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二、非線性遞推數(shù)列目的要求:掌握常見的非線性遞推數(shù)列的通項求法(化為:一階線性、恒等變形、 不動點法、數(shù)歸法、母函數(shù)法等)重點:(難點)根據(jù)其特點采用相應方法求1、分式遞推數(shù)列: 若,則 令其為 (一階線性) 若,用不動點法(P166 TH10)例1、,求解:即 則例2、,求解:變形: 令(化為型) 則 是等差且常 題中恰好是的根,即為的不動點TH9 P166TH10 P166 則 是等比 是等差2、其他非線性遞推數(shù)列 恒等變形后 (書上例10、11、12)例10、,求解:變形 (非連續(xù)二項) 即: (為常數(shù)列) 二階常線性齊次 (特征根法)例12、解:變形,即: 迭代 例11、 求證:解:(猜測后證明)適用于遞推關系復雜,不便求(或證明)時,時,1) 猜測:(再證:為整數(shù),則為(0,1)內的純小數(shù))2)數(shù)學歸納法證明,設 n=0、1、2顯然成立 假設n=k時,結論成立,則n=k+1時 由 又 則 (為記k取 奇、偶數(shù),恒為) 猜測成立2) 再證為整數(shù) 為整數(shù),為(0,1)內的純小數(shù) 對任意自然數(shù)n,例15、母函數(shù)法將數(shù)列當多項式函數(shù)聯(lián)系是研究組合數(shù)性質的有效方法之一一般:多項式稱為數(shù)列的母函數(shù)(有限、無限均可)而母函數(shù)可求和函數(shù),從而可借助母函數(shù)求線性遞推數(shù)列的通項例15、解:(顯然特征根法
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