241平面向量數(shù)量積

1、2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義含義2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角夾角已知兩個非零向量已知兩個非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，則，則AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a與與b的的夾角夾角。OBA當0時，a與b同向；OAB當180時，a與b反向；OABB當90時，稱a與b垂直， 記為ab.OAab 我們學過功的概念，即一個物體在力我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）（如圖）FS力力F所做的功所做的功W可用下式計算可用下式計算 W=|F| |S|cos

2、其中其中是是F與與S的夾角的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積數(shù)量積”的概念。的概念。 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a與與b，它們的，它們的夾角為夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做叫做a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積（或（或內(nèi)積內(nèi)積），記作），記作ab ab=|a| |b| cos規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的數(shù)量積是的數(shù)量積是一個數(shù)量。一個數(shù)量。 向量的數(shù)量積

3、是一個數(shù)量，那么它向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負？什么時候為正，什么時候為負？ab=|a| |b| cos當當0 90時時ab為正；為正；當當90 180時時ab為負。為負。當當 =90時時ab為零。為零。設設ba、是非零向量，是非零向量，be是與方向相同的方向相同的單位向量，單位向量，ea與是的夾角，則的夾角，則cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|) 3(bababa同向時，與當|;|bababa反向時，與當特別地特別地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| cos| cosabababab bababab

4、a求求：已知例,43)2(;,/) 1 (2, 11，分兩種情況：）由解：（ba/1;2,baba 同向，當。反向，當2,baba143cos212ba）（解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例2 2 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a與與b b的夾角的夾角=120=120，求，求a ab b。例例3 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2OAB|b|cos abB1ba等于等于a的長度的長度|a方向上的投影

5、在ab與與cos|b的乘積。的乘積。O投影投影| co sabab Oa b |cosbab 在 上的投影：在 上的投影：|cos0b Oa b |cos0b a b |cos0b |cosaba 在 上的投影：在 上的投影：|cosabba 數(shù)量積等于與投影的乘積。數(shù)量積等于與投影的乘積。練習：練習：1 1若若a = =0，則對任一向量，則對任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，則，則b= =04 4若若a b= =0，則，則a b中至少有一個為中至少有一個為05 5若若a0，a b= =

6、 b c，則，則a=c6 6若若a b = = a c , ,則則bc, ,當且僅當當且僅當a= =0 時成立時成立7對任意向量對任意向量 a 有有22|aa 二、二、平面向量的數(shù)量積的運算律平面向量的數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三個向量，是任意三個向量，R注：注：)()(cbacba 則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù)量分別是O

7、M、MN、 ON, 證明運算律證明運算律(3)例例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：證明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.P116 例例4222| 6,| 4,b60,(2 ) (3 ),() ,|abaa bababababab 已知與 的夾角為，求已知與 的夾角為，求，|cos12a bab 解:解:22|36aa22

8、|16bb(2 ) (3 )abab 226aa bb 22| | | |cos6| |aa bb 72 2()a b 222aa b b 22| |2| | |cos| |aa bb 28 2|a b 2()28a b |a b 282 7 2222() 思考 是一個常用的結(jié)論，如何構(gòu)造一個圖形解釋這個公式的 幾何意義？9例5 已知=, =， 求 .5.| 3,| 4,abkakbakb例 已知當且僅當 為何值時，向量與互相垂直？0aba b 例例4 0aba b () ()0akbakb2220ak b29160k34k 小結(jié)：小結(jié)：l1.l2.|co|saabb 0aba b 22|aa 可用來求向量的?？捎脕砬笙蛄康哪?.投影投影作業(yè)：作業(yè)：)(,2432, 1|1cbacabacbakbakbababa求證：是非零向量，且、設的值?；ハ啻怪保笠才c且、若4、已知已知a、b都是非零向量都是非零向量，且且a + 3 b 與與7 a 5 b 垂直垂直，a 4 b 與與7 a 2 b垂直垂直，求求a與與b的夾角的夾角。 解： （a + 3 b ）（7 a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b ） （