拋物線經(jīng)典性質(zhì)的總結(jié)

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案拋物線拋 物 線y2 =2px (p>0)y2 = -2 px (P>0)x2 =2py (p>0)x2 = -2 py (p>0)yll口rIIly 1oHl F x7F-xF,K0xFl定義平向內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的跑離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫 做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。mmf點M到直線l的距離范圍x 之 0, y w Rx W0” Rxe R, y >0xW R,y <0對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱隹百八、八、(r0)(-P,0)(0,9(0, -1)焦點在對稱軸上頂點0(0,0)離心率e=1準(zhǔn)線 方程x=-

2、2pxp =2T準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)且到頂點的跑離相等。頂點到準(zhǔn) 線的距離_p2焦點到準(zhǔn) 線的距離P焦半徑A(xi, yi)AF = x1 + "p2AF =,x +衛(wèi) x12AF = y1 +上2AF = -y1 +2精彩文檔焦點弦長AB(Xi X2) p-(Xi X2) p(yi y2) p-(y1 y2) p焦點弦AB |的幾 條性質(zhì)A(Xi, yjB(X2, y2)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切若AB的傾斜角為a ,則|AB =2p.2 一sin -若AB的傾斜角為a ,則|AB =2p2cos :2pX1X2 :411 AF BF AB 2+ - ，AF BF AF *B

3、F AF *BF p切線方程y°y =p(X X。)y°y = -p(X X。)XoX = p(y y。)x°x = p(y y。)1.直線與拋物線的位置關(guān)系直線上J=匕+b,拋物線C：二 20r,y = kx + b爐=2的，消y得：芥+2儂-»+必=0(1)當(dāng)k=。時，直線l與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；(2)當(dāng) kw。時，A。，直線l與拋物線相交，兩個不同交點；A=。，直線l與拋物線相切，一個切點；A。，直線l與拋物線相離，無公共點。(3)若直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線必相切嗎？(不一定) (42.關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常

4、用處理方法直線l： y = kx + b 拋物線 = (p。)聯(lián)立方程法:'y =kx +b2 2= k x +2(kb p)x+b =0y -2px設(shè)交點坐標(biāo)為A(x1,y1), B(x2, y2),則有 > 0 ,以及x1+x2, x1x2,還可進一步求出y1y2 = kx1 b kx2 b ; k(x1 x2) 2b22y1y2 = (kx1 b)(kx2 b) = k x1x2 kb(x1x2) b在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如 a.相交弦AB的弦長AB = V1 +k2 x1 -x2 = v'1 + k2 J(x1 +x2)2 -4x1 x

5、2 k2 a,b.a.AB1 = 11+Jyi -y2 = Ji+k1r7(yi +y2)2 -4yiy2 ;。彳中點 M(x0,y0), x0 =寸'y°=T點差法：設(shè)交點坐標(biāo)為A(xi，yi), B(x2,y2),代入拋物線方程，得2 c2 cyi =2px1、2 =2px2將兩式相減，可得(yi y2)(y1 y2) =2p(x x?)yi -y2 _ 2pxi -x2yiy2在涉及斜率問題時,kAB =2pyiy2b.在涉及中點軌跡問題時，設(shè)線段AB的中點為M (x0, y0),yi 72 _ 2p 2p p ,xi -x2 yi y2 2 y0y0即 kAB = &

6、quot;p , y。同理，對于拋物線 x2=2py(p*0),若直線l與拋物線相交于 A、B兩點，點M(xo,y。)是弦AB的中點，則有kAB =已*=也=%2P 2p p(注意能用這個公式的條件：1)直線與拋物線有兩個不同的交點，2)直線的斜 率存在，且不等于零)一、拋物線的定義及其應(yīng)用例1、設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個動點.(1)求點P到點A( -1,1)的距離與點P到直線x= 1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2),求| PB +| PF的最小化例2、(2011 山東高考)設(shè)M(x0, y0)為拋物線C： x2=8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物

7、線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值 范圍是()A. (0,2)B. 0,2 C . (2, +oo) D . 2 ,二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例3、拋物線y2 = 2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l ,經(jīng)過F的直線與拋物線交于A、 B兩點，交準(zhǔn)線于C點，點A在x軸上方，AKal,垂足為K,若|Bq=2|BF|, 且|AF| =4,則4AKF的面積是()A. 4 B . 373C . 4v3D . 8例4、過拋物線y2= 2Px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點 A、B,交其準(zhǔn)線l 于點C,若| BC = 2| BF ,且| AF| = 3則此拋物線的方程為()A. y2= 3x

8、B. y2 = 9xC . y2= |xD . y2=3x三、拋物線的綜合問題例5、(2011 江西高考)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點，斜率為2加的直線 交拋物線于 A(xi, yi) , B(x2, y2)( XL)兩點，且 |AB=9.(1)求該拋物線的方程;(2)0為坐標(biāo)原點，C為拋物線上一點，若OC =A+ x QB,求人的值.例6、(2011 湖南高考)(13分)已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動點P的軌跡C的方程;B,過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線12與軌跡C相交于點d, E,求AD，EB11, 12,設(shè)11與軌

9、跡C相交于點A,的最小值例7、已知點M(1 , y)在拋物線C： y2 = 2px(p>0)上，M點到拋物線C的焦點F的1 一一 一一，距離為2,直線l : y= 2x+b與拋物線C父于A, B兩點.(1)求拋物線C的方程；(2)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程.練習(xí)題1. 已知拋物線x2=ay的焦點恰好為雙曲線 y2 x2=2的上焦點，則2.3.A. 1B. 4D. 16拋物線y= 4x2上的一點M到焦點的距離為1,17A.1615B.16C.716則點M的縱坐標(biāo)是（15 D.16（2011 遼寧高考）已知F是拋物線y2 = x的焦點,A, B是該拋,物線上的兩點,| AF

10、+| BF =3,則線段AB的中點至IJ y軸的距離為4.3A. 4已知拋物線）A.相離5B 1 C. 47D.4y2=2px,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是B.相交 C .相切D.不確定5.（2012 宜賓檢測）已知F為拋物線y2=8x的焦點，過F且斜率為1的直線交物線于 A、B 兩點，6.)A . 4 /在y = 2x2上有一點B. 8 C則 | FA. 8 2|FB| 的值等D. 16P,它到 A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標(biāo)是A. (2,1)B. (1,2) C. (2,1)7. （2011 陜西高考）設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方程為D. (-1

11、,2)x= 2,則拋物線的方程是A . y2= - 8xB . y2= 8xC. y2= 4x D . y2=4x8 . （2012 永州模擬）以拋物線x2=16y的焦點為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切 的圓的方程為.9 .已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 y軸，拋物線上一點Q（-3, m）到焦點的距離是5,則拋物線的方程為 .10 .已知拋物線y2 = 4x與直線2x+y4= 0相交于A、B兩點，拋物線的焦點為F,那么| +| FB | =11 .過拋物線y2 = 4x的焦點作直線交拋物線于 A(X1, yl), B(x2, y2)兩點,若x1 + x2 = 6,那么| AB等于12 .根據(jù)下列

12、條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2 9y2=144的左頂點；(2)過點 P(2 , -4).13 .已知點A(1,0) , B(1 , 1),拋物線 C: y2=4x, O為坐標(biāo)原點，過點 A 的動直線l交拋物線C于M, P兩點，直線M眩拋物線C于另一點Q若向量OM 與OP的夾角為十，求POM勺面積.參考答案：一、拋物線的定義及其應(yīng)用例1、(1)如圖，易知拋物線的焦點為 F(1,0),準(zhǔn)線是x=1.由拋物線的定義知：點P到直線x= 1的距離等于點P到焦點F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點 P,使點P到點A(-1,1)的距離與點P到 F(1,0)的距離之和最小.顯

13、然，連結(jié)AF交曲線于P點，則所求的最小值為|AF , 即為5. 如圖，自點B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q,交拋物線于點P1,則|P1Q=|P1F|.則有 | PB +| PF 引 P1B| +|P1Q =| BQ=4.即| PB +| PF 的最小值為 4.例2、解析：圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為 P,即p=4,根據(jù)已 知只要|FM>4即 可.根據(jù)拋物線定| FM =y0+2由y0+ 2>4,解得y0>2,故y0的取值范圍是(2 , + °°).二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例3、設(shè)點A(xs y1),其中y1>0.由點B作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為 B.則有 一

14、 | BB| 1| BF = | BB| ;又 | CB = 2| FB ,因此有 | CB =2| BB| , cos / CBB = . Dn/| BC 1 4sin = 2y3,因此 4AKF 的面積等于 J AK y1 =% x 4X 2/3=443. 22例4.分別過點A、B作AA、BB垂直于l ,且垂足分別為A、B,由已知條件| Bq =2| BF 得| BC =2| BB| , . ./BCB= 30°，又 | AA| = | AF| = 3,. .|AC=2|AA| =6, .|CF=|AC|AF=6 3 = 3, . F 為線段 AC 的中點.故 13點F到準(zhǔn)線的距

15、離為p=2|AA|=2,故拋物線的方程為y =3x.三、拋物線的綜合問題例5、(1)直線AB的方程是y = 242(x p),與y2 = 2px聯(lián)立，從而有4x2- 5px + p2=0,所以：xI + x2= 5p,由拋物線定義得：| AB =x + x2+p=9,所以p = 4,從而拋物線方程是y2= 8x. 兀 .兀P .一CBB= 1 即直線AB與x軸的夾角為3.又| AF| =| AK =xi+2 = 4,因此y=（2）由 p = 4,4x2 5px+p2= 0 可簡化為 x25x + 4 = 0,從而 x=1, X2= 4, y1= 2也，y2= 4也,從而 A（1 , 2淄），B

16、（4,4 也）;設(shè) OC=（x3, 丫3）= （1, 2陋）+ 入（4,4 班）=（4 入+1,4小入2山）.又 y3=8x3,即2 5（2 入一1） 2 = 8（4 入 + 1）.即（2入- 1） 2= 4入+ 1.解得入=0,或入=2.例6、（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x, y）,由題意有4一x-1 2+y2 |x|=1.化簡得 y2= 2x + 2| x|.當(dāng) x>0 時，y2 = 4x；當(dāng) x<0 時，y=0.所以，動點P的軌跡C的方程為y2=4x（x10）和y=0（x<0）.由題意知，直線l 1的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則l 1的方程為y = k（x y= k x 1

17、,得 k2x2(2k2+4)x+k2=0.(71),由 1 2y =4x4設(shè)A(Xi, y。，B(x2,均，則Xi, x2是上述萬程的兩個實根，于是 Xi + X2=2 + T2, kXiX2=1.(8分)因為ll2,所以12的斜率為一1.設(shè)D(X3, y3), E(X4, y4),則同理可得k2X3+ X4 = 2 + 4k, X3X4=1.=(Xi+ 1)( X2 + 1) + ( X3+ 1) , ( X4 + 1) X1X2 + ( X1 + X2) + 1 + X3X4 + ( X3+ X4) + 1(11分)422121=1 + (2+常+1 + 1 + (2 + 4/)+1 =

18、8 + 4(/ + ?)>8+4X2 /k2 0=16.當(dāng)且僅當(dāng)k2=*,即k=±1時，；D tB取最小值16.p例7、（1）拋物線y2 = 2px（p>0）的準(zhǔn)線為x= 2,由拋物線定義和已知條件可知p p . 一一 . C| MF = 1 ( 2) = 1+2 = 2,解得p=2,故所求拋物線C的方程為y =4x.1 一聯(lián)立卜2，2消去X并化簡整理得y+8y 8b=0.2 人y =4x依題意應(yīng)有 A =64+ 32b>0,解得 b> 2.設(shè) A(Xi, y。，B(x2, y2),則 y-y?8, y1y2 = - 8b,設(shè)圓心 Q(xo, y°)

19、,則應(yīng)用 x0= 2 , y0= 2 = - 4.因為以AB為直徑的圓與x軸相切，所以圓的半徑為r = |y°|=4.又 | AB = 7 xi X2 24- yi y2 2=« 1+4yi y2 2=aJ5yi+y2 2 4yiy2 =#5 64+ 32b所以 |AB=2r =、5 64+32b =8,解得 b= -8. 548所以 xi + x?=2b 2yi + 2b 2y2=4b+ 16 5 ,則圓心Q的坐標(biāo)為(24, 4).故所求圓的方程為(x-24)2+ (y + 4)2=16. 55練習(xí)題：a 1. . C.解析：根據(jù)拋物線萬程可得其焦點坐標(biāo)為(0 , %),

20、雙曲線的上焦點為(0,2),、.a 一依題意則有二=2解得a= 8.4 . c y12. B.解析：拋物線方程可化為x2= %其準(zhǔn)線方程為丫 =布.設(shè)Mx% y。)，則 115 由拋物線的止乂，可知16 y0= 1 ? y0= 16.3. C.解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段 AB中點到y(tǒng)軸的距離 為：2(1 AF +1 BF) -4= 3-，=5.4. C.解析：設(shè)拋物線焦點弦為AB,中點為M準(zhǔn)線l , A、B分別為A、B在直1線l上的射影，則|AA| =| AF , | BB| =| BF ,于是M到l的距離d=2(| AA| +| BB|) =2(| AFF +| BF) =

21、2| AB =半徑，故相切.y x 25. C.解析：依題意F(2,0),所以直線方程為y = x 2由2 c，消去J =8xy 得 x2- 12x + 4 = 0.設(shè) A(xb y。, B(x2, v2，則 II FA -| FB| =|( x-2) (x2 + 2)| =|x1 x2| =3(x1+x2)2 4x1x2 =214416 =872.6. B.解析：如圖所示，直線l為拋物線y = 2x2的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其 焦點，PNJ_ l, AN，l,由拋物線的定義知，|PF =|PN, .|AP 十 |PF| =|AP+|PN引AN| ,當(dāng)且僅當(dāng) A P、N三點共線時取 等號.一. P點的橫坐標(biāo)與A點的橫坐標(biāo)相同即為1,則可排除A7. B.解析：由準(zhǔn)線方程x= 2,可知拋物線為焦點在x軸正,半軸上的標(biāo)準(zhǔn) 方程，同時得p = 4,所以標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 = 2px=8x8. 解析：拋物線的焦點為F(0,4),準(zhǔn)線為y= 4,則圓心為(0,4),半徑r =9. 所以，圓白方程為x2+(y 4)2=64.10. 析：設(shè)拋物線方程為x2=ay(aw0),則準(zhǔn)線為y= 4.=Q 3, m)在拋物a線上，；9 = am而點Q到焦點的距離等于點Q到準(zhǔn)線的距離，丁. | mi-( 4)| =5.將m= 9代入，得|9