全等三角形證明方法

1、1、公共角5、同角或等角的補用（余角）6、等角加（減）等角4、等腰三角形全等三角形證明一、三角形全等的判定：1、三組對應邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）。2、有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）。3、有兩角及其夾邊而應相等的兩個三角形全等（ASA）。4、有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AAS）。5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）。二、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。全等三角形的周長、面積相等。全等三角形的對應邊上的高對應相等。J全等三角形的對應角的角平分線相等。,全等三角形的對應邊上的中線相

2、等。J三、找全等三角形的方法：/（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等;（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角影全等:（4）若上述方法，I亍，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形全等的證明中包含兩個要素：邊和角。缺個角的條件:/1J3、兩全等三角形的對應角相等人平行線8、等于同一角的兩個角相等缺條邊的條件:1、公共邊2、中點3、等量和10.等于同一線段的兩線段相等角平分線具有兩條性質(zhì)：角平分線具有對稱性；角平分線上的點到角兩邊的距離相等。關(guān)于角平分線常用的輔助線方法：(1)

3、截取構(gòu)全等/如下左圖所示，0C是NAOB的角平分線,工工上取一點E,使得OE=OF,并連接DE,則有AC等創(chuàng)造了條件。,為0C上一點，F(xiàn)為0B上一點，若在0A»EDAOFD,從而為我們證明線段、角相四、構(gòu)造輔助線的常用方法：1、關(guān)于角平分線的輔助線當題目的條件中出現(xiàn)角平分線時，要想到根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線。二K網(wǎng)：如上右圖所示，AB/CD,BE平分NBCD,CE平分NBCD,公提示：在BC上取點F使得BF=BA,連結(jié)EF。利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題分線0C上點D向角兩邊OA、0B作垂線，垂足為E、F,則有：DE=DF.AOEDAOFDoAAB網(wǎng)：如上右圖所

4、示，已知AB>AD,NBAC=/FAC,CD=BC©t>。如卜.左圖所示，過NAOB的平連接DE、DFo求證：ZADC+ZB=180（3）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形。如下左圖所示，從角的一邊0B上的一點E作角平分線0C的垂線EF,使之與角的另一邊0A相交，則截得一個等腰三角形（OEF）,垂足為底邊上的中點D,該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，從而得到一個等腰三角形，可總結(jié)為:等腰歸”0“延分垂,A0D,H是B求證:提示:Zl=Z2,CE1BD的延B如上右圖

5、所示，已知NBAD=1DH（AB-AC2延長CDA/E三角形。CD±題可證晅：己知，如圖,長線一一提示：延長E父BA的延長/）（4）作平行線構(gòu)造等腰三角形作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況：如卜.左圖所示，過角平分線0C上的一點E作角的一邊0A的平行線DE,從而構(gòu)造等腰三角形0DE。如卜.右圖所示，通過角一邊0B上的點D作角平分線0C的平行線DH與另外一邊A0的反向延長線相交于點H,從而構(gòu)造等腰三角形0DH。2、由線段和差想到的輔助線（1）遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩卜部分等于另一條；補短：將一

6、條短線段延長，延長部分等;另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。截長補短法作輔助線。（）在口：中，AD平分NBAC,NACB=2NB】求證：AB=AC+CD.（2）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，：差小于第三邊，故可想辦法放在i個三系線段之和大于第三邊、之角形、一一在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如宜接三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的2個或幾個三角形中,例1：已知如圖1-1：D.為:出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。C內(nèi)兩點，求證AB+AOBD+DE+CE（法1）證明：將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,在AMN中，AM+AN、>MD+DE+NE,(1)在&q

7、uot;DM中，MB+MD>BD；(2)在ACEN中，CN+NEACEH3)E圖1-1由(1)+(2)+(3)得:am+an+mb+md+cn+ne>md+de+ne+bd+ce，ab+ac>bd+de+ec（法2）如圖1-2,延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,在AABF和4GFC和AGDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：ab+af+gf+fc+dg+ge>bd+dg+gf+ge+ce+deAB+AC>BD+DE

8、+EC。（3）在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置匕再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為內(nèi)的任一點，求.ZBDOZBACo分析：因為NBDC與NBAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/BDC處于在外角的位置，/BAC處于在內(nèi)角的位置：證法一：延長BD交AC于點E,這時NBDC是的外角，、AAZBDOZDEC,同理NDEONBAC,ABDOZBAC證法二：連接AD,并延長交BC于FZBDF是ABD的外角AZBDF>ZBA

9、D,同理，ZCDF>ZCAD:.ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD.二即：ZBDOZBACo注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時,放在這個三角形的內(nèi)角位置匕再利用不等二，1，B/FC圖2-1通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角弋性質(zhì)是。>3、由中點想到的軸助線在三角形中，如果已知一點是三角形:iE邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（等腰彳法。（1）中線把原三角形分成兩個而即如圖1,AD是AABC的中線,三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方枳相等的小三角形則SaabdaacdWSaabc（因為AABD與AACD是等底同/

10、BDHCffi1例1、如圖2,AABC中，AD是中線，延長AD到E,使已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積。（2）倍長中線已知中點、中線問題應想到倍長中線，由中線的性質(zhì)可知,6夕，圖2DE=AD,DF是ADCE的中線。AE一條中線將中點所在的線段平分，可得到一組等邊，通過倍長中線又可得到一組等邊及對頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長AD到E,使得AD=AE,連結(jié)BE。BD4、驗證中點、中1?BE平行AC交D上豉取BD.在AC延長線上截取CE,且例2、如圖5,已知dABC中，AD是NBAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：AABC是等腰三角形。延長線于E。A中,F.例3.如

11、圖使CE=BD.連接DE圖，過CB圖34、其他輔助線做法(1)延長已知邊構(gòu)造三角形在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段(邊)相交，構(gòu)成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決.例4.如圖4,在AABC中，AC=BC,NB=90。，BD為NABC的平分線.若A點到直線BD的距離AD為a,求BE的長.A2、連接四邊形的勺角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成例如：如圖8-1：ABCD,AD/7BC求證：AB=C分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關(guān)知識，工J/Ew/c圖7-1產(chǎn)丫不須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。二0BC例如：如圖7-1：已知AC=BD,ADLAC于A,BC_LBD于B,求證：AD=BC分析：欲證AD=BC,先證分別含有AD,BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與4BCD,AAOD4AB0C.AABD與BAC,但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。3、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點，且AB=DC,AC=BD,求證：NA=ND。分析：要證NA=ND,可證它們所在的三角形ABQ和DCO全等，而只有AB=DC和對頂角兩個條件，差一個條件一難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC,AC=BD,若連接BC,則ABC