線性代數(shù)知識點全歸納

1、線性代數(shù)知識點1、行歹U式1 .n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式；2 .代數(shù)余子式的性質：、Aj和aij的大小無關；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0;、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為|A;精選范本，供參考!3.代數(shù)余子式和余子式的關系：Mj=()ijAijAij=(-1)jMij4. 設n行列式D:n(n1)將D上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為D1,則D1=(-1)-D;n(n1)將D順時針或逆時針旋轉90',所得行列式為D2,則D2=(_1)-D;將D主對角線翻轉后(轉置)，所得行列式為D3,則D3=D;將D主副角線

2、翻轉后，所得行列式為D4,則D4=D;5. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；n(nA)、副對角行列式：副對角元素的乘積父(-1)?。?、上、下三角行列式(|、|=|)：主對角元素的乘積;n(n.1)A C OB-Aoc B、BA'-c BAo -OBA c、|和|:副對角元素的乘積M(7尸；= (-1)mLn AIb、拉普拉斯展開式：、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；、特征值；n6. 對于n階行列式|A，恒有：|KE-A=Kn+Z(-1)kSNn，其中Sk為k階主子式;k土7. 證明A=0的方法:、|A=-A；、反證法；、構造齊次方程組Ax=0,證明其有非零解;

3、、禾1J用秩，證明r(A)<n;、證明0是其特征值；2、矩陣1 .A是n階可逆矩陣：uA#0（是非奇異矩陣）；ur（A）=n（是滿秩矩陣）UA的行（列）向量組線性無關；二齊次方程組Ax=0有非零解；uVbWRn,Ax=b總有唯一解；UA與E等價；UA可表示成若干個初等矩陣的乘積；0A的特征值全不為0;UATA是正定矩陣；UA的行（列）向量組是Rn的一組基；UA是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2 .對于n階矩陣A:AA=AA=AE無條件恒成立；1*11TT1*TT*3 .（A）=（A尸（A）=（A/（A）=（A）_T_TT*_1_11（AB）=BA（AB）=BA（AB）=BA4 .矩陣是表格，

4、推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5 .關于分塊矩陣的重要結論，其中均A、B可逆：2±z2C2右A=.1AAsI、A=A1|A2IIIAs,A"rrA-LA2u、A=.、I'AOY=A工1pBl1。、|OAyj。出OJ(A工、hcTa工。BlIO、卜OYJACBJ(-B九,則:)；、As2);(主對角分塊)B)BB;(副對角分塊)O)1-X、CB;(拉普拉斯)BJ4n1二2；(eWW:A二B13、矩陣的初等變換與線性方程組1.一個mxn矩陣A,總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：F=fEOI0°mn等價類：所有與A等價的矩陣組

5、成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A、8,若(A)=r(B)yA|_B;2.行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非。元素必須為1;、每行首個非。元素所在列的其他元素必須為0;3.初等行變換的應用：(初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換)r、若(A,E)口(E,X),則A可逆，且X=A-;c、對矩陣(A,B)做初等行變化，當A變?yōu)镋時，B就變成A-B,即：(A,B)-(E,A-B);r、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Ax=b,如果(A,b)(E,x),則A可逆，且x=A/b;4.初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由

6、其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;、A=齷.，左乘矩陣A,九乘A的各行元素；右乘，九乘A的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列，符號f1H11E(i,j)，且E(i,j)工=E(i,j),例如：1|二11311)、倍乘某行或某列，符號、倍加某行或某列，符號E(i(k),且E(i(k)二=E(i(-),例如：1E(ij(k)Me(ij(k)/=E(ij(-k),如：k1(k=0)'b-k(k00)；15.矩陣秩的基本性質：、0<r(Am>n)<min(m,n)；、r(AT)=r(A);、若AB,則r(A)=r(B);、若P、Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)

7、=r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩)、max(r(A),r(B)<r(A,B)<r(A)+r(B);(X)、r(A+B)<r(A)+r(B);(X)、r(AB)<min(r(A),r(B);O、如果A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，且AB=0,則：()I、B的列向量全部是齊次方程組AX=0解(轉置運算后的結論)；n、r(A)r(B)<n、若A、B均為n階方陣，則r(AB)>r(A)+r(B)_n;6 .三種特殊矩陣的方哥：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)父行矩陣(向量)的形式，再采用結合律；11ac、型如01b的矩陣：利用二項展開式；F0bn

8、二項展開式：(a+b)n=C：an+C；anTb1-a2bm加|+C尸a1bn-+C：bn=£Cnambn”;m-0注：I、(2+3”展開后有n+1項；Cmn(n-1)HHH(n-m1)n!C0Cn1、Cn=1皿1m=m!(nm)!Cnnn小組合的性質：Cm=C：3Cm平=Cm+Cn"工Cn=2nrCn=nd;r=0、利用特征值和相似對角化：7 .伴隨矩陣：nr(A)=n、伴隨矩陣的秩：r(A)=?1r(A)=n-1；0r(A):：:n-1、伴隨矩陣的特征值：網(wǎng)(AX=AX,A*=AA=A*X=1AX)；九九、A*=AA:a*=An工8 .關于A矩陣秩的描述：、r(A)=n

9、,A中有n階子式不為0,n+1階子式全部為0;(兩句話)、r(A)<n,A中有n階子式全部為0;、r(A)>n,A中有n階子式不為0；9 .線性方程組：Ax=b,其中A為mMn矩陣，則：、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程；、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程;10 .線性方程組Ax=b的求解：、對增廣矩陣B進行初等行變換(只能使用初等行變換)；、齊次解為對應齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11.由n個未知數(shù)m個方程的方程組構成n元線性方程:a11X1ax2inaix。=4D、a21x1a22x2111a?nxn=b?.I，111am1a

10、m2IIIamn人xm士1bmX1（向重方程，A為mxn矩陣，m個方程，n個未知數(shù)）faaHIa"B(全部按列分塊，其中(a1a2l|an)：Ha1x1+a2x2汽|+anxn=P(線性表出)F=|d)、有解的充要條件：r（A）=r（A,P）<n（n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關性1.m個n維列向量所組成的向量組A:O1,%,中,am構成nMm矩陣A=3，豆2,|,3m）;RTm個n維行向量所組成的向量組B：坪，P：，用，用構成mxn矩BBb=12；同含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；2.、向量組的線性相關、無關、向量的線性表出、向量組的相互線性表示仁Ax=

11、0有、無非零解；（齊次線性方程組）仁Ax=b是否有解；（線性方程組）二AX=B是否有解；（矩陣方程）3.矩陣4湎與Bl刈行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax=0和Bx=0同解；（P101例14）4.r(ATA)=r(A);(P101例15)5.n維向量線性相關的幾何意義：、a線性相關ua=0；、a,P線性相關ua,P坐標成比例或共線（平行）；、a,P,¥線性相關ua,P,¥共面；6.線性相關與無關的兩套定理：若qcMI,r線性相關,則5,%,川口,as十必線性相關；若3，里Ml,as線性無關，則0（1,a2,UI,asq必線性無關；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）

12、若r維向量組A的每個向量上添上n-r個分量，構成n維向量組B:精選范本，供參考！若A線性無關，則B也線性無關；反之若B線性相關，則A也線性相關；(向量組的維數(shù)加加減減)簡言之：無關組延長后仍無關，反之，不確定；7.向量組A(個數(shù)為r)能由向量組B(個數(shù)為s)線性表示，且A線性無關，則r<s；向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)<r(B);向量組A能由向量組B線性表示二AX=B有解；=r(A)=r(A,B)向量組A能由向量組B等價=r(A)=r(B)=r(A,B)8.方陣A可逆之存在有限個初等矩陣PiRlII, P ,使 A = P P2| |P ;、矩陣行等價:(左乘，P可逆)

13、u Ax =0與Bx = 0同解、矩陣列等價:cA B = AQ =B(右乘，Q可逆)；、矩陣等價:PAQ =B(P、Q可逆)；9 .對于矢I陣An：1n與Bl沏：、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價，則Ax=0與Bx=0同解，A與B的任何對應的列向量組有相同的線性相關性;、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10 .若AmxBs而=Cm濾，則：、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；(轉置)11 .齊次方程組Bx=0的解一定是ABx=0的解，【考試中可以直接作為定理使用，而無需證明、AB

14、x=0只有零解二Bx=0只有零解；、Bx=0有非零解=ABx=0一定存在非零解；12 .設向量組BnX:bi,b2,|,br可由向量組An冷：就且2,|,as線性表示為：(bi,b2,|,b,)=(a1,a2,III,as)K(B=AK)其中K為sMr,且A線性無關，則B組線性無關0r(K)=r；(B與K的列向量組具有相同線性相關性)(必要性：17r=r(B)=r(AK)Mr(K),r(K)Mr,.r(K)=r;充分性：反證法)注：當r=s時，K為方陣，可當作定理使用；13 .、對矩陣An而，存在Qn淅，AQ=Emur(A)=m、Q的列向量線性無關;、對矩陣An而，存在Pn淅，PA=Enur(

15、A)=n、P的行向量線性無關；14 .：1,JH,：s線性相關u存在一組不全為0的數(shù)k1,kJH,ks,使得kM+k2%+lll+ksQs=0成立；(定義)GJ=a,%Hi,«s)x2旬有非零解，即Ax=0有非零解；wr(5,%,|Ps)<s,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15 .設mxn的矩陣A的秩為r,則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩為：r（S）=n_r；16 .若"為Ax=b的一個解，；上,|,口上為Ax=0的一個基礎解系，則*,。，。,|兒二線性無關;5、相似矩陣和二次型1.正交矩陣二八八=£或八-=AT（定義），性質：1ij、A的列向重都是

16、單位向重，且兩兩正父，即aiaj=W（i,j=1,2,|n）；0i=j、若A為正交矩陣，則A-=AT也為正交陣，且|A=!；、若A、B正交陣，則AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；2. 施密特正交化：（a,a2,IHajbi=a1,3.對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關;對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交；4.、A與B等價=A經(jīng)過初等變換得到B;U PAQ = B ,二 r(A)=r(B)P、Q可逆；A、B同型;、A與B合同。CTac=b，其中可逆；yxTAx與xTBx有相同的正、負慣性指數(shù)；、A與B相似uP工AP=B;5. 相似一定合同、合同未必相似；若C為正交矩陣，則CTAC=B=ALB,（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）6. A為對稱陣，則A為二次型矩陣；7. n元二次型xTAx為正定：aA的正慣性指數(shù)為n;UA與E合同，即存在可逆矩陣C,使CTAC=E；二A的所有特征值均為正數(shù)；UA的各階順序主子式均大于0;=aii>0,A>0;（必要條件）第一章隨機事件互斥對立加減功，條件獨立乘除清；全概逆概百分比，二項分布是核心；必然事件隨便用，選擇先試不可能。第二、三章一維、二維隨機變量1）離散問模型，分布列表清，邊緣用加乘，條件概率定聯(lián)合，獨立試矩陣2）連續(xù)必分段，草圖仔細看，積分