初一數(shù)學(xué)圖形與面積競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案

1、初一數(shù)學(xué)圖形與面積競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座圖形與面積一、直線圖形的面積在小學(xué)數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了幾種簡(jiǎn)單圖形的面積計(jì)算方法, 數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的面積問(wèn)題不但具有直觀性, 而且變換精巧, 妙趣橫生, 對(duì)開(kāi)發(fā)智力、發(fā)展能力非常有益。圖形的面積是圖形所占平面部分的大小的度量。它有如下兩條性質(zhì):1. 兩個(gè)可以完全重合的圖形的面積相等;2. 圖形被分成若干部分時(shí), 各部分面積之和等于圖形的面積。對(duì)圖形面積的計(jì)算, 一些主要的面積公式應(yīng)當(dāng)熟記。如:正方形面積邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)；矩形面積長(zhǎng)X寬；平行四邊形面積底X高；三角形面積底x高+ 2;梯形面積（上底+下底）X高+2。此外 , 以下事實(shí)也非常有用, 它對(duì)提

2、高解題速度非常有益。1. 等腰三角形底邊上的高線平分三角形面積;2. 三角形一邊上的中線平分這個(gè)三角形的面積;3. 平行四邊形的對(duì)角線平分它的面積;4. 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。解決圖形面積的主要方法有:1. 觀察圖形 , 分析圖形, 找出圖形中所包含的基本圖形;2. 對(duì)某些圖形, 在保持其面積不變的條件下改變其形狀或位置（ 叫做等積變形 ）;3. 作出適當(dāng)?shù)妮o助線, 鋪路搭橋 , 溝通聯(lián)系 ;4. 把圖形進(jìn)行割補(bǔ)（ 叫做割補(bǔ)法） 。例 1 你會(huì)用幾種不同的方法把一個(gè)三角形的面積平均分成4 等份嗎 ?解：最容易想到的是將 ABC勺底邊4等分，如左下圖構(gòu)成4 個(gè)小三角形, 面積都為原來(lái)的三

3、角形面積的。另外，先將三角形 ABC勺面積2等分（如右上圖），即取BC的中點(diǎn)D,連接AD,則SJA ABDSADC然后再將這兩個(gè)小三角形分別 2 等分 , 分得的 4 個(gè)小三角形各自的面積為原來(lái)大三角形面積的。還有許多方法, 如下面的三種。請(qǐng)你再想出幾種不同的方法。例2右圖中每個(gè)小方格面積都是1cm2,那么六邊形ABCDEF面積是多少平方厘米？分析 : 解決這類問(wèn)題常用割補(bǔ)法, 把圖形分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的容易求出面積的圖形, 分別求出面積。也可以求出六邊形外空白處的面積, 從總面積中減去空白處的面積, 就是六邊形的面積。解法 1: 把六邊形分成6 塊 : ABCAAGFAPEF,AEKD,ACDHF

4、口正方形GHKP用S表示三角形面積，如用$ ABCS示ABC勺面積。故六邊形ABCDE的面積等于6+2+1+4+9說(shuō)明 : 當(dāng)某些圖形的面積不容易直接計(jì)算時(shí), 可以把這個(gè)圖形分成幾個(gè)部分 , 計(jì)算各部分的面積, 然后相加, 也就是說(shuō), 可以化整為零。解法2:先求出大正方形 MNRQfi面積為6X636(cm2)。說(shuō)明 : 當(dāng)某些圖形的面積不易直接計(jì)算時(shí), 可以先求出一個(gè)比它更大的圖形的面積, 再減去比原圖形多的那些( 個(gè) ) 圖形的面積, 也就是說(shuō), 先多算一點(diǎn), 再把多算的部分減去。解法 3: 六邊形面積等于S /XABC+SB形 ACDF-瓠DEF6X2X +(3+6) X4X-3 X 1

5、X6+18-1說(shuō)明 : “橫看成嶺側(cè)成峰 , 遠(yuǎn)近高低各不同”, 從不同的角度去觀察同一個(gè)圖形 , 會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生不同的認(rèn)識(shí)。一種新的認(rèn)識(shí)的產(chǎn)生往往會(huì)伴隨著一種新的解法。 做題時(shí)多想一想, 解法就會(huì)多起來(lái), 這對(duì)鍛煉我們的觀察能力與思考能力大有益處。例3如下圖所示，BD,CF將長(zhǎng)方形ABCS成4塊， DEF的面積是4cm2,zCED勺面積是6cm2問(wèn)：四邊形ABEF勺面積是多少平方厘米？解：如下圖，連結(jié)BF。則 BDF與 CFDB積相等，減去共同的部分4 DEF,可得 BE*CEDS積相等，等于6cm2。四邊形ABEF勺面積等于S ABD-SX DEFSX BDC-SX DEF於 BCE+S C

6、DE-SX DEF9+6-411（cm2）o問(wèn) : 兩塊紅色圖形的面積和與兩塊藍(lán)色圖形的面積和,哪個(gè)大 ?分析：只需比較ACEfzBDF面積的大小。因?yàn)锳CEf zBDF的高相等（都是CD）,所以只需比較兩個(gè)三角形的底AE與BF的大小。因?yàn)?ACEf BDFW相等，所以 SAACESBDF減去中間空白的小四邊形面積, 推知兩塊紅色圖形的面積和大于兩塊藍(lán)色圖形的面積和。例5在四邊形ABCm（見(jiàn)左下圖）,線段 BC長(zhǎng) 6cm,/ ABCJ直角,/ BCM 135 ,而且點(diǎn)A到邊CD的垂線段AE的長(zhǎng)為12cm,線段ED的長(zhǎng)為5cm,求四邊形ABCD勺面積。解：延長(zhǎng)AB,DC相交于F（見(jiàn)右上圖）,WJ

7、/ BCF45 , /FBC90，從而/ BFC45因?yàn)? BFCZ BCF所以 BFBC6(cm)在 RtzXAEF中，/AFE45 ,所以/ FAE90 -45 45，從而 EFAE12(cm)故 S 四邊形 ABCDSADF-SX BCF102-1884(cm2)。說(shuō)明 : 如果一個(gè)圖形的面積不易直接求出來(lái), 可根據(jù)圖形的特征和題設(shè)條件的特點(diǎn),添補(bǔ)適當(dāng)?shù)膱D形,使它成為一個(gè)新的易求出面積的圖形,然后利用新圖形面積減去所添補(bǔ)圖形的面積,求出原圖形面積。這種利用“補(bǔ)形法”求圖形面積的問(wèn)題在國(guó)內(nèi)外初中、小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中已屢見(jiàn)不鮮。例6正六邊形ABCDE的面積是6cm2,M,N,P分別是所在邊的中點(diǎn)

8、(如上圖 )。問(wèn)：三角形MNP勺面積是多少平方厘米？解法 1: 如左下圖, 將正六邊形分成6 個(gè)面積為正1cm2的正三角形，將另外三個(gè)面積為1cm2的正三角形分別拼在邊BC,DE,AF外面，得到一個(gè)大的正三角形XYZ,其面積是9cm2這時(shí),M,N,P分別是邊ZX,YZ,Xy的中點(diǎn)，推知解法2:如右上圖，將正六邊形分成6個(gè)面積為1cm2的正三角形，再取它們各邊的中點(diǎn)將每個(gè)正三角形分為4 個(gè)面積為的小正三角形。于是正六邊形ABCDE被分成了 24個(gè)面積為的小正三角形。因?yàn)?MNFtt 9個(gè)面積為的小正三角形所組成，所以SAMNPK 92.25(cm2)二、圓與組合圖形以上我們討論了有關(guān)直線圖形面積

9、計(jì)算的種種方法?，F(xiàn)在我們繼續(xù)討論涉及圓的面積計(jì)算。1. 圓的周長(zhǎng)與面積計(jì)算圓的周長(zhǎng)與面積, 有的直接利用公式計(jì)算, 有的需要經(jīng)過(guò)觀察分析后靈活運(yùn)用公式計(jì)算。主要公式有:(1)圓的周長(zhǎng)九X直徑2 7tx半徑，即Ctt d2：tr;(2)中心角為n的弧的長(zhǎng)度nx九X(半徑)+180，即1(3)圓的面積冗X (半徑)2,即Stt r2;(4)中心角為n的扇形面積nx九X(半徑)2+ 360，即例 7 右圖是三個(gè)半圓( 單位 :cm), 其陰影部分的周長(zhǎng)是多少?解 : 由圖可知 , 陰影部分是由三個(gè)直徑不同的半圓周所圍成, 所以其周長(zhǎng)為說(shuō)明 : 實(shí)際上 , 該圖形中兩個(gè)小半圓的直徑之和等于大半圓的直徑

10、, 因而它們的周長(zhǎng)也正好等于大半圓的半圓周。推而廣之，若n個(gè)小圓的直徑之和等于大圓的直徑，gp：d1+d2+d3+ - +dnD,那么這些小圓的周長(zhǎng)之和也等于大圓的周長(zhǎng), 即兀 d1 + 兀 d2+ 兀 d3+九 dn 兀(d1+d2+d3+dn)兀 D。例 8 某開(kāi)發(fā)區(qū)的大標(biāo)語(yǔ)牌上, 要畫(huà)出如下圖所示( 圖形陰影部分) 的三種標(biāo)點(diǎn)符號(hào)：句號(hào)、逗號(hào)、問(wèn)號(hào)。已知大圓半徑為 R,小圓半徑為r,且R2r。若均勻用料 , 則哪一個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)的油漆用得多?哪一個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)的油漆用得少?分析 : 在均勻用料的情形下, 油漆用量多少問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為陰影部分的面積大小問(wèn)題?，F(xiàn)在涉及到的基本圖形是圓, 弄清陰影部分如何

11、由大小圓分割、組合而成 , 是解該題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破口。解：因?yàn)镾句號(hào)S大圓-S小圓TtR2-Tt r2兀（2r）2-九r23兀r2說(shuō)明 : 留意我們的日常生活, 不同于課本的“非常規(guī)”問(wèn)題隨處可見(jiàn) , 如何把“非常規(guī)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為或近似地轉(zhuǎn)化為“常規(guī)”數(shù)學(xué)問(wèn)題 , 需要細(xì)心觀察、積極思考 , 考察轉(zhuǎn)化的可能性和轉(zhuǎn)化的途徑。像上例那樣, 認(rèn)真分析圖形的特征和課本圖形的基本關(guān)系, 進(jìn)一步探討能否由基本圖形分割而成、組合而成。2. 圓與組合圖形在日常生活中, 除了經(jīng)常遇到直線型（ 如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲線型（ 如圓、扇形等） 的面積外 , 還經(jīng)常遇到不同形狀圖形疊加而成的組合圖形的面積

12、問(wèn)題。組合圖形的面積計(jì)算, 可以根據(jù)幾何圖形的特征, 通過(guò)分割、割補(bǔ)、平移、翻折、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等方法, 化復(fù)雜為簡(jiǎn)單, 變組合圖形為基本圖形的加減組合。例9下圖中,ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,分別以AB,BC,CD,DM直徑畫(huà)半圓。求這四個(gè)半圓弧所圍成的陰影部分的面積。解 : 圖中陰影部分是由四個(gè)半圓的重疊部分構(gòu)成的, 這, 這四個(gè)半圓的面積之和大于正方形的面積, 兩者的差就是陰影部分的面積。因此 , 我們就得到以下的算式:說(shuō)明 : 此例除了用上面的解法外, 還可以采用列方程解應(yīng)用題的方法來(lái)解。如題圖 , 設(shè) x 和 y 分別表示相應(yīng)部分的面積, 由圖看出例 10 如左下圖所示, 平行四邊形的長(zhǎng)

13、邊是6cm,短邊是3cm,高是2.6cm,求圖中陰影部分的面積。分析 : 本題的圖形比較復(fù)雜, 我們可以先計(jì)算陰影部分的一半（ 見(jiàn)右上圖 ） 。我們的目標(biāo)是把圖形分解成若干基本圖形的組合或疊合。本題中的基本圖形就是大、小兩種扇形, 以及平行四邊形。仔細(xì)觀察后得出結(jié)論:右上圖中的陰影部分等于說(shuō)明 : 求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積, 要設(shè)法找出它與規(guī)則圖形面積的關(guān)系, 化 不規(guī)則為規(guī)則。例 11 求右圖中陰影部分的面積（ 單位:cm）。分析與解: 本題可以采用一般方法, 也就是分別計(jì)算兩塊陰影部分面積, 再加起來(lái), 但不如整體考慮好。我們可以運(yùn)用翻折的方法, 將左上角一塊陰影部分（ 弓形 ） 翻折到半圓

14、的右上角（ 以下圖中虛線為折痕）, 把兩塊陰影部分合在一起, 組成一個(gè)梯形（ 如右圖所示）,這樣計(jì)算就很容易。本題也可看做將左上角的弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)90 , 到達(dá)右上角, 得到同樣的一個(gè)梯形。說(shuō)明 : 當(dāng)某些圖形的面積不易直接計(jì)算時(shí), 可以把這個(gè)圖形的各個(gè)部分適當(dāng)拼接成一個(gè)易于直接計(jì)算的圖形。也就是說(shuō), 可以化零為整。上述解法運(yùn)用翻折 （ 或旋轉(zhuǎn) ） 的方法達(dá)到了化零為整的目的。例12已知右圖中正方形的面積是12cm2,求圖中里外兩個(gè)圓的面積。分析 : 計(jì)算圓面積, 要知道半徑。先考慮內(nèi)圓面積。內(nèi)圓的直徑與正方形的邊長(zhǎng)相等, 但正方形的邊長(zhǎng)是未知的。根據(jù)已知正方形的面積是12cm2,可以推出內(nèi)圓

15、直徑的平方為12cm2,再求內(nèi)圓面積就不難了。外圓的直徑是正方形的對(duì)角線, 設(shè)外圓半徑為R, 則正方形面積等于由一條對(duì)角線分成的兩個(gè)等腰直角三角形的面積之和。再由正方形面積2RX R+ 2X22R2,2R212,便可求出外圓面積。解：設(shè)內(nèi)圓半徑為r,由正方形面積為12cm2,正方形邊長(zhǎng)為2r,得(2r)212,r23 。內(nèi)圓面積為兀r23.14 X39.42(cm2)。正方形面積2 個(gè)等腰直角三角形面積,得 R26,外圓面積為 兀 R23.14X 618.84(cm2)。練習(xí) 61 .如右圖所示，正方形的面積是50cm2,三角形ABCW條直角邊中，長(zhǎng)邊是短邊的2.5倍，求三角形ABC的面積。2

16、 .如右下圖所示，長(zhǎng)方形ABCDF ,AB24cm,BC36cm,E是BC的中點(diǎn),F,G分別是AB,CD的4等分點(diǎn),H為AD上任意一點(diǎn)。求陰影部分面積。3 .在右圖的4X 7的方格紙板上畫(huà)有如陰影所示的“6”字, 陰影邊緣是線段或圓孤。問(wèn) : 陰影面積占紙板面積的幾分之幾?4 .在右下圖中，六邊形ABCDE的面積是54,AP2PF,CQ2BQft陰影四邊形 CEPQ勺面積。5 . 在右圖中, 涂陰影部分的小正六角星形面積是16cm2問(wèn)：大正六角星形面積是多少平方厘米 ?6 . 一個(gè)周長(zhǎng)是56cm的大長(zhǎng)方形，按右面1 與圖 2 所示那樣, 劃分為 4 個(gè)小長(zhǎng)方形。在圖1中小長(zhǎng)方形面積的比是 A：

17、 B1 ： 2,B ： C1 : 2。而在圖2中相應(yīng)的比例是A ： B1 ： 3,B ： C1 ： 3。又知，長(zhǎng)方形D的寬減去D的寬所得到的差，與D的長(zhǎng)減去D的長(zhǎng)所得到的差之比為1 : 3。求大長(zhǎng)方形的面積。7 . 有兩張正方形紙, 它們的邊長(zhǎng)都是整厘米數(shù), 大的一張的面積比小的一張多44cm2大、小正方形紙的邊長(zhǎng)分別是少？8 . 用面積為1,2,3,4 的 4張長(zhǎng)方形紙片拼成如右圖所示的一個(gè)大長(zhǎng)方形。問(wèn): 圖中陰影部分面積是多少？練習(xí) 6 答案 :1.10cm2解 : 畫(huà)兩條輔助線如左下圖。根據(jù)條件可知, 正方形面積是長(zhǎng)方形ABCDS積的2.5倍。從而 ABCD勺面積是50 + 2.5=20

18、(cm2)。所以ABC勺面積是20210(cm2)9 .324cm2 。解：連結(jié)BH BEH的面積為把 BH林口 DHG吉合起來(lái)考慮，這兩個(gè)三角形的底BF,DG相等，且都等于長(zhǎng)方形寬的，它們的高AHt DH1和正好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，所以這兩個(gè)三角形的面積之和是X X24X36108。圖中陰影部分的面積為216+108324(cm2)。非陰影共6 個(gè) , 也有 6 個(gè) , 剛好拼成6 個(gè)小正方形。因此陰影部分有28-6-319( 個(gè) )小正方形。4.31 。解：如右圖,將正六邊形ABCDE等分為54個(gè)小正三角形。根據(jù)平行四邊形對(duì)角線平分平行四邊形面積, 采用數(shù)小三角形的辦法來(lái)計(jì)算面積。S APEF=3,SACDE=9,陰邊形 ABQp=11上述三塊面積之和為3+9+1123。因此，陰影四邊形CEPQS積為54-2