空間向量及其線性運算

1、空間向量及其線性運算空間向量及其線性運算3編稿：周尚達審稿：張揚責(zé)編：嚴(yán)春梅目標(biāo)認知國學(xué)習(xí)目標(biāo)：圉1 .了解空間向量的概念，體會向量由平面向空間的推廣過程。2 .掌握空間向量的線性運算，掌握向量共線的充要條件.3 .掌握空間向量的數(shù)量積，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.重點：國空間向量的線性運算和空間向量的數(shù)量積；空間向量共線與垂直的充要條件.難點：畫空間向量的數(shù)量積，空間向量共線與垂直的充要條件.學(xué)習(xí)策略：國把向量的研究范圍從平面擴大到空間，就得到空間向量，因此，空間向量是平面向量的推廣，學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念及其運算時，完全類比平面向量的概念及其運算。知識要點梳理國知識點一：空間向

2、量的相關(guān)概念國1 .空間向量的定義：圉在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示；記作：樂或孩。注意：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2.空間向量的長度（模）:國表示空間向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作I9司或133.空間向量的有關(guān)概念：國零向量：長度為0或者說起點和終點重合的向量，記為6。單位向量：長度為1的空間向量，即相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共線向量：如果表示

3、空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.1平行于信記作3 / 12空間向量及其線性運算共面向量：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量。兩個規(guī)定：（1）6與任意向量平行；（2）6與任意向量垂直。注意：當(dāng)我們說向量彳、玉共線（或王石）時，表示彳、玉的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線.向量在空間中是可以平移的.空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，因此我們說空間任意兩個向量是共面的.4.兩個向量的夾角圖已知兩非零向量左方，在空間任取一點0,作向量3=之，OB=b,則4408叫做王與W的夾角，記作3法）。當(dāng)母，0或*時,向量彳與信平行，記作當(dāng)

4、2時，向量a與小垂直，記作知識點二：空間向量的加減法國因為空間任意兩個向量是共面的.定義空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量及運算律與平面向量一樣。(1)空間向量的加減法運算囪如圖，若0A = a,AB =b3 / 12則OB=OAAB=a+b如圖，若OA = a QB =ba則&4蝮-苫（指向被減向量），（2）空間向量的加法運算律：圉加法交換律：加法結(jié)合律：G+=3+區(qū)艮）注意：空間向量加法的運算律要注意以下幾點:首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量,即：44+4A+AA,卜4.i4=AA因此，求空間若干向量之和時.，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量;首尾相接的

5、若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量,即：石+而+冢+-+x+石二百:空間向量及其線性運算4兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立.因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則.平行四邊形法則知識點三：空間向量的數(shù)乘閡(1)實數(shù)與空間向量的積的定義：畫實數(shù)丸與向量”的積是一個向量，記為41，模和方向規(guī)定如下:4 / 12Aa=Aa(AeR)當(dāng)；10時，4】與向量段的方向相同、與/I=0時，2以=0當(dāng)兄0時，溫與向量的方向相反(2)實數(shù)與空間向量的積的運算律：國設(shè)入為實數(shù)，則有結(jié)合律：gaff第一分配律：6+出&=m+RQfff第二分配律：父S+與二期+助(3)共線向

6、量定理和共面向量定理國共線向量定理：空間任意兩個向量左、三(Ww6),曰E的充要條件是存在實數(shù)4,使曰二焉.共面向量定理：如果兩個向量1、舌不共線，則向量夕與王、石共面的充要條件是有且只有一對實數(shù)4、ff為使# = 4+48知識點四:空間向量的數(shù)量積15 / 12(1)數(shù)量積定義國空間向量及其線性運算已知空間兩向量左方，則.圖為叫做的數(shù)量積，記作一E,即西4=|茨HMcos注意：空間兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，實數(shù)與空間向量的積是一個向量。（2）空間向量數(shù)量積的運算律圖Q）a-b=ba（交換律）;茂國+為二左篇+其2（分配律）；:：（朝彳二為易二茨.（焉）（4及）(3)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)國設(shè)”

7、是非零向量，一是單位向量，則：，：e=e-a=acqs（點殍.&JlE今A=0；|開二寸高或|町五;f河川w司.網(wǎng)規(guī)律方法指導(dǎo)西1.空間向量的加法與減法如何進行運算？國空間向量中兩個向量的加、減可以直接用三角形法則或平行四邊形法則解決。而多個向量的加減運算，通常可以利用三角形法則進行推廣，在解決立體兒何問題時，其中的某個向量經(jīng)常多次使用三角形法則的方法用其他向量來表示，首尾順次相接的向量如果能圍成封閉的圖形，那么和向量為零向量。2.共線向量定理的用途是什么？國空間向量及其線性運算判定兩條直線平行；證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量

8、共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。3.如何利用向量知識求線段的長度？圉將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解。選擇基底時，應(yīng)注意三個基向量兩兩之間的夾角應(yīng)該是確定的、已知的或可以求出的。具體求模時，可分為兩種不同情況：（1）不建坐標(biāo)系，直接進行向量運算；（2）建立坐標(biāo)系，用距離公式求線段長度。4.如何利用空間向量知識求異面直線所成的角？國異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到，具