高中圓的基本性質(zhì)與點(diǎn)圓關(guān)系 知識點(diǎn)及試題答案

1、高中圓的基本概念與點(diǎn)圓關(guān)系 知識點(diǎn)與答案解析第一節(jié) 圓的基本概念1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （圓心，半徑為）例1 寫出下列方程表示的圓的圓心和半徑（1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y 1)2 = a2 (a0)例2 圓心在直線x 2y 3 = 0上，且過A(2，3)，B(2，5)，求圓的方程.例3 已知三點(diǎn)A(3，2)，B(5，3)，C(1，3)，以P(2，1)為圓心作一個圓，使A、B、C三點(diǎn)中一點(diǎn)在圓外，一點(diǎn)在圓上，一點(diǎn)在圓內(nèi)，求這個圓的方程.2.圓的一般方程：（其中），圓心為點(diǎn)，半徑（）當(dāng)時，方程表示一個點(diǎn)，這個點(diǎn)的坐標(biāo)為（）當(dāng)時，方程不表示任何圖形。例1：

2、已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓，求k的取值范圍。解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓，解得當(dāng)時，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓。例2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的圖形表示一個圓，則m的值是。答案：3例3：求經(jīng)過三點(diǎn)A（1，1）、B（1,4）、C（4，2）的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為，A（1，1）、B（1,4）、C（4，2）三點(diǎn)在圓上，代入圓的方程并化簡，得，解得D7，E3，F(xiàn)2所求圓的方程為。例4：若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是_。解：由，得點(diǎn)P(x, y)在以（2,1）為圓心，半徑r=3的圓C上

3、，原點(diǎn)到圓上的點(diǎn)P(x, y)之間的最大距離為OCr3的最大值為。3.圓的一般方程的特點(diǎn)： (1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于0。 沒有xy這樣的二次項(xiàng)。 (2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了。 (3)與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，代數(shù)特征明顯，而圓的標(biāo)準(zhǔn)方程幾何特征較明顯。4.圓的一般方程變形如果是圓，一定有（1）A=C0；（2）B=0；（3）D2+E2-4AF>0。反之，也成立。例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。例2：方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圓時, m的取值范圍是（ D ）A. B. C

4、. D. 或例3：如果圓的方程為x2+y2+kx+2y+k2=0，那么當(dāng)圓面積最大時圓心坐標(biāo)為（ ）A.（-1，1） B.（1，-1） C.（-1，0） D.（0，-1）例4：圓的圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 .例5：方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓。 1：求實(shí)數(shù)m的范圍。 2：求該圓半徑r的范圍。 3：求圓心C的軌跡的普通方程。解：(1)方程表示圓的充要條件是，即：4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得-<m<1.(2)，得到r的取值范圍(3)設(shè)圓心為(x，y)，則消去m得：y=4(x-3)2-1，-<

5、m<1，<x<4，即軌跡為：y=4(x-3)2-1(<x<4)。例6：已知實(shí)數(shù)滿足等式，求的最值。第二節(jié) 點(diǎn)與圓的關(guān)系1.點(diǎn)與圓的關(guān)系的判斷方法（1）>，點(diǎn)在圓外（2）=，點(diǎn)在圓上（3）<，點(diǎn)在圓內(nèi)例1：的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是求它的外接圓的方程。解析：用待定系數(shù)法確定三個參數(shù)。例2：已知圓經(jīng)過點(diǎn)和,且圓心在上,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)和,由于圓心與A,B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心在AB的垂直平分線m上，又圓心在直線上，因此圓心是直線與直線m的交點(diǎn)，半徑長等于或。例3：寫出圓心為半徑長等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)是否在這個圓上。2.圓的對稱性問題：

6、圓的對稱性問題可以轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)的對稱性，而圓的半徑r相等。例1：求x2+y2+4x-12y+39=0關(guān)于直線3x-4y-5=0的對稱圓方程解析：圓方程可以轉(zhuǎn)化為(x+2)2+(y-6)2=1，圓心O(-2,6)，半徑為1。設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)O'(a,b) ，OO'和直線3x-4y-5=0對稱，因此有：解得 所求圓的方程為。3.與圓有關(guān)的軌跡方程方法一：代入轉(zhuǎn)移求軌跡方程如：方法二：參數(shù)法求軌跡方程方法三：充分利用韋達(dá)定理如：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P,Q,滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱,又滿足·=0，求直線PQ的方程。解：曲線方程

7、為（x+1）2+（y3）2=9表示圓心為（1，3），半徑為3的圓.點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對稱，圓心（1，3）在直線上.代入得m=1。直線PQ與直線y=x+4垂直，設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程為y=x+b.將直線y=x+b代入圓方程，得2x2+2（4b）x+b26b+1=0.=4（4b）24×2×（b26b+1）>0，得23<b<2+3。由韋達(dá)定理得x1+x2=（4b），x1·x2=。y1·y2=b2b（x1+x2）+x1·x2=+4b.·=0，x1x2+y1y2=0，即b26b+1+4b=0.解得b=1（23，2+3）。所求的直線方程為y=x+1。4.圓中的最值思想（1） 形如的最值問題，轉(zhuǎn)化為動直線斜率的問題；（2） 形如m=ax+by的最值問題，轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；（3） 形如m=(x-a)2+(y-b)2最值問題，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方最值問題。如：已知點(diǎn)P（x,y）是圓（x+2）2+y2 =1上任意一點(diǎn)。（1） 求P到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；（2） 求x-2y的最大值和最小值；（3） 求的最大值和最小值。解：（1）圓心C（-2,0）到到直線3x+4y+12=0的距離為：所以P到直線距離的最大值為