線性代數(shù)綜合練習(xí)題

1、線性代數(shù)綜合試題、填空題：3，81-11-1那么r(A)二-11.設(shè) A =1-12 1 -1-3110-312.設(shè)A為3階方陣，且 A =3,貝U A*'=用A表示。卩1-1"卩-1 1、3假設(shè)X022=,那么 X =。1 0-10X.'aa1 4.設(shè)A=a1a，那么當(dāng)a滿足條件時(shí)，A可逆；當(dāng)Jaa丿5.秩相等是兩個(gè)同維向量組等價(jià)的條件。a=時(shí)，r(A) = 2。二、選擇題：4 51. 設(shè)n階方陣A是奇異陣，那么A中 A 。A必有一列元素為 0 ; B必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例；C必有一列向量是其余列向量的線性組合；D任意一列向量是其余列向量的線性組合。2. 設(shè)A和B都

2、是n階可逆陣，假設(shè)C =，那么C = Ci A 0 jZ. -1c 、A00 Bf c八 J、0AJc 、B0(A)4(B)4(C)(D)<0 B丿'、A0 丿<B0丿< 0 A丿3.假設(shè)n階矩陣A的秩為n-3 n蘭4，那么A的伴隨矩陣 A*的秩為BA n-2 B 0 C 1 D不確定4.設(shè)：o是非齊次方程組 AX -b的一個(gè)解，12,r是 AX =0的根底解系，那么_C。A 01,川r線性相關(guān)。B 線性無(wú)關(guān)。C 。1,川的線性組合是AX =b的解。D :- 0,r,lH,r的線性組合是AX =0的解。5. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似的充要條件是C。A矩陣A有n個(gè)特征值

3、。B矩陣A的行列式A鼻0。C矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。D矩陣A的秩為n 。三、 設(shè)A和B都是3階方陣，E為單位陣， ABA2 B廣101、其中 A= 0 2 0 ， 求 B。6J一1 0 1 丿Xi X2 -X3 二-1四、設(shè)線性方程組 2x1 kx2 -2x3 =010kx1 2x2 x3 = k1k為何值時(shí)，方程組有唯一解、無(wú)解；2k為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解？并求出其通解。五、設(shè)向量1,2,的線性無(wú)關(guān)，非零向量1與>1, >2,r都正交，證明：1與5221000 '0六、設(shè) A =，求A001-2<0011丿1,2,r線性無(wú)關(guān)。8(6)2七、設(shè)A= 1&l

4、t;01 020 ， 1求A的特征值;0 22求其特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。10八、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f =2x2 3x； 3x2 4x2x3 10九、設(shè)12,3是歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，證明：111：12：1 2：2一： 3：22：1-： 2 2： 3 ：31 一2： 2 一2： 3333也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基參考答案一、填空(1)4(2)二、選擇題(1) A173丿4 11 11一 21 - 3(5)必要2、解：由AB+E =A +B恒等變形得：AB B = A -E(A-E)B =(A E)(A+ E)廣 0-1P:A-E= 010=2 0V10 °(A-E)存在r20r.B = A

5、+ E =030<-10211-1-1、四、解：該方程組是非齊次線性方程組，其增廣矩陣為2k-20。現(xiàn)對(duì)其增；k21k丿廣矩陣做初等行變換11_1-1、11_1-1、2k-20T0k-202<k21k02 k1+k2k>1 1 -1 -1t 0 k2 02(001+k 2k+2丿由上可以看出：(1) 當(dāng)k =2時(shí)，其系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩不相等，此時(shí)原方程組無(wú)解。(2) 當(dāng)k = -1時(shí)，其系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等，且都為2,故此時(shí)方程有無(wú)窮 多個(gè)解。此時(shí)增廣矩陣為1-1-1 、11-1-12-1-20T0-302L121030-211 -1-110-11、T0 -

6、102T0-102<0000<000°得:二；=1,令X3£1 、X2=c0+-2<X3>I1° J二C，那么得全不解為:O(3) 當(dāng)k = -1,k = 2時(shí)，系數(shù)矩陣跟增廣矩陣秩都等與3,故方程有唯一解。五、證明：假設(shè)存在數(shù) k1, k2|kr ,1使得下面等式成立：k： ! k2 JU k r因?yàn)榉橇阆蛄颗ci,2,，亠都正交，所以C，1)=C，2)TI4C,I ； -0，-：r = 0，,0，所以有0= ,0=片1 k2： 2 IHkjr j 二 ki；l k2 ,：2IHkr ：,： r l=l , l =0k,1 k22 Ilk：

7、 r =0由向量1 /' 2 / 'r的線性無(wú)關(guān)性可知：K = k? = 111 = k = 0所以：與2,/ r線性無(wú)關(guān)。5202 1 0 六、解：A =0 0 1<0 0 10-2(B0，其中B =C-21Vb" =r1-2"1-<<-253.21 J1AB-<00C七、(1)1-2一2-2001323001313-13-1-2二(_2)3 _( -2)0 -2=(-2)(-1)( -3) =0得A的特征值為 、=1,，2 = 2, 3 = 3。(2)當(dāng)'1 =1時(shí)，解方程E - AX =0。-1-1<0-100、0

8、 ，得根底解系為:1P1 =(1,-1,0)T，故 1 所對(duì)應(yīng)的特征向量為:kpk").=2時(shí)，解方程2E - AX =0。0-10-100000>，得根底解kp2(k = 0).系為P2 =0,0,1T，故 =2所對(duì)應(yīng)的特征向量為:-1當(dāng) =3時(shí)，解方程3E - AX =0。-10，得其根底解系為p3 =1,1,0T，故故 3所對(duì)應(yīng)的特征向量為：kpkuO.八、解：配方得:2 2 2f 二 2Xi3x2 3X34X2X32244 25 292-25 2=2x1 3 x2x3x33=2 Xi3X2X2X3X3X33932 、23225 2=2yi 3y23 y32其中仏=Xi,y? = X23X3,丫3 = X3九、證：因?yàn)?1, 24： 1,： 1-2： 2,： 2-2： 3,： 3 =0,9類(lèi)似可得：i,：3=：3,：2=0所以, '2, 3正交。同時(shí)A =卩1 , Pi = 64 %, % *4&l