量子力學(xué)復(fù)習(xí)要求

1、量子力學(xué)復(fù)習(xí)要求2008. 4. 24一. 基本概念:l 波粒二象性, 德布羅意關(guān)系l 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件,波函數(shù)的歸一化l 幾率與幾率流密度與波函數(shù)的關(guān)系l 幾率與幾率密度的區(qū)別;l 算符, 坐標(biāo)算符, 動(dòng)量算符, 角動(dòng)量算符及哈密頓算符的構(gòu)成.l 本征值方程, 本征值, 本征函數(shù)l 氫原子波函數(shù)的構(gòu)成, 簡(jiǎn)并的概念, 4個(gè)量子數(shù)l 態(tài)疊加原理, 波函數(shù)按照本征函數(shù)展開, 展開系數(shù)的意義l 算符的對(duì)易關(guān)系與測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系l 表象的概念l 定態(tài)微擾論: 求能量的一級(jí)修正,二級(jí)修正,波函數(shù)一級(jí)修正的基本思路l 含時(shí)微擾論: 計(jì)算躍遷幾率的基本思路l 自旋概念的引入, 自旋算符, 泡利

2、矩陣l 在某個(gè)自旋態(tài)求平均值, 自旋算符的本征值和本征函數(shù)l 全同性原理的含義與表述l 玻色子與費(fèi)米子的定義與區(qū)別,泡利不相容原理的表述二. 計(jì)算題與證明題l 一維薛定諤方程的求解;l 簡(jiǎn)單的本征值方程求解;l 幾率與幾率密度的計(jì)算;l 力學(xué)量在某個(gè)態(tài)平均值的計(jì)算;l 有關(guān)厄密算符性質(zhì)的證明(本征值為實(shí)數(shù), 本征函數(shù)正交等)l 證明或檢驗(yàn)算符的對(duì)易關(guān)系及測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系;l 簡(jiǎn)單的定態(tài)微擾論求能量的一級(jí)和二級(jí)修正;l 自旋算符的本征值問(wèn)題.量子力學(xué)概念題, 證明題和計(jì)算題的具體要求1. 微觀粒子的波粒二象性,徳布羅意關(guān)系的物理意義(1.2, 1.3);2. 一維無(wú)限深勢(shì)阱的波函數(shù)的表達(dá)式, 習(xí)題2.

3、3的結(jié)果可以直接用: 2.3一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng), 求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù).結(jié)果: 粒子的能級(jí)為 ,歸一化的波函數(shù)為 .3. 利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件定解(2.3, 2.7);4. 有關(guān)本征值,本征函數(shù),本征值方程的概念與證明(見教材有關(guān)內(nèi)容); 5. 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋, 幾率密度,幾率,幾率流與波函數(shù)的聯(lián)系(3.3, 3.4題);6. 波函數(shù)按照本征函數(shù)展開,所得到展開系數(shù)的物理意義(3.9題);7. 氫原子4個(gè)量子數(shù)的取值范圍,各個(gè)量子數(shù)的取值與對(duì)應(yīng)的算符的本征值的關(guān)系,簡(jiǎn)并態(tài)的概念(3.5, 3.9題);8. 氫原子電子的基態(tài)波函數(shù), 電子幾率分布的最可幾半徑的計(jì)算(3.2題);9.

4、力學(xué)量平均值的計(jì)算,對(duì)平均值公式中各個(gè)量的理解(3.1, 3.2, 3.6, 3.7);10. 算符的對(duì)易與測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系; 用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)氫原子的基態(tài)能量(3.13題);11. 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論計(jì)算能量的一級(jí)修正和二級(jí)修正(理解計(jì)算公式中各個(gè)量的意義).(5.2, 5.3題)12. 對(duì)電子自旋角動(dòng)量取值的理解;在自旋態(tài)中計(jì)算力學(xué)量的平均值,計(jì)算力學(xué)量的均方偏差(7.2題);13. 泡利矩陣與自旋角動(dòng)量算符矩陣的聯(lián)系, 利用自旋角動(dòng)量算符的本征值方程(矩陣形式)確定自旋函數(shù),及自旋角動(dòng)量的本征值(教材有關(guān)內(nèi)容及7.3題)考試題型: 考試由概念題(25%)和計(jì)算題與證明題(75%)兩個(gè)部分組成.需

5、要記住29個(gè)公式第一章 緒論1.德布羅意關(guān)系,(1)(2)2.微觀粒子的波粒二象性.3. 電子被伏電壓加速,則電子的德布羅意波長(zhǎng)為 (3)4.戴維孫和革末的電子衍射實(shí)驗(yàn)(說(shuō)明電子具有波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)).作業(yè): 1.1, 1.2, 1.3, 1.5第二章 波函數(shù)和薛定諤方程1.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋:波函數(shù)在空間某一點(diǎn)的強(qiáng)度和在該處找到粒子的幾率成正比,描寫粒子的波是幾率波.2.態(tài)疊加原理:如果和是體系的可能狀態(tài),那么它們的線性疊加 ,也是體系的一個(gè)可能狀態(tài).3. 薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程 (4)定態(tài)薛定諤方程 (5)其中 (6)為哈密頓算符,又稱為能量算符,4.幾率流密度和幾率守恒定律與薛定

6、諤方程的聯(lián)系;幾率流密度 (7)幾率守恒定律 (8)其中代表幾率密度.5. 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件: 有限性,連續(xù)性(包括及其一階導(dǎo)數(shù))和單值性.6. 波函數(shù)的歸一化, (9)注意積分區(qū)域,注意不同坐標(biāo)系中積分體積元和積分上下限.7.求解一維薛定諤方程的幾個(gè)例子.一維無(wú)限深勢(shì)阱及其變種, 線性諧振子(不要求).注意在勢(shì)能分布具有對(duì)稱性的情況下應(yīng)用對(duì)稱性簡(jiǎn)化定解過(guò)程.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件是: 有限性,連續(xù)性(包括及其一階導(dǎo)數(shù))和單值性.l 波函數(shù)的連續(xù)性總是對(duì)的;l 而波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性在個(gè)別情況下不成立(例如一維無(wú)限深勢(shì)阱的情況).作業(yè): 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7,

7、 2.8第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量1. 動(dòng)量算符及角動(dòng)量算符;構(gòu)成量子力學(xué)力學(xué)量的法則;2. 本征值方程,本征值,本征函數(shù)的概念(10)3. 厄密算符的定義,性質(zhì)及與力學(xué)量的關(guān)系.(11)實(shí)數(shù)性:厄密算符的本征值是實(shí)數(shù).正交性:厄密算符的屬于不同本征值的兩個(gè)本征函數(shù)相互正交.完全性:厄密算符的本征函數(shù)和組成完全系, 即任一函數(shù)可以按和展開為級(jí)數(shù):(12)展開系數(shù): , (13). (14)是在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量得到的幾率,是在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量,得到測(cè)量結(jié)果在到范圍內(nèi)的幾率.4. 和算符的本征值方程, 本征值和本征函數(shù)., 本征函數(shù).5. 氫原子的哈密頓算符,及其本征值,本征函數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu), (15)

8、主量子數(shù),角量子數(shù)和磁量子數(shù)的取值范圍.簡(jiǎn)并態(tài)的概念. 6. 氫原子的能級(jí)公式和能級(jí)的簡(jiǎn)并度. (16)7. 給定電子波函數(shù)的表達(dá)式,根據(jù)電子在點(diǎn)周圍的 體積元內(nèi)的幾率(17)計(jì)算電子幾率的徑向分布和角分布. 計(jì)算在半徑到的球殼內(nèi)找到電子的幾率.8. 給定態(tài)函數(shù),計(jì)算力學(xué)量平均值,平均值的計(jì)算公式. (18)注意(11)式對(duì)波函數(shù)所在的空間作積分.9. 算符的對(duì)易關(guān)系及測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系.(i) 如果一組算符相互對(duì)易,則這些算符所表示的力學(xué)量同時(shí)具有確定值(即對(duì)應(yīng)的本征值), 這些算符有組成完全系的共同的本征函數(shù). 例如氫原子的哈密頓算符,角動(dòng)量平方算符和角動(dòng)量算符相互對(duì)易, 則它們有共同的本征函數(shù),

9、在態(tài)中,它們同時(shí)具有確定值:,和.(ii) 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系:如果算符和不對(duì)易,則一般來(lái)說(shuō)它們不能同時(shí)有確定值.設(shè)則算符和的均方偏差滿足:(19)其中, (a) 利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)氫原子的基態(tài)能量,(b) 給定態(tài)函數(shù),計(jì)算兩個(gè)力學(xué)量和的均方偏差的乘積(20)作業(yè): 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.11, 3.12第四章 態(tài)和力學(xué)量的表象(定性要求與概念理解)表象的概念, 1 坐標(biāo)表象的波函數(shù)與動(dòng)量表象的波函數(shù)及其物理意義；和 2對(duì)表象的理解: (1) 狀態(tài): 態(tài)矢量 (2) 表象: 坐標(biāo)系 (無(wú)限維希耳伯特空間);(3) 本征函數(shù): 坐標(biāo)

10、系的基矢量(4) 是態(tài)矢量在表象中沿各 基矢量的分量:3. 算符的矩陣表示和薛定諤方程的矩陣表示第五章 微擾理論(I) 求解非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾問(wèn)題1. 確定微擾的哈密頓算符: , 及與對(duì)應(yīng)的零級(jí)近似能量和零級(jí)近似波函數(shù);(1) 計(jì)算能量的一級(jí)修正: (21)(2) 計(jì)算波函數(shù)的一級(jí)修正: , (22)其中, . (23)(3) 計(jì)算能量的二級(jí)修正: . (24)簡(jiǎn)并情況下的微擾理論不作要求.含時(shí)微擾理論要求理解躍遷幾率的計(jì)算思路以及教材(5.7-12)式中各項(xiàng)的物理意義.作業(yè): 5.2, 5.3第七章 自旋與全同粒子1. 電子的自旋角動(dòng)量,它在空間任何方向的投影只能取(25)2. 電子的自旋磁矩,

11、它和自旋角動(dòng)量的關(guān)系為(SI) (26)在空間任意方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值:(SI)(27)其中為玻爾磁子.3. 自旋算符的矩陣形式, , (28)泡利矩陣, , (29)4. 自旋算符的對(duì)易關(guān)系及測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系5. 全同性原理: 在全同粒子組成的體系中,兩個(gè)全同粒子相互代換不會(huì)引起體系物理狀態(tài)的改變. 6. 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱或反對(duì)稱的,它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變. 實(shí)驗(yàn)證明,微觀粒子按照其波函數(shù)的對(duì)稱性可以分為兩類: (I) 費(fèi)米子: 波函數(shù)是反對(duì)稱的; (II) 玻色子: 波函數(shù)是對(duì)稱的.7. 泡利不相容原理:不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài).作業(yè): 7.1, 7.2, 7.3部分作業(yè)題及參考答案 第一章 1. 2, 答:7.071. 3, 答:12.61. 4, 答:, , 動(dòng)能的量子化間隔 焦耳,和的熱運(yùn)動(dòng)能量分別為焦耳,焦耳,因此.1.5. 答:米第二章 2.1, 2.3, 答:, 2.4, 2.5, 答: 2.7, 答: 第三章 3.1, 答: 勢(shì)能平均值 ,動(dòng)能平均值 , 動(dòng)量的幾率分布函數(shù) .3.2, 答:半徑平均值, 勢(shì)能平均值 , 最可幾半徑 ,動(dòng)能平均值, 動(dòng)量的幾率分布函數(shù), 3.4, 答:圓周電流的磁矩為, 其中 , 氫原子的磁矩為 3.5, 答: (1), , (2)