韋達(dá)定理及其應(yīng)用競賽題

1、韋達(dá)定理及其應(yīng)用【內(nèi)容綜述】設(shè)一元二次方程有二實數(shù)根，則， 。這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c的關(guān)系，稱之為韋達(dá)定理。其逆命題也成立。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)競賽中有著廣泛的應(yīng)用。本講重點介紹它在五個方面的應(yīng)用。【要點講解】1求代數(shù)式的值應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。例1 若a，b為實數(shù)，且，求的值。思路 注意a，b為方程的二實根；（隱含）。解 （1）當(dāng)a=b時，；（2）當(dāng)時，由已知及根的定義可知，a，b分別是方程的兩根，由韋達(dá)定理得， ab=1.說明 此題易漏解a=b的情況。根的對稱多項式，等都可

2、以用方程的系數(shù)表達(dá)出來。一般地，設(shè)，為方程的二根，則有遞推關(guān)系。其中n為自然數(shù)。由此關(guān)系可解一批競賽題。附加：本題還有一種最基本方法即分別解出a，b值進(jìn)而求出所求多項式值，但計算量較大。例2 若，且，試求代數(shù)式的值。思路 此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數(shù)變形來完成。解：因為，由根的定義知m，n為方程的二不等實根，再由韋達(dá)定理，得，2構(gòu)造一元二次方程如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個字母為根的一元二次方程。例3 設(shè)一元二次方程的二實根為和。（1）試求以和為根的一元二次方程；（2）若以和為根的一元二次方程仍為。求所有這樣的一元二次方程。解 （

3、1）由韋達(dá)定理知，。，。所以，所求方程為。（2）由已知條件可得 解之可得由得，分別討論（p,q）=(0,0)，(1,0)，(,0)，(0,1)，(2,1)，(,1)或(0, )。于是，得以下七個方程，其中無實數(shù)根，舍去。其余六個方程均為所求。3證明等式或不等式根據(jù)韋達(dá)定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式。 例4 已知a，b，c為實數(shù)，且滿足條件：，求證a=b。證明 由已知得，。根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理知，以a，b為根的關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程為由a，b為實數(shù)知此方程有實根。，故c=0，從而。這表明有兩個相等實根，即有a=b。說明 由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨特的解題技巧。另外在求得

4、c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。4研究方程根的情況將韋達(dá)定理和判別式定理相結(jié)合，可以研究二次方程根的符號、區(qū)間分布、整數(shù)性等。關(guān)于方程 的實根符號判定有下述定理：方程有二正根，ab<0，ac>0；方程有二負(fù)根，ab>0，ac>0；方程有異號二根，ac<0；方程兩根均為“0”，b=c=0，；例5 設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實數(shù)a的范圍。二根均大于1；一根大于1，另一根小于1。思路 設(shè)方程二根分別為，則二根均大于1等價于和同時為正；一根大于1，另一根小于是等價于和異號。解 設(shè)此方程的二根為，則，。方程二根均大于

5、1的條件為解之得方程二根中一個大于1，另一個小于1的條件為解之得。說明 此例屬于二次方程實根的分布問題，注意命題轉(zhuǎn)換的等價性；解題過程中涉及二次不等式的解法，請參照后繼相關(guān)內(nèi)容。此例若用二次函數(shù)知識求解，則解題過程極為簡便。5求參數(shù)的值與解方程韋達(dá)定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應(yīng)用。例6 解方程。解：原方程可變形為。令，。則, 。由韋達(dá)定理逆定理知，以a，為根的一元二次方程是。解得，。即a=或a=9。或通過求解x結(jié)果相同，且嚴(yán)謹(jǐn)。，（舍去）。解之得，。此種方法應(yīng)檢驗：是或否成立強(qiáng)化訓(xùn)練A 級1.若k為正整數(shù)，且方程有兩個不等的正整數(shù)根，則k的值為_。2.若， ，則_。3 .已知和是方程的二實根，則_。4.已知方程（m為整數(shù)）有兩個不等的正整數(shù)根，求m的值。級 5.已知：和為方程及方程的實根，其中n為正奇數(shù)，且。求證：，是方程的實根。6.已知關(guān)于x的方程的二實根和滿足，試求k的值。參考答案12提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3時原方程有二相等正整數(shù)根，不合題意。故k=2。2提示：由x，y為方程的二根，知，。于。321提示：由，知，4設(shè)二個不等的正整數(shù)根為，由韋達(dá)定理，有消去m，得。即。則且。，。故。5由韋達(dá)定理有，。