巧用“拆分變式”妙解數(shù)學(xué)問題論文

1、巧用“拆分變式”妙解數(shù)學(xué)問題廣西陸川縣中學(xué) 徐文才摘要在解數(shù)學(xué)題時，總是把一個問題歸入某一種類型，使它具備一定的條件，轉(zhuǎn)化為一種特定的結(jié)構(gòu)，從而加以解決的，在實(shí)施這一過程中，往往少不了“拆分”，根據(jù)問題特點(diǎn)，配合一定的拆分變形，常常使復(fù)雜問題簡單化，隱形問題顯形化，從而使問題關(guān)系明朗化。因此拆分的意識強(qiáng)不強(qiáng)，拆分的方法巧不巧，直接影響著解題的速度和質(zhì)量。本文通過一些典型實(shí)例說明“拆分變式”在解題中的巧妙運(yùn)用，并抓住例題的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行適當(dāng)推廣，來體現(xiàn)說明數(shù)學(xué)的開放性思維和創(chuàng)造性思維在數(shù)學(xué)解題中的魅力，以及數(shù)學(xué)思維的靈活性，“拆分變式”法的解題技巧。關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)拆分解題所謂“拆分變式”就是把一個數(shù)（

2、或式子）分成若干個數(shù)（或式子）的和，差或乘積的形式?！安鸱肿兪健痹诮忸}中有著許多重要的運(yùn)用，它的變化無窮，若我們能掌握其中之奧妙，解起題來將會游刃有余，不但能提高解題速度，而且還可以激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，以下主要談“拆分變式”在解題中的功能。一、巧用拆分式例1.當(dāng)X為何值時，分式取得最小值，并求此最小值。分析：這是一道二次分式求最小值問題，直接求解無計(jì)可施，但若對原式進(jìn)行拆分變形：易知，當(dāng)X1時取得最大值2，故取得最小值4（求解過程略）11若拆分變式中的 ，該拆分變式則為較常用的平均拆分，它也有著類似的功能。12若拆分式中的a=b ,則也為較重要的拆分變式，它在解題中同樣有出奇制勝的效果。以上兩

3、種特殊拆分變式的運(yùn)用在此不舉例說明，實(shí)際上我們在解題中常遇到這一類問題，若巧用以上拆分變式，對尋求問題的合理解法或減少計(jì)算量都很有幫助，同時可以提高我們解題的技能技巧。二、巧用拆分式例2.求證：分析：通過觀察，等式的左邊各項(xiàng)本質(zhì)一樣，而且每一項(xiàng)的分子剛好等于該分母中兩因式之差，于是找到解題途徑。證明：該題巧在用拆分式，中間項(xiàng)可相互抵消，剛好剩下首末兩項(xiàng)的差。推廣1:推廣2:推廣3:以上推廣的證明類似于例2的證明過程，在此不給予證明。由此體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的開放性思維在解題中的奧妙。三、巧用拆分式例3設(shè)a1, a2, anR+ 且 a1, a2,an1,求證:（2a1）（2a2）（2an）3 n分析：不

4、等式的左邊共有n 個式子，且形式相同，而其右邊為3 n，只要證其中之一 ，通過分析、觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征。只須將2拆成11，根據(jù)已知條件a1, a2, an1，于時（2a1）（2a2） （2an）3 n，故原不等式巧妙獲證（證明過程略）推廣：若m N, ai R+ ( i=1,2n )且，則(m+1)n證明： ai R+ ( i=1,2n )且i四、巧用拆分式例4、設(shè)x>0 y>0 ，且x+y=1997，求xy1996 的最大值。解：又x+y=1997 1997即 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=1996時，等號成立)從而當(dāng)x=1,y=1996時，xy1996達(dá)到最大值且最大值為199619

5、96評注：求解此題的關(guān)鍵是注意觀察所求問題的特征，找出與項(xiàng)數(shù)有關(guān)的數(shù)字，把已知條件中的x+y 拆成 再運(yùn)用重要不等式使解題快速巧妙。例5制造一個體積為V的圓柱體的有蓋罐頭盤，怎樣設(shè)計(jì)它的尺寸才最省材料？分析：如果含變量的項(xiàng)之積不是定值，根據(jù)表達(dá)式的特征，常將某一項(xiàng)拆成相等的幾項(xiàng)，以便于其積為定值和取等號。解：設(shè)盒子的全面積為S全，底面半徑為R，高為h ，則VR2hS全=2R2+2Rh =2R2+Rh+Rh當(dāng)且僅當(dāng)2R2Rh即h=2R時，S全取得最小值當(dāng)設(shè)計(jì)圓柱體的底面半徑，高時最省材料。五、巧用拆分式（x0）例6化簡分析：本例用常規(guī)方法直接通分十分繁瑣，注意到隱含條件1x0，1x0，則用 (a

6、0)可得妙解。解原式將 兩邊平方可得它也有著類似的功能。例7如果邊長為正方形鐵皮，四角各剪去一個邊長為x 的正方形，可以做成一個無蓋的長方形容器，問x為多少時容器容積最大，最大為多少?分析：為了運(yùn)用重要不等式，于是要湊出和為定值，并且使等號成立，平均拆分表達(dá)式是解此題的關(guān)鍵。解：設(shè)容器的容積為V，則依題意得當(dāng)且僅當(dāng)a-2x=4x 即時，容器的容積最大且最大值為說明：上述求解過程向我們展示了處理“和定積最大”或“積定和最小”一類最值問題的拆項(xiàng)處理模式：圍繞均值不等式在使等號成立的條件下進(jìn)行“拆分”。六、巧用拆分式a=(a+b)-b例8設(shè)cos, sin求：sin(+)不少同學(xué)將cos展開成cos

7、cos+sinsin=，將展開成sin cos+cossin=再求sin,cos,sin，cos。最后被搞得暈頭轉(zhuǎn)向，且不易確定到底是第一象限角還是第二象限角，若能注意整體思考，巧用拆分式a=(a+b)-b，問題便會化難為易。解：0又cossino<< <+<又sin cossin(+) cos說明：由于三角變換公式多，三角題的求解靈活多變。在教學(xué)中，除了教會學(xué)生靈活使用三角變換公式外，適時地滲透上述拆分變形思想，必將大大提高學(xué)生解證三角問題的能力。七、巧用拆分式（a 0）例9解方程分析:常規(guī)解法是用湊指數(shù)及分母有理化來獲得其解,若能發(fā)現(xiàn)這一妙處，很快得知原方程變形為，

8、快速解得為原方程的解（求解過程略）八、巧用拆分式：an= bn -bn-1例10求和12·2！3·3！nn!分析：只須注意到其一般項(xiàng)k·k! 可拆成（k+1）！k! 就有說明：在解涉及多項(xiàng)的求和問題時，我們的思維方向是減少項(xiàng)數(shù)，而減項(xiàng)的主要途徑之一是拆項(xiàng)，即將通項(xiàng)an表成an= bn -bn-1的形式，在實(shí)施這一過程中，“拆分變式”扮演著重要角色。九、巧用拆分式例11設(shè)a，b，cR且a+b+c=1證明證明：由柯西不等式可知a+b+c=1 , 推廣：若 ，且 則 (其證明過程類似例11，在此不給予證明)以上我們已介紹了九種常見的拆分變式在初等數(shù)學(xué)問題中的巧妙運(yùn)用，當(dāng)

9、然，對于高等數(shù)學(xué)中的一些問題，“拆分”同樣是解題常用的恒等變形手段，“拆”得巧常能使解題過程一路春風(fēng)，簡捷明快，妙趣橫生，讓我們得到意想不到的效果，因此，總結(jié)和掌握“拆分變式”在解題中的巧用，無疑能培養(yǎng)學(xué)生的技能和技巧。以下通過實(shí)例來領(lǐng)略“拆分變式”在解決一些高等數(shù)學(xué)問題中的奧妙之處。一、 求極限問題。對一些數(shù)列極限或函數(shù)極限問題的求解，可通過觀察、分析、聯(lián)想等思想轉(zhuǎn)化策略，適當(dāng)對原式進(jìn)行拆分變式，便可化難為易，化繁就簡。例13已知（n >1） 求分析并求解：由知原式中各項(xiàng)可拆開，在求和時出現(xiàn)正負(fù)相消的現(xiàn)象，便于最終求解，于是有例14求極限n 為自然數(shù)分析：由于x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)，不能

10、直接把x=1代入函數(shù)中求解，解此題的關(guān)鍵是設(shè)法消去分母，或通過對原函數(shù)進(jìn)行恒等變形，使x=1為其連續(xù)點(diǎn)。于是把n 拆成，并分配到各項(xiàng)中去，再利用拆分式，是解此題的關(guān)鍵之處。解： 123n 二、求不定積分問題。有一些類型的不定積分形成了有規(guī)律的解法，如有理函數(shù)的積分化為最簡分式的積分，以及無理函數(shù)積分的幾種有理化處理方法，三角函數(shù)的幾種常用代換法，遞推公式等。但是，在許多情況下，常常要配合一定的折分技巧，才可以把問題轉(zhuǎn)化為一種特定的結(jié)構(gòu)，從而加以解決，靈活巧妙運(yùn)用拆分變式，往往比照搬程序化的做法更為湊效。例15求不定積分分析：初看起來，本題既不能用代公式法求解，也難以用分部積分，換元法求解，但通

11、過觀察，分析被積函數(shù)可拆成，這樣，此題的關(guān)鍵是求不定積分，易知這兩個不定積分用公式即可獲解，于是（求解過程略）例16求不定積分分析：觀察被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，首先應(yīng)把被積函數(shù)進(jìn)行拆分變式，因?yàn)樗栽絰+3 lnx-3-3lnx-2+cx+3 lnc （求解過程略）例17求不定積分分析：通過觀察，本題既不能直接用湊微分求解，也不能直接代公式求解，但只要仔細(xì)分析被 積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，稍一拆項(xiàng)，便使問題迎刃而解。因?yàn)閘nC說明：求形如的無理函數(shù)不定積分的一般方法：把原被積函數(shù)拆成兩項(xiàng)，前項(xiàng)用湊微分求解，后項(xiàng)進(jìn)行配方后用公式求解。例18求解：評注：求解本題的關(guān)鍵是對被積函數(shù)進(jìn)行拆分變式，然后用湊微分和

12、配方后用公式使問題巧妙獲解。例19求分析：由于，于是首先應(yīng)考慮把被積函數(shù)拆成，于是（求解過程略）三、用于無窮級數(shù)求和問題。在解無窮級數(shù)求和問題時，從定義出發(fā)，先求出級數(shù)的前n 項(xiàng)部分和，然后求，在求部分和時，我們的思維方向是減少項(xiàng)數(shù)，或通過轉(zhuǎn)化使之具有一定的結(jié)構(gòu)特征，而在實(shí)施這一過程中，“拆分變式”是主要途徑之一，拆分巧妙會收到極妙的功效。例20證明級數(shù)收斂并求其和。分析：從無窮級數(shù)求和定義出發(fā)，先求出該級數(shù)的前n 項(xiàng)部分和，然后求，即可解：級數(shù)的前n項(xiàng)部分和為：據(jù)級數(shù)收斂的定義即知，級數(shù)收斂，其和為。說明：求解本題的關(guān)鍵是能考慮到級數(shù)的通項(xiàng)拆成由此即可寫出級數(shù)的前n 項(xiàng)部分和，這樣就不難求得

13、本題的解了。例21證明：級數(shù)收斂并求其和。分析：本題的求解方法類似于例20，在求前n 項(xiàng)部分和過程中，拆分成是關(guān)鍵，于是問題轉(zhuǎn)化為求與，求解這兩個的和遠(yuǎn)遠(yuǎn)比求原級數(shù)的部分和容易。解： （1） （2）（1）式（2）式得即級數(shù)的前n 項(xiàng)部分和據(jù)級數(shù)收斂的定義即知，級數(shù)收斂，其和為。從以上的介紹我們知道，“拆分變式”無論在初等代數(shù)中還是在高等數(shù)學(xué)中都有著極其巧妙的運(yùn)用，而且“拆分”的變化形式頗多，只要我們善于抓住題目的結(jié)構(gòu)特征及充分聯(lián)想有關(guān)的拆分變式，會使我們的解題妙到好處，甚至還可以將有的問題推廣到一般的形式，因此，我們在解題時僅要掌握解題方法，還要懂得舉一反三，觸類旁通，使所學(xué)知識融會貫通，這樣

14、才能達(dá)到鍛煉數(shù)學(xué)思維的效果。參考文獻(xiàn)1 吳雙 巧拆項(xiàng)，解難題數(shù)學(xué)大世界2000年第9期2 蔣根法、盧亞素 巧用“分拆”變形簡化分式運(yùn)算數(shù)學(xué)大世界1999年第11期3 劉玉璉 數(shù)學(xué)分析講義（上冊）第三版高等教育出版社-Abstract The maths problems can be included in the same category which can be changed into a certain form. It makes it easy to work out the maths problems. How can the problems be turned into the certain form? We must divide them. Dividing can make the difficult problems easy, the invisible problems visible and the hidden problems clear. So the consciousness and the ways of dividing will affect the speed and quality of working out maths problems. The passage tells how to