在自身倉(cāng)庫(kù)容量有限條件下的隨機(jī)存貯策略

1、在自身倉(cāng)庫(kù)容量有限條件下的隨機(jī)存貯策略摘要本文旨在通過(guò)建模的方法針對(duì)貯存和銷(xiāo)售問(wèn)題，研究在倉(cāng)庫(kù)容量有限，且允許缺貨的條件下建立一個(gè)貯存管理模型。通過(guò)對(duì)期望值的分析，討論了庫(kù)存量隨時(shí)間和銷(xiāo)售量的變化，對(duì)庫(kù)存費(fèi)的影響。并求出最優(yōu)解，使得總損失費(fèi)用達(dá)到最低。首先對(duì)L的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，在隨機(jī)到貨時(shí)間X和L兩個(gè)變量同時(shí)作用下，分出五種情況進(jìn)行討論。通過(guò)求和公式和期望值的運(yùn)用，得到單商品貯存模型。再針對(duì)某個(gè)大型超市給出的三種商品銷(xiāo)售情況和貨物到達(dá)時(shí)間，運(yùn)用該模型求出三種商品各自相應(yīng)的最優(yōu)訂貨點(diǎn)。再考慮實(shí)際情況中多種商品需要同時(shí)訂貨的情形下，依據(jù)此模型進(jìn)一步推廣，得出在同時(shí)訂購(gòu)M種商品時(shí)的最優(yōu)訂貨點(diǎn)。關(guān)鍵

2、詞： 倉(cāng)庫(kù)容量，貯存管理，數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)到貨一、 問(wèn)題重述工廠(chǎng)生產(chǎn)需定期地定購(gòu)各種原料，商家銷(xiāo)售要成批地購(gòu)進(jìn)各種商品。無(wú)論是原料或商品，都有一個(gè)怎樣存貯的問(wèn)題。存得少了無(wú)法滿(mǎn)足需求，影響利潤(rùn)；存得太多，存貯費(fèi)用就高，也影響利潤(rùn)。因此說(shuō)存貯管理是降低成本、提高經(jīng)濟(jì)效益的有效途徑和方法。 1.問(wèn)題一給出信息：某商場(chǎng)銷(xiāo)售的某種商品，市場(chǎng)上這種商品的銷(xiāo)售速率假設(shè)是不變的，記為；每次進(jìn)貨的訂貨費(fèi)為常數(shù)與商品的數(shù)量和品種無(wú)關(guān)；使用自己的倉(cāng)庫(kù)存貯商品時(shí)，單位商品每天的存貯費(fèi)用記為，由于自己的倉(cāng)庫(kù)容量有限，超出時(shí)需要使用租借的倉(cāng)庫(kù)存貯商品，單位商品每天的存貯費(fèi)用記為，且；允許商品缺貨，但因缺貨而減少銷(xiāo)售要造成

3、損失，單位商品的損失記為；每次訂貨，設(shè)貨物在X天后到達(dá)，交貨時(shí)間X是隨機(jī)的；自己的倉(cāng)庫(kù)用于存貯該商品的最大容量為，每次到貨后使這種商品的存貯量補(bǔ)充到固定值為止，且；在銷(xiāo)售過(guò)程中每當(dāng)存貯量降到時(shí)即開(kāi)始訂貨。要求給出使總損失費(fèi)用達(dá)到最低的訂貨點(diǎn)（最優(yōu)訂貨點(diǎn)）的數(shù)學(xué)模型。2.問(wèn)題二給出某個(gè)大型超市的三種商品的相關(guān)真實(shí)數(shù)據(jù)，要求按問(wèn)題一所建立的模型分別計(jì)算出這三種商品各自相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)訂貨點(diǎn)。3. 實(shí)際生產(chǎn)生活中，訂貨的情形會(huì)和問(wèn)題一描述的有很大差別，會(huì)遇到庫(kù)存容量有限、多種商品需同時(shí)訂貨的情形，這時(shí)需要充分利用庫(kù)存體積。多種商品的訂貨流程和規(guī)則類(lèi)似問(wèn)題一中一種商品訂貨的情形。要求建立模型制定出最優(yōu)的訂

4、貨方案使商場(chǎng)的總損失費(fèi)用達(dá)到最低。二、基本假設(shè)1. 假設(shè)每次到貨后，每次貨物補(bǔ)充所需的時(shí)間可忽略不計(jì)，銷(xiāo)售時(shí)會(huì)先銷(xiāo)售租 來(lái)倉(cāng)庫(kù)中的貨物。2. 假設(shè)商品在貯存和銷(xiāo)售過(guò)程中不會(huì)過(guò)期，不會(huì)變質(zhì)，不影響貨物的正常銷(xiāo)售。3. 支付的費(fèi)用按天結(jié)算，每天結(jié)束時(shí)支付，若未結(jié)算前銷(xiāo)售完畢，則不支付該 天的費(fèi)用。4. 各項(xiàng)費(fèi)用不會(huì)隨時(shí)間的變化而變化。三、符號(hào)說(shuō)明商品的銷(xiāo)售速率每次進(jìn)貨的訂貨費(fèi)自身倉(cāng)庫(kù)單位商品每天的存貯費(fèi)用租借倉(cāng)庫(kù)單位商品每天的存貯費(fèi)用缺貨時(shí)單位商品每天的損失費(fèi)用每次訂貨的交貨時(shí)間租賃倉(cāng)庫(kù)存貯量的銷(xiāo)售時(shí)間銷(xiāo)售的最長(zhǎng)時(shí)間訂貨前的銷(xiāo)售時(shí)間自身倉(cāng)庫(kù)存貯該商品的最大容量該商品的最大存貯量該商品的訂貨點(diǎn)商品的

5、最優(yōu)訂貨點(diǎn)平均每天的損失費(fèi)用四、問(wèn)題分析4.1問(wèn)題一的分析該問(wèn)題要求對(duì)商場(chǎng)訂貨的方案進(jìn)行優(yōu)化處理，假設(shè)某商場(chǎng)對(duì)某種商品進(jìn)行訂貨，其中涉及到的成本有訂貨費(fèi)、自己倉(cāng)庫(kù)的存貯費(fèi)、租賃倉(cāng)庫(kù)的存貯費(fèi)以及出現(xiàn)缺貨時(shí)而減少銷(xiāo)售所造成的損失，且交貨時(shí)間使隨機(jī)的，存貯容量為有限值,在銷(xiāo)售過(guò)程中每當(dāng)存貯量降到時(shí)即開(kāi)始訂貨。我們將問(wèn)題分為三種情形，分別列出不同情形下?lián)p失費(fèi)用和之間的關(guān)系式，并利用求平均每天所損失費(fèi)用的期望最小值，給出使總損失費(fèi)用達(dá)到最低的訂貨點(diǎn)（最優(yōu)訂貨點(diǎn)）的數(shù)學(xué)模型,從而求得最優(yōu)的訂貨點(diǎn)。4.2 問(wèn)題二的分析本問(wèn)在問(wèn)題一建立模型的基礎(chǔ)上，對(duì)來(lái)自某大型超市的三種商品的真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，首先對(duì)給出的數(shù)

6、據(jù)交貨時(shí)間進(jìn)行處理，判斷其服從于哪種分布,并根據(jù)其分布特點(diǎn)求得的期望，將其代入問(wèn)題一建立的模型，分別計(jì)算出三種商品各自相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)訂貨點(diǎn)。4.3 問(wèn)題三的分析本問(wèn)要求多種商品同時(shí)訂貨的情況下，在考慮充分利用存貯體積的前提下，對(duì)模型進(jìn)行綜合分析，這是需要考慮各種商品體積之和不能大于倉(cāng)庫(kù)總?cè)莘e（自身倉(cāng)庫(kù)中商品的體積之和不能大于自身倉(cāng)庫(kù)容積；租借倉(cāng)庫(kù)中商品的體積之和不能大于租借倉(cāng)庫(kù)的容積）。且還要考慮各種商品的銷(xiāo)售速率不同對(duì)體積變化的影響，當(dāng)各種商品的體積之和降到L時(shí)，各種商品同時(shí)進(jìn)貨，即每一種商品到達(dá)訂貨點(diǎn)的時(shí)間相同。五、模型的建立和求解5.1 問(wèn)題一在問(wèn)題中，商品的銷(xiāo)售過(guò)程中商品需求是確定的，即

7、銷(xiāo)售速率是不變的，倉(cāng)庫(kù)的最大存貯量為固定值。每次進(jìn)貨的訂貨費(fèi)為常數(shù)，需要重點(diǎn)分析的是貨物的存貯費(fèi)和缺貨條件造成的損失費(fèi)。首先，根據(jù)具體問(wèn)題，定義銷(xiāo)售周期為從貨物最大存貯容量銷(xiāo)售至下一次貨物補(bǔ)充到存貯容量最大值之間的時(shí)間段。租賃其它倉(cāng)庫(kù)存貯量的銷(xiāo)售時(shí)間為；為銷(xiāo)售的最長(zhǎng)時(shí)間；為訂貨前的銷(xiāo)售時(shí)間，計(jì)算使對(duì)它們向下取整。考慮一個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)可能存在的不同情況大致有三種：情況一、整個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)銷(xiāo)售的商品均來(lái)自租賃的倉(cāng)庫(kù)，參數(shù)之間的關(guān)系為： 假設(shè)產(chǎn)生的平均每天的損失費(fèi)用為,且是關(guān)于變量和的函數(shù)。通過(guò)計(jì)算可得每天損失的費(fèi)用為：情況二、還未銷(xiāo)售完租借倉(cāng)庫(kù)的貨物就開(kāi)始訂貨，在銷(xiāo)售自己倉(cāng)庫(kù)的時(shí)候貨物到達(dá)，不出現(xiàn)缺貨

8、現(xiàn)象，此時(shí)參數(shù)的條件為： 通過(guò)計(jì)算得到：情況三、還未銷(xiāo)售完租借倉(cāng)庫(kù)的貨物就開(kāi)始訂貨，缺貨時(shí)貨物才到達(dá)。此時(shí)的參數(shù)條件為： 通過(guò)計(jì)算得到：情況四、在一個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)，先銷(xiāo)售租賃倉(cāng)庫(kù)里的貨物，再銷(xiāo)售自己倉(cāng)庫(kù)里的貨物時(shí)開(kāi)始訂貨，且不會(huì)出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象，此時(shí)的參數(shù)條件為： 通過(guò)計(jì)算可得：情況五、在一個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)，先銷(xiāo)售租賃倉(cāng)庫(kù)里的貨物，在銷(xiāo)售自己貨物的時(shí)候開(kāi)始訂貨，且出現(xiàn)了缺貨現(xiàn)象，參數(shù)關(guān)系為： 通過(guò)計(jì)算可得每天損失的費(fèi)用為：假設(shè)服從某一分布，且的數(shù)學(xué)期望表達(dá)式為,，將其代入上面五個(gè)損失費(fèi)用表達(dá)式，可以得到關(guān)于訂貨點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，令其對(duì)求導(dǎo)，可以得到的最小值，即為所求的最優(yōu)訂貨點(diǎn)。5.2 問(wèn)題二問(wèn)題二中，要

9、對(duì)利用問(wèn)題一所建立的模型對(duì)三組具體數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，計(jì)算相應(yīng)的最優(yōu)訂貨點(diǎn) ，以康師傅精裝巧碗香菇燉雞面為例，具體步驟如下：5.2.1商品一康師傅精裝巧碗香菇燉雞面的具體數(shù)據(jù)為：=12盒/天；=10元；=0.01元/盒.天；=0.02元/盒.天；=0.95元/盒.天；=40盒；=60盒。共有連續(xù)的36次訂貨后到達(dá)時(shí)間天數(shù)記錄如下：3 3 7 1 2 3 3 0 3 4 6 3 1 4 3 3 2 5 2 3 2 5 3 2 3 3 0 3 4 3 1 4 5 4 3 1。首先對(duì)訂貨到達(dá)的天數(shù)利用軟件SPSS進(jìn)行分析，判斷其分布類(lèi)型。并求出數(shù)學(xué)期望?？倲?shù)均值均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差中值標(biāo)準(zhǔn)差方差362.9722

10、0.253531.521022.313對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可以得知三個(gè)實(shí)際問(wèn)題中的交貨時(shí)間都服從泊松分布，可以看出“康師傅”的訂貨天數(shù)服從參數(shù)為2.97的泊松分布，所以它的數(shù)學(xué)期望。因?yàn)榈截浀奶鞌?shù)為整數(shù)，所以為2天，將數(shù)據(jù)帶入第一個(gè)問(wèn)題中的模型，得到相應(yīng)的值為,判斷得到的值是否滿(mǎn)足 的相互約束，如果不滿(mǎn)足則應(yīng)該舍棄值，并在中選取最小的即為最優(yōu)值。具體步驟如下，主要運(yùn)用maple軟件進(jìn)行分析，將本個(gè)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)帶入情況一的參數(shù)條件：對(duì)進(jìn)行求解可以發(fā)現(xiàn)無(wú)解，此情況舍去。將數(shù)據(jù)帶入情況二的參數(shù)中由于為整數(shù)，可以解得的取值范圍為。關(guān)于的函數(shù)為：利用maple進(jìn)行計(jì)算可得與的關(guān)系圖像如下：當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，為

11、2.82。即此時(shí)的損失費(fèi)用為2.82元每天。繼續(xù)將數(shù)據(jù)帶入到情況三，參數(shù)條件為：此時(shí)無(wú)解。將數(shù)據(jù)帶入情況四，參數(shù)條件為： 解得的取值范圍為。關(guān)于的函數(shù)為：利用maple計(jì)算計(jì)算可得與的關(guān)系圖像如下： 第四種情況下，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，為2.82。即此時(shí)的損失費(fèi)用為2.82元每天。將數(shù)據(jù)帶入到情況五，參數(shù)條件為：解得的取值范圍為。關(guān)于的函數(shù)為：利用maple計(jì)算計(jì)算可得與的關(guān)系圖像如下：有圖像可知當(dāng)為13到23時(shí)，的值最小，此時(shí)的為2.256。綜上可知，商品一的最優(yōu)訂貨點(diǎn)為，即當(dāng)康師傅精裝巧碗香菇燉雞面的庫(kù)存量降到13到23盒時(shí)，便開(kāi)始訂貨，此時(shí)損失的費(fèi)用最小。5.2.2 商品二對(duì)商品二心相印手帕紙

12、進(jìn)行分析同商品一，具體數(shù)據(jù)為=15盒/天；=10元；=0.03元/盒.天；=0.04元/盒.天；=1.50元/盒.天。共有連續(xù)的43次訂貨后到達(dá)天數(shù)記錄如下：4 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 4 3 2 3 2 2 4 2 3 4 3 3 2 3 2 3 2 2 1 3 2 5 3 2 4 2 2。利用SPSS軟件對(duì)到貨天數(shù)進(jìn)行分析可得到以下結(jié)果：總數(shù)均值均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差中值標(biāo)準(zhǔn)差方差432.53490.1303720.854930.731運(yùn)用maple軟件進(jìn)行分析，將本個(gè)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)帶入情況一的參數(shù)條件：解得的取值范圍為。關(guān)于的函數(shù)為：利用maple計(jì)算計(jì)算可得

13、與的關(guān)系圖像如下：由圖像可知的取值范圍為時(shí)，值恒定為6.3。將數(shù)據(jù)帶入情況二的參數(shù)中由于為整數(shù)，可以解得的取值范圍為。關(guān)于的函數(shù)為：利用maple進(jìn)行計(jì)算可得與的關(guān)系圖像如下：由圖表可知，到貨時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為，在進(jìn)行具體計(jì)算時(shí)對(duì)到貨時(shí)間向下進(jìn)行取整，可知，將數(shù)據(jù)帶入得到最優(yōu)訂貨點(diǎn)為39，即當(dāng)心相印手帕紙的庫(kù)存量為39時(shí)，開(kāi)始進(jìn)貨，此時(shí)損失費(fèi)用最小。5.2.3商品三商品三中匯香米的數(shù)據(jù)為=20袋/天；=10元；=0.06元/袋.天；=0.08元/袋.天；=1.25元/袋.天；=20袋；=40袋。共有連續(xù)的61次訂貨后到達(dá)天數(shù)記錄如下：3 4 4 2 3 3 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1

14、 1 1 1 1 2 2 5 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 2 5 6 3 4 3 1。利用SPSS軟件對(duì)到貨時(shí)間進(jìn)行分析可得：總數(shù)均值均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差中值標(biāo)準(zhǔn)差方差611.95080.1486321.160841.348由圖表可知，到貨時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為，在進(jìn)行具體計(jì)算時(shí)對(duì)到貨時(shí)間向下進(jìn)行取整，可知，將數(shù)據(jù)帶入得到最優(yōu)訂貨點(diǎn)為40，即當(dāng)中匯香米的庫(kù)存量為40時(shí)，開(kāi)始進(jìn)貨，此時(shí)損失費(fèi)用最小。綜合以上結(jié)果可知三種商品的最優(yōu)訂貨時(shí)間點(diǎn)位35,39,40。5.3 問(wèn)題三5.3.1 模型的建立 問(wèn)題三與問(wèn)題一有如下不同：(1) 商品為個(gè)，而問(wèn)題一的模型只有一個(gè)商品。(2)六、模型的評(píng)價(jià)與推廣模型的評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：1.本文從理論上介紹了隨機(jī)規(guī)劃的一般性表示形式和期望值模型。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)討論處理，使數(shù)據(jù)的可分析性大大提高，數(shù)學(xué)期望值的應(yīng)用提高了數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性，減少誤差。通過(guò)對(duì)所給出的一組隨機(jī)到貨天數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)期望值的估計(jì)，對(duì)數(shù)據(jù)蘊(yùn)藏信息作出科學(xué)、合理、貼切的評(píng)價(jià)。2.該模型充分考慮到實(shí)際情況中貯存費(fèi)的支付方式，每天的存貯費(fèi)用是在該天結(jié)束后支付的，取以天為單位的整數(shù)，符合實(shí)際情況。3.問(wèn)題三在要求多種商品同時(shí)訂貨的情況下，綜合考慮各個(gè)商品的銷(xiāo)售速率，體積變化