一元二次方程求根公式及其應用優(yōu)秀教案

1、用公式法解一元二次方程之教學設計【課標分析】 2011 版數(shù)學課程標準中，對一元二次方程整章學習的要求為：體驗從具體到情境中抽象出數(shù)學符號的過程，理解方程；掌握必要的運算 （包括估算）技能； 探索具體問題中的數(shù)學關系和變化規(guī)律，掌握用方程進行表述的方法；通過用方程表述數(shù)量關系列出方程，體會模型的思想，建立符號意識；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程， 體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型；經(jīng)歷估計方程解的過程；理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等；了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系；能用具體問題的實

2、際意義，檢驗方程解的合理性；在整體要求的框架之下，本節(jié)課選取三點，一是用公式法解一元二次方程。二是會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實數(shù)根和兩個方程是否相等。三了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系。其中第二第三條在教材上是另外兩節(jié)的內容，但在推導結論的過程中，求根公式、根的存在性、韋達定理是可以作為一個整體的，為了不割裂知識整體體系，我選擇整合教材，并且但為了突出重點與難點的突破，在本節(jié)適當降低了對根的存在性和韋達定理的要求，只是實現(xiàn)推導出結論，把更深入的研究放在后續(xù)的學習中，實踐證明，當在后續(xù)的學習中再次深入研究以上兩項內容時，學生的理解和掌握顯得更加輕松，水到渠成?！窘滩姆治觥吭谡n程教材

3、體系中的地位：用配方法推導一元二次方程的求根公式，是在學生學習了一元一次方程（組）分式方程，一元二次方程的概念，開平方配方法的基礎上學習的，求根公式的推導可以引出一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系，以及為后續(xù)研究二次函數(shù)的相關知識做好鋪墊。用配方法推導一元二次方程的求根公式，提供了了解一元二次方程的具有一般性的直接法，便于操作，便于使用，更重要的是在這一過程中，所體現(xiàn)的由特殊到一般由具體到抽象的，具有數(shù)學思維特征的通法，可以有效地提高學生推理能力和運算能力。公式法是解一元二次方程的基本方法，它利用了配方法解一元二次方程一般形式的結果，省略了配方過程，計算更加直接，且具有普適性。不同教材的內

4、容處理：新魯教版對這節(jié)內容的處理方式是：求公式的推導和公式的初步運用。并未涉及根的判別式及韋達定理。新人教版對本節(jié)內容的處理方式：將求根公式的推導、根的判別式和求根公式的初步運用作為一節(jié)的內容，在學完因式分解后，以選學的方式安排了一節(jié)一元二次方程的根與系數(shù)的關系。兩種版本均安排了 3 課時。立德樹人：對照山東省中小學德育課程一體化實施指導綱要指出將立德樹人目標融入各學科教學之中，根植于學科的核心素養(yǎng)，緊密結合學科教學內容，結合本節(jié)課教材的特點，可以從理性精神和思維嚴謹兩處著手。理性精神：在公式推導中，組織學生開展觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證等探究活動，引導學生獨立思考、堅持己見，不人云亦

5、云，培養(yǎng)學生求真求實的科學態(tài)度，以及勇于探索、敢于質疑、善于創(chuàng)新的科學精神。思維嚴謹：公式推導，解方程：在解決實際問題的過程中，讓學生根據(jù)計算法則、運算順序進行計算，體會計算法則和運算順序的合理性和必要性，培養(yǎng)學生的規(guī)則意識，自覺尊重并運用法則解決問題的意識與習慣。通過習題演算邏輯推理、例題示范方式，使學生掌握邏輯歸納與演繹、思維嚴謹與流暢的思維品質；自覺學會尊重并運用定理、公理、公式、法則、規(guī)則、口訣解決問題的意識與習慣，養(yǎng)成做事條理分明、嚴謹細致、一絲不茍、嚴肅認真的個性品質。【學情分析】本班學生特點：大部分學生個性活潑、開朗、學習數(shù)學的積極性高，興趣濃厚，但數(shù)學基礎一班但為了更好的掌握這

6、節(jié)課，在課前，我對本校，九年級已經(jīng)學過 1 元 2 次方程求根公式的學生做了調查。調查對象：已經(jīng)學過一元二次方程求根公式的九年級學生。調查內容：用配方法推導一元二次方程的求根公式。調查人數(shù)：72 人。調查結果：推導過程完全正確的有三人，而其他同學均有不同程度的錯誤。其中： （ 1）配方出現(xiàn)錯誤的有13 人。（ 2）對b2 - 4 ac 未進行討論的有61 人。（ 3）分式計算出錯21 人。（ 4）二次根式化簡出錯21 人。通過調查的記過及對學生的訪談，普遍認為推導過程中字母太多， 運算量太大，一元二次方程的求根公式結構太復雜，不便于記憶，主要靠死記硬背。同時，學生通過直接開平方法、配方法解一元

7、二次方程的學習，對于降次化歸的理論依據(jù)（開平方）以及基本思路（將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程）已比較熟悉。這節(jié)課需要借助學生已有的配方經(jīng)驗，從具體到抽象，得到一元二次方程一般形式的解，即求根公式。但學生對一般形式的一元二次方程的配方過程存在一定困難，由于之前教學缺乏對分類思想的滲透，且求根公式的推導面臨字母系數(shù)，將使這里的分類討論成為學生學習的一個難點。在用配方法進行公式推導時，忽視對b2 - 4 ac 取值的討論是學生的易錯點，此討論又是分類思想的滲透，判別式的應用也在此得以體現(xiàn)。 部分學生對為什么要用公式法解一元二次方程理解不夠深刻，導致后續(xù)過程中直接套用公式的現(xiàn)象。因此采用從具體到

8、抽象再到具體的學法?！窘虒W設計】課題：用公式法解一元二次方程（1）教學目標：1. 通過經(jīng)歷探索一元二次方程求根公式的推導過程，培養(yǎng)理性精神。2. 會用公式法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，培養(yǎng)縝密嚴謹?shù)乃季S品質。3. 在公式推導中了解根的判別式、根與系數(shù)的關系，增強概括性、嚴密性、思想性的數(shù)學素養(yǎng)。教學重點：1. 一元二次方程求根公式的推導過程。2. 用公式法解一元二次方程。教學難點：一元二次方程求根公式的推導過程。教學過程一、情境激趣課前熱身【活動 1】 - 教師1 . 在對比配方法解一元二次方程解法的同時給學生呈現(xiàn)一個一元二次方程的工具，只要輸入一元二次方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項

9、就可以直接得到方程的根。引發(fā)學生思考：這個解方程的工具奧妙在哪里，就在我們學的這節(jié)課的內容里?！净顒?1 -學生學生興趣盎然，自編方程，嘗試計算器的奧妙與神奇?！净顒?1 -設計意圖通過神奇的計算器，激發(fā)學生研究學習本節(jié)課的熱情。二、復習回顧 提出問題【活動2】-教師2 .請用配方法解下列方程2（1） x 6x 9 = 02（2） 2x 1 = 3x2（3） 3x - 6x 4 = 0思考：通過解方程，（1）比較三個方程的根有什么不同。（2）是 什么導致了根的不同？（3）如何不解方程就能判斷出根的不同？【活動2】-學生學生三人上黑板每人一道，其余學生在練習本上。一生通過自己 解的方程帶領大家復

10、習配方法解一元二次方程的步驟。觀察所解三個方程的根的情況，發(fā)現(xiàn)有兩個相同實根、兩個不同實數(shù)根 沒有實數(shù)根，系數(shù)發(fā)生了變化，根就發(fā)生了變化。從配方右邊的結果可以看出根的不同?！净顒?】-設計意圖通過解方程，（1）回顧用配方法解一元二次方程的步驟，為推導 求根公式做方法的鋪墊。（2）發(fā)現(xiàn)根的特點的不同，探求系數(shù)不同， 導致根的不同。（3）啟發(fā)從配方的結果，結合平方根的定義，發(fā)現(xiàn)根Tf匕“一4«。的不同，為求根公式推導過程中，對 4 的討論，做好鋪墊。三、自主探究排難解惑【活動3】-教師3 .數(shù)字系數(shù)能夠用配方法解決，換成字母系數(shù)，我們還能用配方 法解決嗎？ax2 +bx + c = 0

11、( a 豐 0)引導學生返回到開始所解三個方程， 觀察這三部分，引導發(fā)現(xiàn)配 方后的右邊其實是有三種情況的，而這三種情況決定了后續(xù)根的情 況。6+3)2=0(x-l)2 = 4從而思考一廠的正負是需要討論的。4a2【活動3】-學生(1)學生嘗試用配方法解含有字母系數(shù)的一元二次方程，一生 到黑板上展示解題的過程。(2)通過該生的展示，根據(jù)前面解三個方程時的發(fā)現(xiàn)為啟發(fā)，bz-4ac對一廠展開分類討論。4a2四、交流歸納揭示新知【活動4】-教師4 .根的存在性(1)類比剛才學生對三個方程根的不同的比較，引導學生發(fā)現(xiàn)需要分類討論。4a2(2)在分類談論的基礎上，發(fā)現(xiàn) b2- 4ac是判斷根的情況的依據(jù)。

12、引導學生發(fā)現(xiàn)通過 = b2 - 4 ac判斷根的情況的方法。<1>當同時，一元二次方程ax2 +bx + c = 0 (a? %兩個不等 的實數(shù)根。<2>當上0時，一元二次方程ax2+bx + c = 0 (a ? 0有兩個相 等的實數(shù)根。<3>當<0時，一元二次方程ax2 +bx + c = 0 (a ? 0及有實數(shù) 根。(后續(xù)會深入研究，只推導出結論)5 .公式法解一元二次方程(1)求根公式一元二次方程 ax2 +bx + c = 0 ( a # 0),當 b2 - 4 ac)0 時,它的根是:-b+vbz-4Atx=(2)公式法及步驟歸納【活動4

13、】-學生(1)類比剛才學生對三個方程根的不同的比較，引導學生發(fā)現(xiàn)b2-4ac需要分類討論(2)在分類談論的基礎上，發(fā)現(xiàn) b2 - 4 ac是判斷根的情況的 依據(jù)。發(fā)現(xiàn)通過 = b2 - 4 ac判斷根的情況的方法。(3)推導出求根公式(4)歸納出公式法的步驟【活動31【活動4】-設計意圖按照類比-探究-歸納的模式來設計，使學生建立配方法與求根公 式法的內在聯(lián)系，讓學生親身體會公式推導的全過程， 并在得到求根 公式過程中，感悟化歸思想和分類討論思想。通過學生出錯點的討論突破難點， 滲透分類思想，并突出判別式 =b2- 4 ac對一元二次方程根的情況判別的重要性。同時得到一元 二次方程ax2 +b

14、x + c = 0有根時的求根公式及歸納解題步驟。培養(yǎng)學生的理性精神。通過對求根公式的分析，豐富了公式的內涵，明確了公式的結構、 性質和功能，使學生能更加深刻的理解公式，突出教學重點?！净顒?】-教師6 .請用公式法解下列方程(1) x2 6x 9 = 0一 一 2一(2) 2x 1 = 3x一 一 2 一一 3x - 6x 4 = 0老師巡視過程中，用QQW步上傳圖片的方式拍攝學生出現(xiàn)的各種資源。三名學生到黑板上展示解題過程。所有同學比較公式法與配方法的優(yōu)勢與不足， 找到不同類型的題 目更簡單的解決方程求根的方法?！净顒?】-設計意圖熟練掌握用求根公式解一元二次方程。 類比配方法，找到公式法

15、 與配方法的優(yōu)勢與不足。為下一步解法優(yōu)化選擇做鋪墊。培養(yǎng)學生思 維嚴謹。五、情景揭示再探新知【活動6】-教師7 .揭示開始展示的計算器的奧秘，換上字母系數(shù)的方程與呈現(xiàn)公 式的根的存在狀態(tài)，讓學生感悟到計算器的原理就是程序里編了 一求 根公式。【活動6】-學生找到計算器解一元二次方程的奧秘所在，加深對求根公式的理解 和認識?！净顒?1 -設計意圖通過計算器展示含有求根公式的程序加深學生對求根公式的理解和認識。六、鞏固練習拓展提升【活動71 -教師8 .用合適的方法解一元二次方程18 = 0+6x+1=09 .編一組不同類型的一元二次方程，你能編幾種?10 .發(fā)現(xiàn)韋達定理觀察求根公式中，方程兩根的

16、異同，求兩根的積與兩根的和，有什么發(fā)現(xiàn)？b£x1+x2=-x1x2=aa【活動71 -學生學生選擇自己認為比較簡單和喜歡的方法解方程。第（ 2）題, 配方法更加簡單。把編的題目分類。對比根的不同，進行求和與求積 發(fā)現(xiàn)韋達定理。【活動71 -設計意圖通過學生選擇不同的方法求解方程，進一步鞏固配方法和公式法 解一元二次方程的方法，并且在方法的選擇上根據(jù)解法的特點實現(xiàn)最 優(yōu)化。編題是為了讓學生加深對根的存在性的理解， 通過思維的逆向體 會b2 - 4 ac與根的關系，進一步強化求根公式、根的情況與一元二 次方程的系數(shù)的聯(lián)系。為下一節(jié)做好鋪墊。同時讓學生了解數(shù)學家韋 達論方程的識別與訂正等相關世界數(shù)學史。七、盤點收獲布置作業(yè)【活動8】-教師盤點收獲：在學生盤點收獲的基礎上老師進一步歸納并用結構圖的方式呈現(xiàn)(見課件)：配方法是推導一元二次方程求根公式的基礎， 求根公式不僅幫助我們解決了根的存在性問題，根的求法，同時向我們揭示了根與系數(shù)的內在聯(lián)系，這為后續(xù)學習奠定了基礎?！净顒?】-學生學生自主梳理本節(jié)課的收獲，分別從知識方法和思想三個層面去 談。【活動81 -設計意圖在師生共同盤點收獲中，讓學生明確一根主線：配方法是推導一 元二次方程求根公式的基礎，求根公式不僅幫助我們