基于 考 慮 的 模 型 研 究 了收稿日期 ：； 修回日期 ：基金項目 ：國家自然科學基金重點項目（，）作者簡介 ：莫 釩（），廣 西桂林人

4、，碩 士研究生 ，主要研究方向為服務系統(tǒng)排隊問題 。 工業(yè)工程與管 理第 期給予社區(qū)首診后向大型醫(yī)院轉(zhuǎn)診的病人優(yōu)先權的轉(zhuǎn) （） （）診策略，研究表明這種策略能夠激勵病人社區(qū)首診 ， 提高整體醫(yī)院的資源利用率。而本文著重研究大型 醫(yī)院將部分術后復健病人向社區(qū)醫(yī)院進行轉(zhuǎn)診的問 題，以醫(yī)院收益 為優(yōu)化目標 ，以 轉(zhuǎn)診率為決策變量， 基于馬爾科夫鏈的排隊理論進行建模和分析 ，從 而 提出在不同條件下醫(yī)院愿意接受的轉(zhuǎn)診策略。問題描述與數(shù)學建模部分疾?。ㄈ绻谛牟。┑闹委熯^程具有明顯的兩 個階段： 診 療 階 段 和 康 復 階 段。診 療 階 段 主 圖 轉(zhuǎn)診模型示意圖 同樣，對 而言，其凈利潤 可由式（

5、）求 得，其中： 為 的服務收益人， 為其資源利要包括手術、門 急 診 等，對醫(yī) 院的醫(yī)療水平要求較 用率， （）（）高，多 數(shù) 只 能 在 大 型 醫(yī) 院 （ ，）完成；康復階段主 要包括護理、療 養(yǎng)等，對 醫(yī)、分 別 為 各 隊 列 平 均 等 待 時 間，、分別為兩個隊列的等待懲罰系數(shù) ， 為 的資源耗損系數(shù)。院醫(yī)療水平要 求 較 低，既 可 在 進 行，又 能 在 社 （） （） （）區(qū)衛(wèi)生 服 務 中 心 （ ，）進 行。為了緩解 排 隊 長、看 病 難 的 問 題，可 將 部 分 在 完成階段治療的病人轉(zhuǎn)診到 進行階段 康復，以騰出 的資源來服務更多重病患者。 一 方面，由于不明晰

6、轉(zhuǎn)診策略是否能增加醫(yī)院收益 ，通 常 不愿將病人轉(zhuǎn)診出去，使 得轉(zhuǎn)診政策難于落 實。另一方面，雖 然 接受轉(zhuǎn)診病人能夠增加其 收益，但同時也會使原有的普通病人排隊時間增大 ，這使得 只能接受一定比例的轉(zhuǎn)診病人以免過度 降低了服務質(zhì)量。如圖所示，本文將針 對 向 轉(zhuǎn)診階 段病人的問題進行建模分析。 假設病人分兩類 ， 類需接受、兩個階段治療，類病人只需接受 階段治療，且類病人只在 就醫(yī)，即不考慮病人 不規(guī)范就醫(yī)的問題，假設兩類病人 的到達率分別為 、，且均服 從 泊 松 分 布； 階 段 和 階 段 整 合 起 來為一個二階 分 布，參 數(shù)為 、； 和 的 資 源 數(shù) 量 （可 理 解 為 病

7、床 數(shù) ）分 別 為 、；令 轉(zhuǎn) 診 概 率 為 。 其 中， 、 分 別 表 示 圖中相應隊列的等待隊列 ，并假設 等待隊列無容量 限制。在 ，采 用 轉(zhuǎn) 診 病 人 享 有 優(yōu) 先 權 的 服 務 規(guī) 則，即轉(zhuǎn)診 病 人 可 優(yōu) 先 于 到 達的普通病人接受 服務。那么對 而言，其凈利潤 可由式（）求（）模型求解與仿真檢驗對于 ，其過程具有獨立性，可以簡單進 行系 統(tǒng)分解，將其理解為圖 所示的隊列。 對于 ，其 到 達 過 程 為 一 個 具 有 優(yōu) 先 權 的 馬 爾 可 夫 到 達（，從 轉(zhuǎn)出的病人）和一個泊松到 達 （，普 通康復保健病人）。 到達與 具有相依性， 且甚為復雜。根據(jù)流

8、平衡理論，本文對其進行一階 近似，假設為參數(shù) 泊松到達，并在后續(xù)進行 仿真驗證。其排隊模型如圖 所示。圖 拆分后的轉(zhuǎn)診模型示意圖 本章將對 和 模型分別求解計算，采 用 馬爾科夫鏈的理論知識，使 用矩陣幾何方法對 求出其數(shù)值解，使 用 享 有 優(yōu) 先 權 的 排 隊 模 型 對 求出其解析解。模型求解出，其 中，、 為相應治療階段的服務收 益人， （） 計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 、 分別為 各 階 段 的 資 源 利 用 率，為 隊 列平均等待 時 間， 為 病 人 等 待 懲 罰 系 數(shù) ， 為 的資源耗損系數(shù)。 定義：（，） （系 統(tǒng)中排 隊 人 數(shù)， 階 段 就 診 人數(shù)，階段就診人數(shù) ）， ，

9、并 且）所 （） 滿足 的 約 束。 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移 如 圖 （ 第 卷莫 釩 ，等 ：基于馬爾科夫的醫(yī)療轉(zhuǎn)診策略研究 示，其中表示無排隊等待時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 ，表示排隊人數(shù) 不為零時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。（，）（，）：系 統(tǒng)中有 位病人 到達，階段就診的人數(shù)加；（，）（， ，）： 位 病 人 完 成 階 段 的 診 療，轉(zhuǎn) 診 去 接受階段的治療；（，）（，）： 位 病 人 接 受 完 階 段 診 療，離 開 系 統(tǒng)；（，）（，）（）： 位病人接 受完階段診療，在 繼續(xù) 階段治療；（，）（， ）：系 統(tǒng)中有 位病 人到達，排隊等待的病人 數(shù)加 ；（， ） （，）： 位病人結束 階段診療 后轉(zhuǎn)診離開，

10、同時 位在 排隊的病人開 始 階 段 診 療；（， ）（， ）（ ）： 位病人接受完 階段診療后離開 ，同 時位排隊病人開始 階 段 診 療；（， ）（，）（）： 位病人接受 完階段診療，在 繼續(xù)階段治療。 求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 圖 模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 烄 烌根據(jù)圖 將系統(tǒng)按等待人數(shù)進行分層 ，即 系統(tǒng)中有 位病人等候時為第 層。根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖的 結構，狀 態(tài) 轉(zhuǎn) 移 矩 陣 將 具有典型的三對角線 （）（）（）性質(zhì)：烆烎 矩陣 中，位于對角線下方的元 素表示層數(shù)烄烌 烆烎其中，是維 數(shù)為 （ ）的 方陣。 矩陣 如 式 （）所 示，對 角 線 上 的 元 素 表 示 層 數(shù) 時，階段有 個病人正在接

11、受診療 ，其中有 位病 人完成診療并轉(zhuǎn)診的概率是，此 時 另 一 位 正 在排隊的病人得以進入系統(tǒng) ，即 從狀態(tài)（，）轉(zhuǎn) 移 至狀態(tài)（，）；超對角線上的元素表示層數(shù) 時，階段有 位病人正在接受診療 ，其中有一位時， 階段有 個病人正在接受診療，其 中有 位病人完成診 療 并 繼 續(xù) 接 受 階 段 診 療 的 概 率 是 （），此時另位正在排隊的 病人進入系統(tǒng)， 即從狀態(tài)（，）轉(zhuǎn)移至狀 態(tài) （，）；對 角線上的元素 等 于 矩 陣 中 其 他 非 對 角 線 元 素 之 和的負數(shù)，其他元素均為零。矩陣 如式 （）所 示，表 示任何 時，病 人 以 的概率到 達，即 從 狀 態(tài) （，）轉(zhuǎn) 移 至

12、 狀 態(tài) （，）， 是 維 數(shù) 為 （ ）× （ ）的 單 位 矩陣。 （）矩陣 、為 矩陣的邊界值。 是維病人完成診療后離開系統(tǒng)的概率是，此 時另 （）（）數(shù)為（）的 矩陣，表 示系統(tǒng)位正在排隊的病人進入系統(tǒng) ，即 從狀態(tài)（，）轉(zhuǎn) 移至狀態(tài)（，）。× 從沒有人排隊到系統(tǒng)中恰好有一個人排隊的狀態(tài)轉(zhuǎn)（）（） 移概率 。 是維數(shù)為（ ）× 工業(yè)工程與管 理第 期的矩陣，表示系統(tǒng) 從只有一個人排隊到系統(tǒng)中排隊 烄（，）， 人數(shù) 為 零 的 狀 態(tài) 轉(zhuǎn) 移 概 率。 是 維 數(shù) 為 （ ）（ ） 的方陣，表示沒有人排 隊時系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn) 烅 （）移概率。由于 的 結 構 復

13、雜，所 以 需 再 應 用 矩 陣 幾何的方法對其進行分解 ，如式（）所示。（， ）， 烆根據(jù)矩陣幾何理 論 有 （），其 中 被稱為 比率矩陣。對于具有三對角線特征的烄 烌矩陣，可 以 用 迭 代 法 求 解，令 初 值 ， （）（ ） ，。 其 中 ， 。烆， 烎 再由齊次線性方程組和可聯(lián)立求解其中，（ ）是 維 數(shù) 為 （ ）× （穩(wěn)態(tài)概率。則系統(tǒng)主要系統(tǒng)指標可由下式求出 ：）的矩 陣，其 對角 線 上 的 元 素 表 示 階 段 有 （， ）個病人正在接受診療 ，其中有一位病人完成診療并 轉(zhuǎn)診的概率是，表 示 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 從 （，）轉(zhuǎn) 至 （，）；其超對角線上的元素表示階

14、段有 個病人正在接受診療，其中有一位病 人完成診療并繼 （，）續(xù)接受階段診 療的概率是（），表 示 狀 態(tài) （， ，）從（，）轉(zhuǎn) 至 （，），其 他 元 素 均 為 。 ，（）是維數(shù)為 （ ）的 方陣，對 角線上的元素等于 矩陣 中其他 非 對角線元素之和的 （）（，）負數(shù)，位于其對角線下方的元素表示階段有 位病人正在接受診療，其中有一位病 人完成診療后離 開系統(tǒng)的概率是，表示系統(tǒng)狀態(tài) 從 （，）轉(zhuǎn) 至 （ ） 模型求解定義 中轉(zhuǎn)診病人和普通病人的資源占用率（，），其他元素均 為 。， （ ）分別為 、 ，由 于 病 人 接 受 服 務 的是維數(shù)為（）× （ ）的 矩 陣，表 示 病

15、人到達后可立即接受階段診療，即 系統(tǒng)狀態(tài)從 （， ，）轉(zhuǎn)至（，），矩 陣所有 非 零元素均在對角 線上且等于。 求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率與性能指標當 轉(zhuǎn) 診 率 為 時，系 統(tǒng) 服 務 率 先后順 序 并 不 影 響 服 務 臺 忙 閑 時 間 的 分 布 ，所 以 總的資源利用率 和典 型 的 排 隊 模 型相同，可得 。要使系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)解 的前 提條件是 ，由 此可求得轉(zhuǎn)診率 對于 系 統(tǒng)能夠達到穩(wěn)態(tài)的約束條件為 。（ 由于 模 型 是 典 型 的 享 有 優(yōu) 先 級 的 排 隊 模），當且僅當 總的資源利用率型，所以其主要系統(tǒng)評價指標可由下式求得 ，具體推 （） 時才有穩(wěn)態(tài)解，得 到 對于 導過程

16、參見。系 統(tǒng) 能 夠 達 到 穩(wěn)態(tài)的約束條件為 （） （！（）！ ）。令穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)處于狀態(tài)（，）的概率為 （， （），系統(tǒng)處于第 層的概率為，令概率向量，。那么 與 （，）的 關系見式（），（）（） ?。ǎǎ?！ （）（）值得 注 意 的 是， 為 × 的 行 向 基于 軟件進行仿真檢驗量，而（）為×（）的行向量。本文以冠心病為案例研究，依 據(jù)北京阜外心血 第 卷莫 釩 ，等 ：基于馬爾科夫的醫(yī)療轉(zhuǎn)診策略研究 管病醫(yī)院 年 年 報 獲 取 模型的相關參數(shù)， 主要參數(shù)為， ， ， 。 假 設與此 合作的 的主要參 數(shù) 為 ， ，。根據(jù)圖 （）模 型 構 建 仿 真 模 型，以

17、 “天 ”為基本的時間單位，設置仿真預熱 時間和運行時間 、，改變、； 固 定、，改 變；固定、，改 變 、。 相 對 誤 差 由 式 （）計算，其中 仿 真 值 為 軟 件 重 復 十 次 運 算 的 均 值。絕大多數(shù) 結 果 的 相 對 誤 差 小 于 ，故 可 認 為 以上算法結果較精確。部分對比結果見表。仿 真 算 法分別為，和，天，以確保系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài) 。 設計了三 組 實 驗 檢 驗 以 上 算 法 的 精 確 性 ： 固 定誤差 仿真×（）表 部分計算結果誤差分析表（ ， ， ， ，改 變 ） 主要性能指標 （天） 主要性能指標 （天） （天） （）算法 仿真 誤差 算法

18、 算法 誤差算法 仿真 誤差 算法 仿真 誤差 算法 仿真 誤差 醫(yī)療轉(zhuǎn)診優(yōu)化決策研究 模型優(yōu)化決策基于 冠 心 病 各 階 段 的 治 療 費 用，令 ，元， ， 元， 元，則 節(jié)考慮到去 就診的多數(shù)是重病患者，如 果不 能及時治療將會加重病情甚至危及生命，所 以 的管理者應充分重視病人等待懲罰的因素 ，在 后續(xù) 的研究中令 。另外，通 過 大 量 實 驗，我 們 發(fā) 現(xiàn) 可 由 式 （）、式所述的 的 凈 收 益 由 式 （）可 求，假 設 轉(zhuǎn) 診 率 為（）可以近似獲得 和 。 時其凈 收 益 達 到 最 大。 研 究 發(fā) 現(xiàn)，隨 著 病 人 等 （）（）待懲罰系數(shù) 增 大，值 不 斷

19、右 移。 當 （）（） （）（） 為零或者很小時，醫(yī) 院凈收益隨著轉(zhuǎn)診率 的增大因為 不隨 變化，所以當固定時，改變 對而減少，即 ；當 時， ；當 幾乎沒有影響；而 隨的增大而減小，所以當 時， ，如 圖 （）所 示。 由 此 可固定 改變時，隨著 的減小而增大，由知，對某個病種來說，如果它對醫(yī)院造成的病人等待懲罰系數(shù)越大，則 適當增大轉(zhuǎn)診率將有利于提高醫(yī) 院凈收益。圖 不同等待成本下 對 的影響圖（）和圖（）可見。另外還可發(fā)現(xiàn)， 隨著增大而明顯增大，所 以當 增大或者 考慮潛在病人 流時，可以轉(zhuǎn)診更多的術后病人以提高其凈收益。圖 固定 ，改 變 工業(yè)工程與管 理第 期另外， 受和 的影響很

20、顯著，由 圖（）和圖（）可見，當 越小或者 越大時， 越大。 而 和 是 反 映 轉(zhuǎn) 診 前 資 源 利 用 率 的 主 要 參數(shù)，也就是說當 轉(zhuǎn)診前 資源利用率越低時 ， 需要接收越多的轉(zhuǎn)診病人來提高其凈收益。圖 固定 ，改 變 模型優(yōu)化決策本節(jié) 延 用 節(jié) 中 的 參 數(shù)： ， ，令 ， 元， 元， 。，令 凈利潤最大時 的資源利用率 、各 隊列平均等待時間及凈收 益與轉(zhuǎn)診率 的關系見表 。 當轉(zhuǎn)診率 為零時， 只有 ，該 科 室 每 日 收 益 不 足 元，這 和當前很多社區(qū)醫(yī)院無人問津 、收益堪憂的狀況相符 ； 當 從 增至 時， 增大 到 ，其 凈 收 益 從 元增至 元，而 轉(zhuǎn)診病

21、人和普通病人的平均等待時間只分別增加了 天和 天，等 待時間增加速度相對較小 ；而當 從繼續(xù)增大時， 越來越接 近 于 ，因此普 通 病人的平均等待 時間迅速增大，當 時普通病人的平均等待 的影響圖 對 圖 時間增大到天，造成其等待懲罰成本增大速度 大于收益增大速度，反 而會減少其凈收益。 由此可 見， 接收的轉(zhuǎn)診病人并不是越多越好 ，其 凈收益 對 的影響 與 聯(lián)合優(yōu)化決策由于 轉(zhuǎn)診的意愿度 和接受轉(zhuǎn)診的呈現(xiàn)隨著 增加而先增后減的趨勢。 表 各項性能指標與 的 關 系 意愿度 可能并不一致，本節(jié)將探討以下三種情 況中 和 合作時 應 該 如何設置轉(zhuǎn)診率 的 （）（）問題 使其能夠更好地進行轉(zhuǎn)

22、診合作。，（） 與 非常接近，如 圖（），其 中 ， ， 。 當取轉(zhuǎn) 診率 為時，能夠大幅度增加 和 的凈 收益。 同時， 的病人平均等待時間從 天減小到天，此時 中轉(zhuǎn)診病人和普通病人的平均 等待時間也只有 天和 天。 這樣規(guī)格的醫(yī) 院非常適合匹配進行轉(zhuǎn)診合作 ，我們可以通過調(diào)研 各醫(yī)院的基礎數(shù)據(jù)，將 適合匹配的 和 的信 息反饋給醫(yī)院，促進更多能夠雙贏的醫(yī)院進行合作 。 第 卷莫 釩 ，等 ：基于馬爾科夫的醫(yī)療轉(zhuǎn)診策略研究 多的轉(zhuǎn)診補償 費 用，以 增 強 合 作 的 意 愿，建 議 轉(zhuǎn)診率 取左右，此時 中病人平均等待時 間為天， 中轉(zhuǎn)診病人和普通病人的平均等待時間分別為天和天。圖 與 非常接近（） 與 相 差 不 大，如 圖（），其 中 ，