初中函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

1、1初中函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)平面直角坐標(biāo)系K定義：平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系9初中函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)2.3個象限內(nèi)點(diǎn)的特征:第一象限工(+, +>第二象限:+)第三象限：-)第四象限工()點(diǎn) P (xy), J0IJ x>0,y>0; 點(diǎn) P Cx,y),則 x<0,y>0： 點(diǎn) P (xTy)j 則 xVO,yV。： 點(diǎn) P Cx,y)，則 xAOyVO;3.坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為零；原點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.0),兩坐標(biāo)軸的 點(diǎn)不屬于任何象限，4、點(diǎn)的對稱特征：

2、已知點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)反號 關(guān)于芋軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是En、n)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)反號 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是Cmr)橫，縱坐標(biāo)都反號5,平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；平行于x軸的直線上的任意兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等：平行于¥軸的直線上的任意兩點(diǎn)二橫坐標(biāo)相等,6、各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等.第二i四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù).7、點(diǎn)P (x,y)的幾何意義：點(diǎn)P (x.y)至J x軸的距離為M，點(diǎn)P (xTy)到y(tǒng)軸的距離為|x«點(diǎn)P (x,y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為 卜+8,兩點(diǎn)之間的距離：X軸上兩點(diǎn)

3、為B(士 隰一)型一勺|y軸上兩點(diǎn)為(<°，乂)、d(°5)|c:n(-3一p"已知A($M、B(”，j abh卮 Ml *rj9,中點(diǎn)坐標(biāo)公式已知A(陽,)、R(%fJ M為AB的中點(diǎn)，則工卜1t巨尹，1仇點(diǎn)的平移特征：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)(xTy)向右平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)(x-a, y)?將點(diǎn)(x,y)向左平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)(x+a , y)；將點(diǎn)(x,y)向上平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)G, y+b)；將點(diǎn)(xTy)向下平移b個單位長度,可以得到對應(yīng)點(diǎn)(x, y-b),注意二對一個圖形謎行平移，這個圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都

4、要發(fā)生相應(yīng)的變化;反過來， 從圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)的加減變化,我們也可以看出對這個圖形進(jìn)行了怎樣的平移、函數(shù)的基本知識基本概念K變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量，常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量n工函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個確定的 值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把k稱為自變早，把y稱為因變量，v是 x的函數(shù).*判斷A是否為B的函數(shù)，只要看R取值確定的時候，A是否有唯一確定的值與之對應(yīng)3,定義域和值域：定義域，一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域.值域：一般的，一個函數(shù)的因變量所得的值的范圍，叫做這個函數(shù)

5、的值域。4,確定函數(shù)定義域的方法：（I）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；（2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；U）關(guān)系式含有二次根式時,被開放方數(shù)大于等于零；C4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；（5）實際問題中,函數(shù)定義域還要和實際情況相符合,使之有意義。5、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)， 那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.6,函數(shù)解析式;用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式.7：墻或性（單調(diào)性：增減性又叫單調(diào)性，分兩種情況：單調(diào)增、單調(diào)減單調(diào)增：y隨x的增大而增大單調(diào)減

6、：y隨x的增大而減小口訣:“同增異減”，注意：單調(diào)性只適用于單調(diào)區(qū)間，即有一個X只有唯一確定的*與之對應(yīng)時.8、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步舞第一步1列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo).相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描 出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點(diǎn)）1第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來），9、函數(shù)的表示方法列表法；一目了然1使用起來方便但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù) 之間的對應(yīng)規(guī)律.解析式法；簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系. 但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式

7、表示.圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系“一次函數(shù)圖象和性質(zhì)一、一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識1.定義；一般地，形如y-kx+b（kb是常數(shù)，k/Q）t那么y叫做x的一次函數(shù)當(dāng)b=0時.kkx+b即產(chǎn)人，稱為正比倒函數(shù)，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的 一次函數(shù)一一次函數(shù)的二般形式：y=kx+b也起）說明：k不為零 x指數(shù)為1b取任意實數(shù)2x解析式:y=kx+b（k* b是常數(shù)，k#0）八圖像:一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0, b）和（-2, 0）兩點(diǎn)的一條直線.我k們稱它為直線y=k"b4、增減性（單調(diào)性）二QU, y隨x的增大而增大（單調(diào)增）；k<0, y隨x而

8、增大而減 小（單調(diào)減）5、必過點(diǎn)：（0, b）和,0）：理由如下: y=kx+b中， k當(dāng)x=o,時，y=所以，該函數(shù)經(jīng)過（, ）點(diǎn)當(dāng)y=o、時，x=所瓦該函數(shù)經(jīng)過（, ）點(diǎn)所以，一次函數(shù)廿=區(qū)+ 8的圖象是必經(jīng)過（-g, 0）和6. b）兩點(diǎn)的一條K直線t注；兩點(diǎn)確定一條直線。畫圖時，可通過這兩點(diǎn)來確定直線.6、一次函數(shù)圖像的畫法：兩點(diǎn)法計算必過點(diǎn)（0, b）和（-?, 0）描點(diǎn)（有小到大的順序）連線（從左到右光滑的直線）7.增減性i kR, y隨n的增大而增大；k<0, y隨n增大而減小,8,傾斜度（只與k相關(guān)）:同越大，圖象越接近于y軸；|k越小，圖象越接近于x軸以截點(diǎn)（與b有關(guān)）

9、：（直線與y軸的交點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做截距）當(dāng)b>0時直線與y鈾交于原點(diǎn)上方（即y軸的正半軸"當(dāng)b<0時，直線與y軸交于原點(diǎn)的下方.（即y軸的負(fù)半軸）1g圖像的上下平移（只與b相關(guān)）；直線y=kx+b,它可以看作由直線廠kx平移巾個單位長 度得到一當(dāng)b>0時，將直線尸kx的圖象向上平移卜個單位；口訣“正上”當(dāng)b<0時，將直線打kx的圖象向下平移b個單位.口決負(fù)下“例如:廣2/3.將直線 廠2x 的圖象向一上平移 3 個單位尸2x3將直線 f 的圖象向 下平移 3 個單位練習(xí)：y=5尤電將直線y=5x的圖象向 下 平移6個單位注：一次函數(shù)kkx叱圖像的平移，

10、只與b有關(guān)，將kkx的圖像平移，平移方向：b正上移，b負(fù)下移11、一次函數(shù) >'=Q卡卜的圖象與性質(zhì)bX)b<0b O（正比例函數(shù)）經(jīng)過：第一、二*三象限及過工第一*三四象 不經(jīng)過,第四象限限不經(jīng)過：第二象限經(jīng)過：第：三象限不經(jīng)過：第二、四象限增減性（單調(diào)性）：圖象從左到右上升，y隨乂的增大而增大，單調(diào)增經(jīng)過第一、二、四象限經(jīng)過第二、三，四象限 經(jīng)過第二、四象限不經(jīng)過，第三象限 不經(jīng)過：第一象限不經(jīng)過:第一,三象限增減性（單調(diào)性）：圖象從左到右下降，y隨k的增大而減小，單調(diào)減必過點(diǎn)：經(jīng)過0）和（。，b）兩點(diǎn)，正比例函數(shù)即是經(jīng)過原點(diǎn)（0, kI0）12、兩直線之間的位置關(guān)系（

11、平行或相交）：若直線y=代工+匕 仁&平行：當(dāng)比二人時，小- - k +bi相交：將兩直線方程聯(lián)立成一個方程組.乩，解得結(jié)果.即為交點(diǎn).13、二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系：兩元一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為所對應(yīng)方程組的解.14、應(yīng)用：要點(diǎn)是（1）會通過圖象得信息；（2）能根據(jù)題目中所給的信息寫出表達(dá)式。15、【思想方法】數(shù)形結(jié)合。鞏固練習(xí)：試試畫出y=K, y=K+l, y二*尸-x+l的圖像反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)一、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識1、定義：一般地，形如廣-為常數(shù)I H 的函數(shù)稱為反比例函數(shù).x了還可以寫成產(chǎn)二依TX2、解析式：y =- 1為常數(shù),）x注：反比例函數(shù)解析式的特征：

12、等號左邊是函數(shù)，等號右邊是一個分式*分子是不為零的常數(shù)火（也叫做比例系數(shù)A ）, 分母中含有自變量力 且指數(shù)為I.比例系數(shù)#工。自變量¥的取值為一切非零實數(shù)。（反比例函數(shù)有意義的條件二分母二0） 工函數(shù)F的取值是一切非零實數(shù)”3、增減性（單調(diào)性）：kX）, y隨x的增大而減?。▎握{(diào)減）；X0, y隨x增大而增大（單 調(diào)增）4.反比例函數(shù)的圖象：雙曲線（1）圖像的畫法：描點(diǎn)法沿。的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)） 列表（應(yīng)以O(shè)為中心，描點(diǎn)（有小到大的順序）連線（從左到右光滑的曲線）是中心對稱圖形,對稱中心是原點(diǎn)（2）時稱性:O）是軸對稱圖形，對稱軸是直線y二工和j，二 -工（3）反比

13、例西數(shù)爐=t a為常數(shù)，小二。）中自變量0,函數(shù)值j，。，所以雙曲線是 X不經(jīng)過原點(diǎn),斷開的兩個分支（稱為左、右支），延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐A >0時兩支曲縷分別位T ：象限且每一象限內(nèi)第U的增大而減小標(biāo)軸相交.，時兩支曲線分別位于二、四象限且每 象限內(nèi)y隨工的增大而峭大（4）比例系數(shù)上的幾何含義（右圖）：反比例函數(shù)y=上出丁中比例， x幾何意義，即過雙曲線V=& （%。）上任意一點(diǎn)P作工軸、y軸垂線，t jr別為A、B,則所得矩形OAPB的面積（陰影面積）為k.（由¥= &變形可得士 kry因為面積為正數(shù)，所以k取絕對值0 5、反比例函數(shù)性質(zhì)如

14、下衰;k的符號k>0k<0圖像的大致位置經(jīng)過象限象限增減性（單調(diào)性工 單調(diào)區(qū)間內(nèi)討 論）在每一象限內(nèi)，從左到右 看，¥隨x的增大而減± ；（70, 0） U （0, 1 宛）區(qū)在每一象限內(nèi)，從左到右 看V隨X的增大而增大（-oc, 0） U （0, +x）區(qū)間內(nèi)，單調(diào)減間內(nèi)，單調(diào)增圖像的對稱性中心稱圖形,對稱中心是原點(diǎn)；同時，也是軸對稱圖形，對稱軸是直線L和直線 y=-x6、1思想方法上數(shù)形結(jié)合（D應(yīng)用在廣二上上g7、應(yīng)用<2）應(yīng)用在廿=：;其要點(diǎn)是公進(jìn)行“數(shù)形站價”來解決何會其它二次函數(shù)圖象和性質(zhì)一、二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識：1,定義：一般地,形如y=*+版+

15、 C"是常數(shù).。射。）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似，二次項系數(shù)口工3 而入?？梢詾榱? 二次函數(shù)的定義域G的取值范圍）：全體實數(shù)，R.2 .解析式（表達(dá)式）：一般式：柢"（o壬白，人.是常數(shù)）：說明:等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量工的二次式，的最高次數(shù)是L *Nc是常數(shù)，是二次項系數(shù),8是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.對一次函數(shù)*經(jīng)過配方變形為頂點(diǎn)式上 ¥f 6與二廠/其頂點(diǎn)坐標(biāo)為匚?, 4二一"）加 4（7Ztr 4 3補(bǔ)充：二次函數(shù)解析式的表示方法（三種）工一般式: y = a:+bx+c （訝，b t c 為常數(shù), ”。）；頂

16、點(diǎn)式療+k 1、史為常藪，"“）；拋物線的頂點(diǎn)P （h, k）對于二次啪數(shù)丫 ="丁人葉c鱗過前方變形尚點(diǎn)式：v-iitx卜且十把土，其面點(diǎn)里分為儲金、但心） 2a 4"%4<j：，,兩根式（交點(diǎn)式）1j=和一冊）僮-馬）（"MU.¥:是拋物線與A,軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.僅限于與X軸有兩個交點(diǎn)八（XI, 0）和B Cx21 0）的拋物線，即AK）其中=b 4- 2a（即一元二次方程求根公式）注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：L b4cjc bh + b 4t/c h v/j_ 4t/c+h=k = x. = ,九二laAa 1 2a

17、1 2a注意；任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式.但并非所有的二次函數(shù)都可以寫 成交點(diǎn)式，只有拋物線與工軸有交點(diǎn)，即力-4«之0時，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn) 式衰示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化,二次函數(shù)廠（”-力廣十七與”+酎+的比較 從解析式上者,y二事（一”力+*與丁 =d+限+ £,是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即¥生十處二貯，其中心-色，上三處法2） 4u2a 4a3、二次函數(shù)解析式的確定，根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}

18、簡便.一般來說，有如下幾種情 況：1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式：2-已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；工已知拋物線與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.4、二次函數(shù),一"r+版”圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)J,一應(yīng)，h * £化為頂點(diǎn)式F 一 （7（T* A ,確定其開口方向*對稱軸及項點(diǎn)坐標(biāo)：然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)（0.口、 以及（。3）關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（2A）.與工軸的交點(diǎn)住.。）, 口U）（若與工軸沒有交點(diǎn), 則取兩組

19、關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)），畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn),與刀軸的交點(diǎn)，與）軸的交點(diǎn).4.二次函數(shù)的圖像：拋物線（1）對稱性二拋物線是軸對稱圖形，對稱軸：直線X 2,對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P.特別地，當(dāng)b=0時，弛物線的對稱軸是y軸（即直線x-0）（2）拋物線有一個頂點(diǎn)巳 坐標(biāo)為P J."*"）2。 4a當(dāng)-"F時，P在y軸上；當(dāng)3=廳 4呢力時，P在x軸上。1 1,是常畢項）ahc與拋物線的關(guān)系（仃是二次項系數(shù)，片是一次項系數(shù),（1） a決定拋物線的開口方向和大?。洪_口方向：a為正儂。），開口朝上，有最小值； a為負(fù)gv。），開口朝下

20、，有最大值；開口大?。篴的絕對值越大.拋物線的開口越小.（2） a、b共同決定對稱釉：直線x=-A-初的符號決定對稱軸工=-二的位置，分兩種情況；2a。當(dāng)注與b同號時（即如0）,對稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)俎與b異號時（即abVO）,對稱軸在y軸右側(cè)。概括的說就是“左同右異”（3）常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（O,分三種情況:當(dāng)g川時，拋物線與j軸的交點(diǎn)在4軸上方，即拋物線與.，軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;當(dāng)工時，拋物線與丁軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與丁軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。;當(dāng)時，拋物線與丁軸的交點(diǎn)在耳軸下方，即拋物線與j軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總之，只要".方都確定，那么這條拋物線就

21、是唯一確定的.6、拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)24改0時,拋物線與n軸有2個交點(diǎn)。A （"0）和B （X2,0）&二*-4.=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。頂點(diǎn)P（-W,O）2a二/-4皿,0時，拋物線與n軸沒有交點(diǎn)口配圖：開口向上（開口向下，情況類似）7類比一元二次方程的根的情況：特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）,=«/十床當(dāng)片0時，二次函數(shù)為關(guān)于K的一元二次方程（以下稱方程），即6+既+ e此時，函數(shù)圖像與X軸有無交點(diǎn)即方程有無實數(shù)根。 函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。8,二次函數(shù)F二/工+?丫 +處."的圖像和性質(zhì) 2口4a對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)£7<0當(dāng)x=時, y有最一值，y當(dāng)芯= 時, y有最 值.*增減性在對稱軸左側(cè)在對稱軸右側(cè)Y隨x的增大而V隨X的增大而y隨x的增大而y隨x的增大而ii初中函數(shù)