幾種參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、定義定義: :.)(0),(稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由方方程程xyyyxF .)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問(wèn)題問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).?0; 101222 yyxexyyxxy例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得解

2、得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 yeexyyyeyyy )(),(, 為中間變量，為中間變量，例例2 2.)1 , 0(, 144處處的的值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) x)1(04433 yyyxyx得得代代入入1, 0 yx;4110 yxy求求導(dǎo)導(dǎo)得得兩兩邊邊再再對(duì)對(duì)將將方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy例例3 3.)323, 2(191622處的切線方程在點(diǎn)求橢圓yx解解1613)(2

3、xy法一求導(dǎo)得兩邊對(duì)（法二）將方程x43)2(0928yyyx).2(43323xy方程為例例4 4：上上點(diǎn)點(diǎn)，求求過(guò)過(guò)的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CxyyxC333 解：解：,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) xyxyyyx 333322),(),(2323222323 xyxyy 。1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy。即即03 yx2323 xy法線方程為法線方程為。即即xy 故曲線通過(guò)原點(diǎn)。故曲線通過(guò)原點(diǎn)。，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)00 yx，xyxyy 22 在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程C,),(2323。線線通通過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)。，求，求：例例222255d

4、xyd dxdyxyy sin解：解：兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得xyyyy210 cosyyxycos 102的的表表達(dá)達(dá)式式兩兩邊邊求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得對(duì)對(duì)y 210102102)cos()sin()cos(yyyyyxyyy 。32210104102)cos()sin()cos(yyyxyy 觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu

5、 .1 ln xx 例：例： ,1 ln0 xxx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) ,1)1(1 ln0 xxxx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) .1 ln xx 總有總有例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy 4ln21ln311lnln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxx

6、yy )sinln(cossinxxxxxx 求求導(dǎo)導(dǎo)法法求求導(dǎo)導(dǎo)：也也可可直直接接根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))ln(sinlnsin xxexx1sinlncossinxxxxxx )()(lnsinsin xxxexy一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu練習(xí)練習(xí).),0(yxxyx求設(shè).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱

7、此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: : 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx .)(1是是中

8、中間間變變量量xt ,)()(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)若若函函數(shù)數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dtdxttdtd)()( dxdtdtdxdyd .)(1是是中中間間變變量量xt 例例解：解：dtdxdtdydxdy ，ttcossin 1taatacossin 212 2 cossin tdxdy。1 處處的的切切線線方方程程。在在求求擺擺線線21 ttayttax)cos()sin(。，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)ayaxt )(122 所求切線方程為所求切線方程為)12( axa

9、y。即即)(22 axy例例7 7解解.sincos33表表示示的的函函數(shù)數(shù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求由由方方程程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 dxdtttdtd)()( dxdtdtdxdyd dtdxttdtd)()( 例例解解.的速度大小炮彈在時(shí)刻)2(;的運(yùn)動(dòng)方向炮彈在時(shí)刻)1(求,21sin,cos其運(yùn)動(dòng)方程為,發(fā)射炮彈發(fā)射角,以初速度,不計(jì)空氣的阻力002000ttgttvytvxvxyovxvy

10、v0v.可由切線的斜率來(lái)反映,時(shí)刻的切線方向軌跡在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在)1(00tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸軸方方向向的的分分速速度度為為時(shí)時(shí)刻刻沿沿炮炮彈彈在在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時(shí)刻炮彈的速度為時(shí)刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv .,)(:),(,)()(化率稱為相關(guān)變化率化率稱為相關(guān)變化率這樣兩個(gè)相互依賴的變這樣兩個(gè)相互依賴的變之間

11、也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdxxfdtdydtdydtdxxfyyxtyytxx 相關(guān)變化率問(wèn)題相關(guān)變化率問(wèn)題: :已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率?dtdxxfdtdyxfy)(),( 即即可可得得建建立立關(guān)關(guān)系系求法：求法：例例9 9解解?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽

12、球球從從離離開(kāi)開(kāi)觀觀察察員員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)h)/(14. 0秒秒弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小時(shí)時(shí)上上升升幾幾米米米米時(shí)時(shí)問(wèn)問(wèn)水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長(zhǎng)長(zhǎng)為為水水庫(kù)庫(kù)秒秒的的體體流流量量流流入入水水庫(kù)庫(kù)中中米米河河水水以以則則水庫(kù)內(nèi)水量為水庫(kù)內(nèi)水量為水深為水深為設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻),(),(tVtht234000)(htV 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) tdtdhhdtdV 38000,/288003小小時(shí)時(shí)米米 dtdV小小時(shí)時(shí)米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) h 22232212:hhhh 截截面面積積小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)