11銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)1

1、第一章 直角三角形的邊角關(guān)系銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)） 溫麗萍 教學(xué)目標(biāo)：1. 經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系. 2.能夠用表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度（坡比）等. 3.能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.過(guò)程與方法： 1.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題. 2.體會(huì)解決問(wèn)題的策略的多樣性，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀(guān)能力和符號(hào)感，發(fā)展學(xué)生觀(guān)察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn)：理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn)：理解正切的意義，并用它來(lái)表示兩邊的比.教學(xué)過(guò)程

2、:第一環(huán)節(jié) 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境活動(dòng)內(nèi)容1：介紹世界文化遺產(chǎn)意大利比薩斜塔，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣我們都知道世界著名的建筑意大利比薩斜塔.但你知道比薩斜塔是如何傾斜的和傾斜角度是多少嗎?如下圖，小明說(shuō)，只要測(cè)得垂直中心線(xiàn)、塔身中心線(xiàn)的長(zhǎng)度及塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線(xiàn)的距離這三個(gè)數(shù)據(jù)中的任意兩個(gè)，他就可以計(jì)算出塔身傾斜角的大小.你想知道小明是如何做的嗎？那么，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)吧.通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，你就會(huì)明白小明這樣做的道理.讓學(xué)生初步從實(shí)際問(wèn)題中去體會(huì)直角三角形的邊角之間存在一定的關(guān)系，并通過(guò)這個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生留意身邊的數(shù)學(xué)；初步感受到傾斜程度在生活中的隨處可見(jiàn)，并可以用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述.學(xué)生對(duì)小明的方法感到好奇，生

3、動(dòng)的課堂引入激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望.并能初步感受到傾斜程度是可以用數(shù)學(xué)方法來(lái)描述的.觀(guān)察梯子的傾斜程度由活動(dòng)1知道，傾斜的物體在生活中隨處可見(jiàn)，那我們?cè)撊绾闻袛辔矬w的傾斜程度呢？大家都會(huì)用“陡峭”或“平緩”來(lái)描述.1.圖11和圖12中，這里擺放的兩個(gè)梯子，你能辨別出那一個(gè)比較陡一些圖11圖12嗎？你是如何判斷的？ 2.圖13中，這里擺放的兩個(gè)梯子，你能辨別出那一個(gè)比較陡一些嗎？你又是如何判斷的？圖13表1對(duì)于圖13，學(xué)生可能難于下手，這時(shí)老師可以借助幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生比較對(duì)邊與鄰邊的比值，即比較表一中的與大小，當(dāng)、時(shí)，借助幾何畫(huà)板直觀(guān)的驗(yàn)證梯子的傾斜程度，以突破學(xué)生認(rèn)識(shí)上的障礙.（

4、為了方便研究，表格中的數(shù)據(jù)精確到十分位）先讓學(xué)生從圖1-1和圖1-2中直觀(guān)感受梯子的傾斜程度，再讓學(xué)生理性思考該如何尋找方法判斷圖1-3中梯子的傾斜程度.這樣學(xué)生會(huì)感到知識(shí)上的匱乏，從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.讓他們從實(shí)例中體會(huì)不同情況下比較梯子的傾斜程度只靠直觀(guān)感受是不夠的，還需要其他方法用邊的比進(jìn)行比較.學(xué)生可以很快用不同的方法從圖11和圖12中分辨出哪個(gè)梯子更陡.但對(duì)于圖13，學(xué)生則普遍感到有一定難度.教師通過(guò)運(yùn)用幾何畫(huà)板的演示活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生比較對(duì)邊與鄰邊的比，來(lái)比較梯子的傾斜程度.學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這是個(gè)新的知識(shí)，需要利用這個(gè)新的知識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)梯子的傾斜程度，這為引入本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)正切值埋下了伏

5、筆. 第二環(huán)節(jié) 探求新知在小明家的墻角處放有一架較長(zhǎng)的梯子，墻很高，又沒(méi)有足夠長(zhǎng)的尺來(lái)測(cè)量，你有什么巧妙的方法得到梯子的傾斜程度呢？圖14如圖1-4，小明想通過(guò)測(cè)量及，算出它們的比，來(lái)說(shuō)明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為通過(guò)測(cè)量及 ，算出它們的比，也能說(shuō)明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎？（1）和有什么關(guān)系？（2）和有什么關(guān)系？（3）如果改變?cè)谔葑由系奈恢媚兀?由此你得出什么結(jié)論？通過(guò)對(duì)前面問(wèn)題的討論，學(xué)生已經(jīng)知道可以用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊之比來(lái)刻畫(huà)梯子的傾斜程度.這個(gè)活動(dòng)旨在說(shuō)明，當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定.這一比值只與傾斜角度有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān).學(xué)生能借助三角形相似

6、的知識(shí)理解兩個(gè)比的關(guān)系，通過(guò)簡(jiǎn)單推理獲得結(jié)論：，并能發(fā)現(xiàn)如果改變?cè)谔葑由系奈恢?，仍?能理解這個(gè)關(guān)系之所以不變，是由于銳角不變的原因，為學(xué)生理解下面的知識(shí)：用對(duì)邊與鄰邊的比來(lái)定義正切，奠定了基礎(chǔ). 結(jié)合活動(dòng)內(nèi)容1，請(qǐng)同學(xué)們思考：既然直角三角形中，一個(gè)銳角一旦確定，它的對(duì)邊與鄰邊的比也隨之確定.那么這個(gè)確定的比我們能不能用一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示呢？我們把這個(gè)確定的比叫做一個(gè)銳角的正切.如圖15，我們把的對(duì)邊與的鄰邊的比，叫做的正切（tangent），記作. 圖15的鄰邊的對(duì)邊對(duì)于正切的定義，同學(xué)們必須明確以下幾點(diǎn)：1. 中常省略角的符號(hào)“”.用希臘字母表示角時(shí)也可省略如：、等.但用三個(gè)字母表示角和用

7、阿拉伯?dāng)?shù)字表示角時(shí)，不能省略角的符號(hào)“”，要寫(xiě)成或、等；2、沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值；3、是一個(gè)完的整數(shù)學(xué)符號(hào)，不可分割，不表示“”乘以“”；4、一個(gè)角的正切是在直角三角形中定義的，因此，只能在直角三角形中適用； 梯子的傾斜程度與的值有關(guān)嗎？的值越大，梯子越陡通過(guò)對(duì)直角三角形中邊角關(guān)系的探索，合理的引出正切的定義；通過(guò)對(duì)定義的辨析，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感；通過(guò)探究梯子的傾斜程度與的值的關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；進(jìn)一步體會(huì)正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.通過(guò)觀(guān)察、探索梯子的傾斜程度自然的引出了正切的定義，能理解規(guī)定的合理性，經(jīng)歷了由形到數(shù)的過(guò)程；通過(guò)探索結(jié)論“的值越大，梯子越陡”體驗(yàn)了由數(shù)到形的過(guò)程

8、，體會(huì)到利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法.第三環(huán)節(jié) 應(yīng)用與拓展例題1：圖16表示甲、乙兩個(gè)手扶電梯，哪個(gè)手扶電梯比較陡？圖16 通過(guò)計(jì)算正切值判斷梯子的傾斜程度，這是對(duì)第二環(huán)節(jié)中得出結(jié)論的直接運(yùn)用，旨在鞏固正切的定義以及發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力圖17學(xué)生經(jīng)歷了觀(guān)察、探索等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展了合情推理的能力，并都能通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得出結(jié)論，而且能有條理、清晰地闡述自己的觀(guān)點(diǎn).認(rèn)識(shí)坡角、坡度（坡比）坡角：坡面與水平面的夾角；坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度與水平寬度的比，因此坡度（坡比）就是坡角的正切. 如

9、圖17，有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100米就升高60，那么山坡的坡角是，坡度（坡比）就是：認(rèn)識(shí)坡角、坡度（坡比），理解坡度（坡比）其實(shí)質(zhì)就是坡角的正切.體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系.通過(guò)工程學(xué)上的例子，學(xué)生能理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)聯(lián)第，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).第四環(huán)節(jié) 變式練習(xí)1、如圖18，在中，若，則= ； 2、如圖19，在中，則 ； 圖18圖193、如圖110,某人從山腳下的點(diǎn)走了200m后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn).已知山頂?shù)缴侥_下的垂直距離是55m.求山坡的坡度(結(jié)果精確到0.001m).圖110為學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題提供資源，并將進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法.讓學(xué)生嘗試用正切表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，學(xué)會(huì)運(yùn)用正切的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.以上3個(gè)例題都是基礎(chǔ)題，其中第2題學(xué)生需要添加簡(jiǎn)單的輔助線(xiàn)，加深了學(xué)生對(duì)正切的理解，體會(huì)到正切是在直角三角形中定義的，因此使用的前提必須是在直角三角形中使用.第五環(huán)節(jié) 課堂小結(jié)師生互相交流總結(jié)本堂課所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)和體會(huì)