函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別.

1、河南師范大學新聯(lián)學院本科畢業(yè)論文學號： 0901174099專業(yè)名稱：數(shù)學與應用數(shù)學年級班別：2009級 1 班姓 名：張慶明指導教師：左紅亮2013 年 04 月河南師范大學新聯(lián)學院本科畢業(yè)論文函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別摘 要： 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是函數(shù)級數(shù)概念當中最基本最重要的問題。本文則在數(shù)項級數(shù)的基礎上, 分析函數(shù)項級數(shù)的收斂性定義及其判定, 函數(shù)項級數(shù)的分析性質(zhì)和函數(shù)的一致收斂有關。而因此本論文中提出了函數(shù)級數(shù)一致收斂的定義 , 柯西一致收斂準則, 魏爾斯特拉斯判別法(M 判別法 ), 狄利克雷判別法,阿貝爾判別法, 余項判別法, 積分判別法。本文對函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法進行推

2、廣, 主要歸納總結出了對數(shù)判別法, 導數(shù)判別法, 連續(xù)性判別法, 逼斂性判別法以及M判別法的推論等幾種判別法, 同時并應用函數(shù)項級數(shù)一致斂的定義,重要判別法及其充要條件給出了論文中一些結論的證明。關鍵詞 ：函數(shù)項級數(shù)；一致收斂性；判別法。Discrimination of uniform convergence of function seriesAbstract: The uniform convergence of function series is the concept of series of functions are the most basic and most import

3、ant problem. In this paper, on the basis of a number of series, the definitions of convergence of function series and its decision, uniform convergence analysis of properties and functions related to the function of series. Therefore, this paper proposes a definition of uniform convergence of functi

4、on series, Cauchy uniform convergence criteria the Weierstrass discrimination method (M identification method), Dirichlet discrimination law, Abel discriminant law, the remainder discriminant method, integration criterion method and article on the function series convergence discriminant method to p

5、romote mainly summarized Diagnostic Method derivative test, continuity discrimination law, forcing several discriminant method of convergence discrimination law and M inference of discrimination law, and apply function series consistent definitionofconvergence, it is important discrimination method

6、and the necessary and sufficient conditions are given some proof of the conclusion of the paper.Keywords : Function Series; uniform convergence; discrimination law.前言一致收斂性是函數(shù)項級數(shù)的一個重要性質(zhì), 有效地判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂對進一步研究函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)起著重要的作用。判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂時，通常用到柯西準則,M-判別法，阿貝爾判別法，狄利克雷判別法，萊布尼茲判別法或者直接根據(jù)一致收斂的定義進行判別。而本文在給出這些

7、判別法的同時并對函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義，柯西判別法，M-判別法，阿貝爾判別法，萊布尼茲判別法加以補充和推廣，從而給判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂提供了方便。函數(shù)項級數(shù)既可以被看作是對數(shù)項級數(shù)的推廣, 同時數(shù)項級數(shù)也可以看作是函數(shù)項級數(shù)的一個特例, 它們在研究內(nèi)容上有許多相似之處。對于函數(shù)項級數(shù), 我們不僅要討論它在哪些點上收斂, 而且更重要的是要研究和函數(shù)所具有的解析性質(zhì). 比如能否由函數(shù)項級數(shù)的每項連續(xù)、可積、可微, 判斷出和函數(shù)的連續(xù)性、可積性和可微性。這些都要對函數(shù)項級數(shù)的收斂性提出更高的要求。即函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。文獻 1 討論了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的基本判別法, 給出了一致收斂的定義和萊

8、布尼茨判別法; 文獻 678 給出了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的重要判別法 , 如阿貝爾、狄利克雷以及積分判別法; 文獻 53 給出了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的兩個充要條件: 柯西準則, 余項定理 , 并用上述方法判別一致收斂以及證明其它的一些定理; 文獻 10 對該問題進行了推廣, 得到了比試和根式判別法,同時也有其它一些文獻, 得到了一些其它的結論。本文結合上述文獻, 總結出了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的其它判別法, 如對數(shù)判別法, 導數(shù)判別法, M 判別法的推論等 , 并給出了一些判別法的證明, 此外也用一些例題驗證它的可行性。1. 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義定義 1 1 設 un (x)是定義在數(shù)集上的一個函

9、數(shù)列, 表達式u1(x) u2(x) u3(x)un(x) x E ,(1)稱為定義在定義域上的函數(shù)項級數(shù), 簡記為un(x)或 un(x)。稱n1nSn (x)uk (x) , x E n 1,2,3,(2)k1為函數(shù)項級數(shù)(1) 的部分和函數(shù)列。若x0E , 數(shù)項級數(shù)u1(x) u2(x) u3(x)un(x)x E ,(3)4河南師范大學新聯(lián)學院本科畢業(yè)論文n收斂 , 即部分和Sn(x0)uk(x0)當 n 時極限存在, 則稱級數(shù)(1) 在點x0收斂,k1x0稱為(1) 的收斂點。若級數(shù)(3) 發(fā)散，則稱級數(shù)(1) 在點x0發(fā)散。若級數(shù)(1) 在上的某個子集上的每個點都收斂, 則稱級數(shù)(

10、1) 在上收斂, 并且稱 (1) 的收斂域為 , 級數(shù) (1) 在上的每一點x與其所對應的數(shù)項級數(shù)(3) 的和 S(x)構成一個定義在上的函數(shù), 稱為 (1) 的和函數(shù) , 并寫作u1(x) u2(x)un(x)S(x),x D ,即lim Sn(x) S(x), x D , n也就是說，函數(shù)項級數(shù)(1) 的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列(2) 的收斂性。定義 21 設Sn(x) 是函數(shù)項級數(shù)un(x)的部分和數(shù)列。若Sn(x) 在數(shù)集上一致收斂于函數(shù)S(x) , 則稱函數(shù)項級數(shù)un (x) 在上一致收斂于S(x) , 或稱un(x)在上一致收斂。由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和數(shù)列來確

11、定, 所以可以根據(jù)函數(shù)列一致收斂性定義得到等價定義。定義 31 設函數(shù)項級數(shù)un(x)在上和函數(shù)為S(x) , 稱Rn(x) S(x) Sn(x) ,為函數(shù)項un(x)的余項。2. 函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的基本判別法2.1 M 判別法定理 1 2 (M判別法) 設函數(shù)項級數(shù)un(x)定義在數(shù)集上, Mn為收斂的 正 項 級 數(shù) , 若 對 一 切 x D , 有 | un(x) | Mn , n 1,2, 則 函 數(shù) 項 級 數(shù)un(x)在上一致收斂。證明： 由假設正項級數(shù)M n 收斂 , 根據(jù)數(shù)項級數(shù)的柯西準則, 任給正數(shù),存在某正整數(shù)N , 使得當 n N 及任何正整數(shù)p , 有Mn1 .

12、Mn p Mn1 Mn p ,所以對一切x D 有根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則，級數(shù)un(x)在上一致收斂。例1證明函數(shù)項級數(shù)nx5 2 ， x , 一致收斂。n11 nx收斂，由證明：1 n5x252n2 x 可知對任意x, 有nx521 nx132n 2113 n12n22.2 萊布尼茨判別法nxM-判別法知nx5 2 在 ,n 1 1 n5x2上一致收斂。定理 2 1 若交錯級數(shù)u1 u u u 1 n 1 un un0，n=1,2, 滿足下述兩個條件：1 數(shù)列un 單調(diào)遞減；2 lim un 0，則交錯級數(shù)收斂。n例 2 試證 ( 1)n3 在區(qū)間 a,b 上一致收斂。n1n x證

13、明： 11 3 是任意閉區(qū)間a, b 的連續(xù)函數(shù)列, 且 x a,b 有nx0 un 1(x) un(x) , lnim un(x) 0 , 函數(shù)項級數(shù)( 1)n在區(qū)間 a, b 上一致收斂。26解 ： 顯然 S x 0,x,因為Sn x S x1 2n x22221 n x 2n 1 n x12nN 時，Sn x S x12n證明 () 已知函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間D 一致收斂于S(x),n10, N N , n N, x D 有| S(x) Sn(x) |從而sup|S(x) Sn(x) |,xDlimsup | S(x) Sn(x) | 0, n xD() 已知limsup | S(x

14、) Sn(x) | 0, n xD0, N N , n N, x D 有sup|S(x) Sn(x) |,xD所以 x D 有 |S(x) Sn(x)|. 即級數(shù)un(x)在區(qū)間D上一致收斂于S xn1例 4 討論函數(shù)項級數(shù)xn 1 x 2,x 0,1 的一致收斂性。n12nn k 22 n k1 x1 x 1 x解 ： 設 Sn x x 1 x x 1 x xk1k11 xx 1 x 1 xn 1 xnn N而 ， S x ln i mn S x x 0， , 1S xSn x 1 x xn 1 。解 1 x xn 1 xn n 1 n 2 x 0 ， 得 xn1n2易知，該點為函數(shù)xn 1

15、 1 x 在 0,1 上的最大值點。于是：sup S x Sn xn1n1 1nn2 n211 n1n 2n10n故原級數(shù)在0,1 上一致收斂。推論 14Sn(x) 是函數(shù)項級數(shù)un(x)的部分和函數(shù)列, 和函數(shù) S(x) , 都是定義在同一數(shù)集上, 對于任意的n, 存在數(shù)列an (an 0) , 使得對 x D ,有 | Rn(x)| | S(x) Sn(x)| an , 且 lim an 0 , 則稱函數(shù)列Sn(x) 一致收斂于S(x) ,n即函數(shù)項級數(shù)un(x)在上一致收斂于函數(shù)S(x) 。證明：因 lim an 0 , 故對任給的0 , N N ( 與x無關), 使得當nn N 時 ,

16、 對一切 x D, 都有|Rn(x)| |S(x) Sn(x)| an。由定義2 得函數(shù)列Sn(x) 一致收斂于S(x) , 即函數(shù)項級數(shù)un(x)在上一致收斂于S(x) 。注 用放大法判定函數(shù)項級數(shù)un(x)一致收斂性時, 需要知道S(x)。2.5 柯西準則定理 45 ( 一致收斂的cauchy 準則 ) 函數(shù)項級數(shù)un(x)在數(shù)集上一致收斂 的 充 要 條 件 為 ： 任 給 >0。 存 在 N N ， 當 n N 時 , 對 一 切p N 及一切 x D ， 都有un 1 (x) un 2(x)un p (x) 成立。證明：( 必要性 ) 設 un(x)在上一致收斂, 于是有Sn(

17、x)D S(x), 根據(jù)定義 , 對任意的0, 存在正整數(shù)N1, 只要 n N1 , 對一切 x D 和任意正整數(shù)p有|Sn p(x) S(x) |2 ,因此只要n N2 , 對一切 x D 有| Sn(x) S(x) |2 ,所以 , 對存在正整數(shù)Nmax(N1, N2) , 只要 n N , 對一切 x D 和任意正整數(shù)p有|Snp(x) Sn(x)| |Snp(x) S(x)| |Sn(x)S(x)|,必要性得證。( 充分性 ) 設對任意的0 , 存在正整數(shù)N ,只要 nN , 對一切 x D 和任意正整數(shù) p有|Sn p(x) Sn(x)|,所以對一切n N 和一切任意正整數(shù)p , 令

18、 p , 可得 , 只要 n N , 對一切x D有| Sn(x) S(x) |,所以函數(shù)項級數(shù)un(x)在數(shù)集上一致收斂, 充分性得證。推論 2 若un(x)在上一致收斂，則un x 0 n ;x D 。例5：設n N ， un x 在 a,b 連續(xù)且un x 在 a,b 內(nèi)一致收斂，且由n1un a 與un b 均收斂，證明un x 在 a, b 上一致收斂。n1n1n1證 明 ： 由un x在 a,b 內(nèi) 一 致 收 斂 及un a un b 均 收 斂 ， 知n1n1n10, N N , n N , p N , x a,b ，同時有un 1xun2xunpxun 1aun2aun pa

19、un 1bun2bun pb因而 x a,b ，有un 1 x un 2 xun p x故 un x 在 a, b 一致收斂。n13. 關于函數(shù)項級數(shù)一致收斂的三個重要判別法3.1 阿貝爾判別法定理 56 (Able 判別法 ) 定義在區(qū)間I 上的函數(shù)項級數(shù)un(x)vn(x) u1(x)v1(x) u2(x)v2(x)un(x)vn (x)(4)(1) un (x)在區(qū)間I 上一致收斂；(2) 對于每一個x I ,vn (x)是單調(diào)的；(3) vn(x) 在 I 上一致有界, 即對一切x I 和正整數(shù)n , 存在正數(shù)M , 使得vn (x)M , 則級數(shù) (4) 在 I 上一致收斂。n例 6

20、 證明函數(shù)項級數(shù)x x2 nn 在 x 0,1 上一致收斂。n1 nxxn解 ： 設un x 2 ,vn x 1, x 0,1 , n N 。nn根據(jù)優(yōu)級數(shù)判別法，易知x2在0,1 上一致收斂。n1nx 0,1 ,數(shù)列vn x 單調(diào)增加，且vn x ex e, x 0,1 ,n N 。由阿貝爾判別法，知原級數(shù)在0,1 上一致收斂。例 7 設an 收斂，則anxn 在 0,1 上一致收斂。n1n1證明：an 是數(shù)項級數(shù)，它的收斂性就意味著關于x的一致收斂性。而xnn1關于 n 單調(diào)， 且xn1,x0,1 ， 對一切 n 成立。 由阿貝爾判別法可知級數(shù)anxnn1在 0,1 上一致收斂。特別地，比

21、如1 xn 在 0,1 上是一致收斂的。n1 n3.2 狄利克雷判別法定理 67 (Dirchlet 判別法 ) 設n(1) un (x)的部分和函數(shù)列Un(x) uk(x) ( n 1,2, )在 I 上一致有界；k1(2) 對于每一個x I,vn(x)是單調(diào)的；(3) 在 I 上vn x 0( n );則級數(shù) (4) 在 I 上一致收斂。證明： 由 (1) 正數(shù) M , 對一切 x I , 有|Un(x)| M ,因此當有任何正整數(shù)n, p時|un1(x) un 2(x)un p(x)| |Un p(x) Un(x)| 2M ,對任何一個x I , 再由 (2) 及 Abel 引理 , 得

22、到|vn1(x) vn 2(x)vn p(x)| 2M(|vn 1(x)| 2|vn p(x)|),再由 (3) 對 0, N 0, 當 n N 時 , 對一切 x I , 有 | vn (x) |, 所以|un 1(x)vn 1(x)un p(x)vn p(x) | 2M (2 ) 6M ,于是由一致收斂的Cauchy準則知級數(shù)(4) 在 I 上一致收斂。1n例 8 試判別1 ,x (, ) 的一致收斂性。n 1 n cosx 2 2解 : x 0,2 ,有 :2sin x coskx sin 2x sin 3x sin x sin 4x sin 2x sin n 1 x sin n 2 x

23、 k1sin x sin n 1 x sin n 1 x 3sin xcoskx的部分和函數(shù)列在0,2 上一致有界。k1又對 x 0,2 ,1 單調(diào)減少且1nx1, lim 0，nn于是 1 在 0,2 上一致收斂于零。nx根據(jù) Dirchlet 判別法知，原級數(shù)在0,2 上一致收斂。2例 9 在 a, b 上，級數(shù)1 n x 2 n 是一致收斂的。n1n證明 ： 首先，1 n 的部分和函數(shù)列在a,b 上是一致有界的。其次，對每n12n2一個 x a,b ,x 2 n 關于 n 是單調(diào)遞減的，且有x 2n M 2 n 0 n ，nnnM max a , b 。于是根據(jù)Dirichlet 判別法

24、，即得所證。3.3 積分判別法定 理 7 8 設 f x, y 為 區(qū) 域 R (x, y) |x D , 1 y 上 的 非 負 函 數(shù) ,un(x)是定義在數(shù)集上正的函數(shù)項級數(shù), 且un(x) f(x,n) 為非負函數(shù), 如果f(x,y)在 1,) 上關于 y為單調(diào)減函數(shù), 若含參變量反常積分1 f(x,y)dy在數(shù)集上一致收斂,un(x)在數(shù)集上一致收斂。證明 : 由 f (x,y)dy在數(shù)集上一致收斂, 對 0 , N N , 當 n N, 對一切自然數(shù)p 和一切 x D , 有npn f(x,y)dy ,由np|un 1(x) un 2(x)un p(x) | n f (x, y)d

25、y ,所以un(x)在數(shù)集上一致收斂。例 10 討論 P 級數(shù) 1 的斂散性。 n1np1dx解 ： 函數(shù) f x1p ， 當 p>0時在 1, 上是非負減函數(shù)。由反常積分dxp 在x1xP>1 時收斂， p 1 時發(fā)散。再由積分判別法得1 當 p>1 時收斂，當0<P 1 時pn1n發(fā)散。至于P 0 的情形，則可由級數(shù)收斂的柯西準則的推論知道它也是發(fā)散的。例 11 討論下級數(shù)111)1 p ；( 2)1 pn 2 n Innn 3 n Inn InInn解 ： 研究反常積分2 x Idnxx p ，由于dxp2 x Inxd Inx du pp2 Inx In2 u當

26、P>1 時收斂，P 1 時發(fā)散。 根據(jù)定理7知級數(shù) （ 1） 在 p>1 時收斂， p 1 時發(fā)散。對于（2） ，考察反常積分dx p ，同樣可推得級數(shù)（2）在P>1 時收斂，3 x Inx InInx在 P 1 時發(fā)散。4. 函數(shù)項級數(shù)一致收斂方法的的推廣4.1 比式判別法定理 8 9 （ 比式判別法）un 1(x)un(x)設 un （ x） 為定義在數(shù)集D 上正的函數(shù)列, 記qn （x） =存在正整數(shù)N 及實數(shù)q、 M , 使得 :qn(x) q < 1 , uN (x) M對任意的n > N , x D 成立 , 則函數(shù)項級數(shù)un (x)在 D 上一致收斂

27、。n1證明 : 易見un(x) un1(x) uN 1(x)un(x)=uN(x)un 1 (x) un 2(x)uN(x)=qn 1(x) qn 2(x) qN (x) uN (x)qn N 1M而等比級數(shù)qn Mq1 N 當公比 0 < q < 1 時收斂 , 從而由函數(shù)項級數(shù)一致收斂性nN的優(yōu)級數(shù)判別法知,un(x)在 D 上一致收斂。n1推論 3 ( 比式判別法的極限形式) 設un(x)為定義在數(shù)集上的函數(shù)項級數(shù) , 記 qn(x) un 1 (x) , 若 limsup qn(x) q 1 , 且 un(x) 在上一致有界, 則函數(shù)un(x)n x D項級數(shù)un(x)在上

28、一致收斂。證明 : 由 limsup qn(x) q 1,則存在正整數(shù)N , 使得當 n N 時 , 有n xD0 qn x q 1,由 un ( x)在上一致有界, 則對任意的正整數(shù)n, 及任意的x D , 存在正整數(shù)M ,使得 un(x), 令un(x) u n1(x)uN 1(x)un(x)uN(x)un 1 (x) un 2(x)uN(x)qn 1(x) qn 2(x) qN (x) uN (x),則有 un(x) qn N 1MqnMq1 N, 而幾何級數(shù)qnMq1 N 當 0 q 1時收斂 , 由函nN數(shù)項級數(shù)一致收斂的M判別法知un (x) 在上一致收斂, 得證。n例 12 試證

29、函數(shù)項級數(shù)x 在 1,t ( t 1 )上一致收斂。n1 n 3!證明 : 因為qn(x)un 1(x)un (x)xn3lim supqn(x) lim t 1,n xDn n 3n所以由比式判別法的極限形式知函數(shù)項級數(shù)x 在 1,t ( t 1 )上一致收n1 n 3!斂。4.2 根式判別法定 理 99 ( 根 式 判 別 法 ) 設un(x) 為 定 義 在 數(shù) 集 上 的 函 數(shù) 項 級 數(shù)qn (x) n un(x) , 若 limsup qn (x) q 1 , 則函數(shù)項級數(shù)un(x)在上一致收斂。n xD證明 : 由 limsup qn(x) q 1,則存在正整數(shù)N , 當 n

30、N 時 , 有 qn x q 1,n xD則對任意的n N , x D , 有 un(x) qn, 而幾何級數(shù)qn 收斂 , 由函數(shù)項級n1數(shù)一致收斂性的M判別法知un(x)在上一致收斂, 定理得證。n2例 13 試證函數(shù)項級數(shù)n 2n 在 (r,)上一致收斂, 其中 ( r 1 )。n1 x 1證明 : 設 D=(r,) , 因為qn(x) n |un(x)| n 2|x 1|所以limsup qn(x) lim n xD nnnn 2r11r11,n2n 2n 在 (r,)上一致收斂。n1 x 1推論 4 (根式判別法的極限形式) 設 un(x)為定義在數(shù)集上的函數(shù)列, 若n|un(x)

31、|一致收斂于q(x) , 即 lim n |un(x) | q(x) , 且 (supq(x)1 , q(x) q 1,nxD對 x D 成立 , 則函數(shù)項級數(shù)u n (x)在上一致收斂。證明 : 由 n |un(x)| 一致收斂于q(x) (n ), 取 01 q, N0, 當n N0時 , 對一切 x D 有| n |un(x)| q(x) |,所以n |un (x)| q(x) q ,即|un(x)| (q )n ,又因為q 1,由M判別法知un(x)在 x D 上一致收斂。推論 5 有函數(shù)項級數(shù)un(x), 若對 x D , 有 lnim n |un(x)| l 1, 則函數(shù)項級數(shù)un

32、 ( x)在上一致收斂。例 14 判別函數(shù)項級數(shù)x n 在 , 上的一致收斂性。n 1 2n 1證明 : 因為lnim n|(2nx1)n| lnim 2|nx |1 0 1,n所以由推論5 知函數(shù)項級數(shù)x 在 , 上一致收斂。n 1 2n 14.3 對數(shù)判別法定理 109( 對數(shù)判別法) 設 un(x) 為定義在數(shù)集上的函數(shù)列, 若有l(wèi)im ln un (x ) p (x )存在, 對 x D, p(x) p 則函數(shù)項級數(shù)un(x)在上n ln nn 1證明 : 由定理條件可知：對使得對 n , 有p(x)llnn(unn)(x)p(x)1n p(x) un (x) np(x) ,11則當

33、p(x) p 時 , 對 x D 成立時 , 有 un(x)1 ,而 p級數(shù) 1 當 p 1 收斂 ,ppnn而優(yōu)級數(shù)判別法可知函數(shù)項級數(shù)un (x)在上一致收斂. 所以得證。n1例 15 證 n 2x 1 5在 (0,)上一致收斂。n1證明 :x (0,) , 因為所以由對數(shù)判別法知函數(shù)項級數(shù)lnun(x)lim n limn ln n nln(n (2x1)5lnn5)(2x 1) ln n5lim(2 x+1)1,n ln nun (x)在 (0,)上一致收斂。4.4 導數(shù)判別法定理 1110 (導數(shù)判別法)設函數(shù)列un(x) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù) , 可微 , 且存在一點x0a,b

34、使得un(x)在點x0收斂；u'n(x) 在 a,b 上一致收斂；則n1n1un (x)在a,b 上一致收斂。n1證明 : 已知 un(x) 在點x0a, b 收斂 , u'n(x) 在 a,b 上一致收斂,n1n10, Ni( ), 使得 n Ni( )時對 p N ,有npuk(x0)kn1對 x a,b 有np'u k (x0)kn1根據(jù)拉格朗日中值定理n N , p N ,x a,b 有npnpnpui(x0)uk(x0)u'k(x)(x x0)k n1kn1kn1(b a) ( 介于 x與 x0之間于是npuk(x)kn1npnpnpuk(x)uk(x

35、0)uk(x0)kn1kn1kn1npuk(x0)kn1npnpuk (x)uk(x0)kn1kn1(b a) (b a 1 ),故 un(x)在 a,b 上一致收斂。n11例 16 設 un(x)3 ln(9 n x ) , n 1,2, 證 un (x)在 0,1 上一致收斂。nn1解： 對于每一個n , 易見un(x)為0,1 上的增函數(shù), 故 un (x)連續(xù)且可微, 對于 un' (x) 有 un' (x)2x2nx 1=n(9 n2x2) n2(9 n2x2) 3n2n 1,2,故收斂級數(shù)1n 1 3n2在R上點態(tài)斂于S(x) ,為un' (x)的優(yōu)級數(shù),

36、所以由 M 判別法知un' (x)在0,1 上一n1n1致收斂。故原級數(shù)un (x)在a,b 上一致收斂。n14.5 連續(xù)性判別法定理 1210 設函數(shù)項級數(shù)un(x) 在區(qū)域上點態(tài)收斂于S(x) , 如果n1(1) un(x)( n 1,2, )在上連續(xù),(2) S(x)在上連續(xù),(3) 對上每個固定的x, un (x)不變號 , 則un(x) 在上一致收斂于S(x)n12例 17 證明 21n x S(x),n1322x 在 R上連續(xù), 而 S(x) 在 R上連續(xù), 對 R上每個固定的x ,3n ( x R) 的一致收斂性。n13證明 : 由于un (x) 不變號。則由定理12 知

37、原級數(shù)一致收斂于S(x) 。推論 6 設 un(x) 0,(un(x) 0)(n 1,2, )在 D a,b 上連續(xù) , 又un(x)在a,b 上收斂于連續(xù)函數(shù), 則函數(shù)項級數(shù)un (x)在 a,b 一致收斂。例 18 試證 x 在 ( x 0,) ) 內(nèi)一致收斂。n 12nx解 : 對 x 0,) , 都有un(x) 0, 又當 n 充分大時xn 單調(diào)遞減, 故n2nun (x) 連 續(xù) , 和 函 數(shù) S(x) x x 在 0,) 上 連 續(xù) , 故 由 推 論 知 x 在2nn n12x , 上一致收斂。4.6 迫斂性判別法定理 1310(迫斂性定理) 設 n N , 都有 un(x)

38、vn(x) wn(x) 成立, 且un(x)和wn(x)在 I 上都一致收斂于S(x) , 則vn(x) 在 I 也一致收斂于S(x)。n1n1n1nnn證明 : 設 U n(x) uk(x) , Vn(x)vk(x) , Wn (x) wk(x) ,k1k1k1因為nN ,xI 都有un(x) vn(x) wn(x) ,所以nN ,NN都有Un(x) Vn(x) Wn(x) ,又 級 數(shù)un(x) , wn(x) 在 I 一 致 收 斂 于 S(x) , 即 0 , N N ,n1n1n N, x I有S(x) Un(x) Vn(x) Wn(x) S(x) ,及S(x) Un(x) S(x)

39、 ,所以即0 , N N , n N , x I 有S(x) Un(x) Vn(x) Wn(x) S(x) ,河南師范大學新聯(lián)學院本科畢業(yè)論文, vn(x)在 I 上也一致收斂于S(x) 。n1推論 7 已知數(shù)項級數(shù)an ,bn 都收斂 , 若存在 n N , 當 n N 時有n1n1an wn(x) bn,x D , 則函數(shù)項級數(shù)wn(x)于一致收斂。n1(顯然 , 當 wn(x) wn, 則wn(x)為常數(shù)項級數(shù), 則可判斷wn 收斂)。n1推論 8 設函數(shù)列 un(x),n1x a,b , n N , un(x) 在a,b 單調(diào) , 且un(a)及un(b)都絕對收斂,則級數(shù)un(x)在

40、a,b 上一致收斂。n1n1n1n1nn274.7 M判別法的推論推論 9 設有函數(shù)項級數(shù)un(x) ,n1存在一收斂的正項級數(shù)an 使得對n1x I , 有 lim |un(x)| k( 0 k ), nan則函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)間I 一致收n1從而證明 :lim |un(x)|nank ( 0 k ), 即 0 0,N N , n N, x I| |un(x) | k |0 ,an|un(x)|0 k,an|un(x) | ( 0 k)an ,又因為an 收斂 ,n1則 ( 0 k)an 也收斂 , 由 M判別法得函數(shù)項級數(shù)un(x)在區(qū)n1n1I 上一致收斂。注意 我們知道廣義調(diào)和級數(shù)1 , 當 p 1 時是收斂的, 故當an1 時 ,pp河南師范大學新聯(lián)學院本科畢業(yè)論文則有下列推論：推論 10 設函數(shù)項級數(shù)un(x) , 若存在 lim np | un(x) | k , 0 k , p 1,n1n則函數(shù)項級數(shù)u