全等三角形證明方法

1、1、公共角5、同角或等角的補用（余角）6、等角加（減）等角4、等腰三角形全等三角形證明一、三角形全等的判定：1、三組對應邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）。2、有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）。3、有兩角及其夾邊而應相等的兩個三角形全等（ASA）。4、有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AAS）。5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）。二、全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。全等三角形的周長、面積相等。全等三角形的對應邊上的高對應相等。J全等三角形的對應角的角平分線相等。,全等三角形的對應邊上的中線相

2、等。J三、找全等三角形的方法：/（1）可以從結論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等;（3）從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角影全等:（4）若上述方法，I亍，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形全等的證明中包含兩個要素：邊和角。缺個角的條件:/1J3、兩全等三角形的對應角相等人平行線8、等于同一角的兩個角相等缺條邊的條件:1、公共邊2、中點3、等量和10.等于同一線段的兩線段相等角平分線具有兩條性質：角平分線具有對稱性；角平分線上的點到角兩邊的距離相等。關于角平分線常用的輔助線方法：(1)

3、截取構全等/如下左圖所示，0C是NAOB的角平分線,工工上取一點E,使得OE=OF,并連接DE,則有AC等創(chuàng)造了條件。,為0C上一點，F(xiàn)為0B上一點，若在0A»EDAOFD,從而為我們證明線段、角相四、構造輔助線的常用方法：1、關于角平分線的輔助線當題目的條件中出現(xiàn)角平分線時，要想到根據(jù)角平分線的性質構造輔助線。二K網(wǎng)：如上右圖所示，AB/CD,BE平分NBCD,CE平分NBCD,公提示：在BC上取點F使得BF=BA,連結EF。利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題分線0C上點D向角兩邊OA、0B作垂線，垂足為E、F,則有：DE=DF.AOEDAOFDoAAB網(wǎng)：如上右圖所

4、示，已知AB>AD,NBAC=/FAC,CD=BC©t>。如卜.左圖所示，過NAOB的平連接DE、DFo求證：ZADC+ZB=180（3）：作角平分線的垂線構造等腰三角形。如下左圖所示，從角的一邊0B上的一點E作角平分線0C的垂線EF,使之與角的另一邊0A相交，則截得一個等腰三角形（OEF）,垂足為底邊上的中點D,該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，從而得到一個等腰三角形，可總結為:等腰歸”0“延分垂,A0D,H是B求證:提示:Zl=Z2,CE1BD的延B如上右圖

5、所示，已知NBAD=1DH（AB-AC2延長CDA/E三角形。CD±題可證晅：己知，如圖,長線一一提示：延長E父BA的延長/）（4）作平行線構造等腰三角形作平行線構造等腰三角形分為以下兩種情況：如卜.左圖所示，過角平分線0C上的一點E作角的一邊0A的平行線DE,從而構造等腰三角形0DE。如卜.右圖所示，通過角一邊0B上的點D作角平分線0C的平行線DH與另外一邊A0的反向延長線相交于點H,從而構造等腰三角形0DH。2、由線段和差想到的輔助線（1）遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩卜部分等于另一條；補短：將一

6、條短線段延長，延長部分等;另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。截長補短法作輔助線。（）在口：中，AD平分NBAC,NACB=2NB】求證：AB=AC+CD.（2）對于證明有關線段和差的不等式，：差小于第三邊，故可想辦法放在i個三系線段之和大于第三邊、之角形、一一在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如宜接三角形，使結論中出現(xiàn)的2個或幾個三角形中,例1：已知如圖1-1：D.為:出來，可連接兩點或廷長某邊構成運用三角形三邊的不等關系證明。C內兩點，求證AB+AOBD+DE+CE（法1）證明：將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,在AMN中，AM+AN、>MD+DE+NE,(1)在&q

7、uot;DM中，MB+MD>BD；(2)在ACEN中，CN+NEACEH3)E圖1-1由(1)+(2)+(3)得:am+an+mb+md+cn+ne>md+de+ne+bd+ce，ab+ac>bd+de+ec（法2）如圖1-2,延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,在AABF和4GFC和AGDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：ab+af+gf+fc+dg+ge>bd+dg+gf+ge+ce+deAB+AC>BD+DE

8、+EC。（3）在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置匕再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為內的任一點，求.ZBDOZBACo分析：因為NBDC與NBAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使/BDC處于在外角的位置，/BAC處于在內角的位置：證法一：延長BD交AC于點E,這時NBDC是的外角，、AAZBDOZDEC,同理NDEONBAC,ABDOZBAC證法二：連接AD,并延長交BC于FZBDF是ABD的外角AZBDF>ZBA

9、D,同理，ZCDF>ZCAD:.ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD.二即：ZBDOZBACo注意：利用三角形外角定理證明不等關系時,放在這個三角形的內角位置匕再利用不等二，1，B/FC圖2-1通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角弋性質是。>3、由中點想到的軸助線在三角形中，如果已知一點是三角形:iE邊上的中點，那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長中線及其相關性質（等腰彳法。（1）中線把原三角形分成兩個而即如圖1,AD是AABC的中線,三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方枳相等的小三角形則SaabdaacdWSaabc（因為AABD與AACD是等底同/

10、BDHCffi1例1、如圖2,AABC中，AD是中線，延長AD到E,使已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積。（2）倍長中線已知中點、中線問題應想到倍長中線，由中線的性質可知,6夕，圖2DE=AD,DF是ADCE的中線。AE一條中線將中點所在的線段平分，可得到一組等邊，通過倍長中線又可得到一組等邊及對頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長AD到E,使得AD=AE,連結BE。BD4、驗證中點、中1?BE平行AC交D上豉取BD.在AC延長線上截取CE,且例2、如圖5,已知dABC中，AD是NBAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：AABC是等腰三角形。延長線于E。A中,F.例3.如

11、圖使CE=BD.連接DE圖，過CB圖34、其他輔助線做法(1)延長已知邊構造三角形在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段(邊)相交，構成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關系，有助于問題的解決.例4.如圖4,在AABC中，AC=BC,NB=90。，BD為NABC的平分線.若A點到直線BD的距離AD為a,求BE的長.A2、連接四邊形的勺角線，把四邊形的問題轉化成例如：如圖8-1：ABCD,AD/7BC求證：AB=C分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關知識，工J/Ew/c圖7-1產丫不須把它轉化為三角形來解決。二0BC例如：如圖7-1：已知AC=BD,ADLAC于A,BC_LBD于B,求證：AD=BC分析：欲證AD=BC,先證分別含有AD,BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與4BCD,AAOD4AB0C.AABD與BAC,但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。3、連接已知點，構造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點，且AB=DC,AC=BD,求證：NA=ND。分析：要證NA=ND,可證它們所在的三角形ABQ和DCO全等，而只有AB=DC和對頂角兩個條件，差一個條件一難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC,AC=BD,若連接BC,則ABC