構(gòu)造法在數(shù)列中求通項公式的應用畢業(yè)論文

1、目錄1引言22文獻綜述22.1、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀22.2、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價22.3、提出問題23、構(gòu)造法在數(shù)列中求通項公式的應用33.1、構(gòu)造一個等差數(shù)列或一個等比數(shù)列33.2、型如 (為常數(shù)且，)的數(shù)列43.3、形如的復合數(shù)列63.4、取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列73.5、特征方程構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列83.6、其它特殊數(shù)列的特殊構(gòu)造方法93.6.1、取對數(shù)來構(gòu)造新的數(shù)列93.6.2、換元來構(gòu)造新的數(shù)列103.6.3、兩個數(shù)列的復合構(gòu)造等差或等比數(shù)列103.7、逐差構(gòu)造法求高階等差數(shù)列得通項公式113.8、 構(gòu)造一個具備連續(xù)遞推功能的簡單數(shù)列133.9、歸納構(gòu)造法134、數(shù)列構(gòu)造法在數(shù)列求和

2、中的應用154.1、逐差構(gòu)造法154.2、利用組合數(shù)公式構(gòu)造數(shù)列的通項求和164.3、拆項構(gòu)造法165、數(shù)列構(gòu)造在證明中的運用175.1、構(gòu)造數(shù)列證明不等式175.2、構(gòu)造數(shù)列證明整除性命題185.3、構(gòu)造數(shù)列證明恒等式196.參考文獻201引言構(gòu)造法是運用數(shù)學的基本思想經(jīng)過認真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學模型從而使問題得以解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題的特殊性為基礎，針對具體問題的特點而采取相應的解決辦法，基本的方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來研究另一類問題的思維方法。在解題過程中，若按習慣定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以

3、啟發(fā)學生根據(jù)題目特點，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍，運用構(gòu)造法來解題也是培養(yǎng)學生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助。 數(shù)列的實質(zhì)是“按照一定規(guī)律”排列成的一列數(shù)，描述這種“規(guī)律”的最簡單的形式是通項公式。因此，求數(shù)列的通項公式是研究數(shù)列的一個主要課題。等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的前n項和所成的數(shù)列是一些最特殊最基本的數(shù)列。它們的通項公式用演繹法套公式解決。對于其它類型的數(shù)列，構(gòu)造法求通項公式是一種重要的方法，即構(gòu)造一個與原數(shù)列相關(guān)的新數(shù)列，轉(zhuǎn)化為具有特殊性質(zhì)的數(shù)列，從而找到解題的新法案。下面我們通過舉例來說明通過數(shù)列構(gòu)造法解題訓練學生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑

4、，達到思想的創(chuàng)新.2文獻綜述2.1、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀國內(nèi)外對數(shù)列的研究大多側(cè)重于研究數(shù)列的通項公式及數(shù)列的求和、數(shù)列在生活中的應用，如樓梯設計、人口增長問題、存款利率問題、分期付款問題等多方面的應用2.2、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價數(shù)列是以種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列的問題上不能只按數(shù)列的思想來看待問題，應用函數(shù)的觀點來看待數(shù)列，看待問題2.3、提出問題高中教材中的數(shù)列都是一些簡單、低階的數(shù)列，很難培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，因此應把數(shù)列穿插到函數(shù)中和適當討論一些高階的數(shù)列的通項公式、求和，以達到訓練學生發(fā)散思維，提高學生的思想的創(chuàng)新能力.3、構(gòu)造法在數(shù)列中求通項公式的應用3.1、構(gòu)造一個等差數(shù)列或一個等

5、比數(shù)列一個非等差、非等比數(shù)列，給定初始項的值及一個遞推公式（如某些高階遞歸數(shù)列），通過遞推關(guān)系式直接變形，或應用待定系數(shù)法，若能構(gòu)造成一個等差數(shù)列或以個等比數(shù)列，那么它的通項公式便可求得。例1 在數(shù)列中，已知，求通項.解 遞推式兩邊同時除以（，否則與矛盾）；構(gòu)造輔助數(shù)列；是與-3為首項，-2為公差的等差數(shù)列-+ = =1-把代入上式，得例2 已知數(shù)列滿足且，求通項.解 用待定系數(shù)法，構(gòu)造等比數(shù)列.假設可轉(zhuǎn)化為即比較系數(shù)可知 ，則、為方程的兩根： ，原關(guān)系式化為構(gòu)造一個以為首項，為公比的等比數(shù)列 把上面各式累加起來： ，其中解得 3.2、型如 (為常數(shù)且，)的數(shù)列型如 (為常數(shù)且，)的數(shù)列，其本

6、身并不是等差或等比數(shù)列，但經(jīng)過適當?shù)淖冃魏?，即可?gòu)造出一個新數(shù)列，利用這個數(shù)列可求其通項公式.（1）（為常數(shù)），可以構(gòu)造等比數(shù)列求解.例3 已知數(shù)列滿足，求通項.解 由，得又，故數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列所以 注：一般地，遞推關(guān)系式(、為常數(shù)，且，)可等價地改寫成，則為等比數(shù)列，從而可求（2）為等比數(shù)列，可構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列求解.如（為常數(shù)），兩邊同除以，得，則可轉(zhuǎn)化為得形式.例4 已知數(shù)列中，求通項.解 由條件得令，則即 ，又，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故有 ，即所以 （3）為等差數(shù)列，如型遞推式，可構(gòu)造等比數(shù)列求解.例5 已知數(shù)列滿足，求.解 令，則所以 ，帶入已知條件得 即 令，解得

7、：，所以 ，且故是以3為首項，為公比得等比數(shù)列因此 ，故.注：此例通過引入一些尚待確定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，經(jīng)過變形與比較，把問題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列（等差或等比數(shù)列）求解3.3、形如的復合數(shù)列形如的復合數(shù)列，可先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，再用疊加法、疊乘法、迭代法等方法求解 例6 已知數(shù)列滿足，求.解 有已知可得: 又所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列所以 即 ，亦即 ，又所以 數(shù)列是以首項為2，公差為6的等差數(shù)列故 因此 3.4、取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列一些較為特殊的數(shù)列，可利用“取倒數(shù)”的方法構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列求解 例7 已知數(shù)列中，求.解 由已知，得設，則故是以為首項，1為公差的等差

8、數(shù)列所以即例8 若數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，且，求數(shù)列的通項公式.解 由，得令，則有故所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列即，所以當時，由 得 所以 3.5、特征方程構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列對某些特殊的數(shù)列，可利用特征方程構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列求解如滿足 的數(shù)列，可令特征方程為，變形為，如方程由兩異根，則可令 ，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；若方程有二重根，則可令 ，則數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，然后代入的值可求得值，于是可求得.例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項.解 令，化簡得解得 ，令由，得，可得所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列故 解得 例10 已知數(shù)列滿足， ，求數(shù)列的通項.解

9、 令，化簡得解得 令由，得，求得所以數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列故所以3.6、其它特殊數(shù)列的特殊構(gòu)造方法3.6.1、通過取對數(shù)來構(gòu)造新的數(shù)列求解例11 在數(shù)列中，若且 ，求數(shù)列的通項.解 由提意可知，將兩邊同時取對數(shù)得 ，即所以數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列故 所以 3.6.2、通過換元來構(gòu)造新的數(shù)列求解例12 在數(shù)列中，求.分析 本題的難點是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，將通項進行轉(zhuǎn)化，便于化簡變形解 令，則，即則原條件轉(zhuǎn)化為化簡得 ，即變形得所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列故 ，即所以 3.6.3、對于兩個數(shù)列的復合問題，也可構(gòu)造等

10、差或等比數(shù)列求解.例13 在數(shù)列、中，且，求，的通項公式.解 構(gòu)造新數(shù)列，則令，得或所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列當時，數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列.故 當時，數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列聯(lián)立兩式得 解得，.3.7、逐差構(gòu)造法求高階等差數(shù)列得通項公式對于數(shù)列，若則數(shù)列叫做等差數(shù)列；令，則數(shù)列叫做一階差分數(shù)列，若是等差數(shù)列，則叫做的一階等差數(shù)列；令，數(shù)列叫做的二階差分數(shù)列，若是等差數(shù)列，則叫做的二階等差數(shù)列；數(shù)列是的階差分數(shù)列，若是等差數(shù)列，則數(shù)列叫做的階等差數(shù)列.下面以二階等差數(shù)列為例說明怎樣求高階等差數(shù)列的通項公式.設數(shù)列是數(shù)列的一階差分數(shù)列，即；數(shù)列是的二階差分數(shù)列，即；是等差數(shù)列，首項

11、為，公差為.則又，所以于是 最后的結(jié)果可作為二階等差數(shù)列的通項公式.例14 已知數(shù)列的前6項依次為0, 4, 18, 48, 100, 180，求數(shù)列的通項式. 解 設為的一階差分數(shù)列，它的前5項依次為：4, 14，30， 52，80；數(shù)列為的二階差分數(shù)列，它的前4項依次為：10, 16，22, 28. 數(shù)列是的二階等差數(shù)列，. 3.8、 構(gòu)造一個具備連續(xù)遞推功能的簡單數(shù)列 這里所指的是解題的思維意向，一個模糊的模式，不是解題的具體方法和步驟，也不依賴于某個公式一切均與由問題的條件出發(fā)進行探索例15已知數(shù)列滿足，且，求通項解用合比定理，把化為：構(gòu)造數(shù)列使則即解得3.9、歸納構(gòu)造法通過有限構(gòu)造性

12、試驗，推測一般結(jié)論，讓后用數(shù)學歸納法去證明例16求數(shù)列的通項公式解構(gòu)造分式取，2，3，4，5時，其分式的值一次為，觀察這個有限的前5項可知：各分數(shù)的分母為常數(shù)3，分子組成一個以3為首項，2為公差的等差數(shù)列于是可推測它的第項是那么則用數(shù)學歸納法證明此結(jié)論：當時，結(jié)論成立；假設時結(jié)論成立，則有那么當時，左邊有 右邊有 即當n=k+1時，等式左邊等于等式的右邊所以對于一切n，等式都成立故 注：1并不是任何數(shù)列都可以求出其通項的，能夠求出通項的只是一些特殊的數(shù)列。例如數(shù)列1，1.4，1.41，1.414，就沒有通項公式；2同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如數(shù)列1，1，1，1，其通項公式為，；3

13、數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項與數(shù)集中元素的異同，因此在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性。從上述各題構(gòu)建新數(shù)列的過程中，可以看出對題設中遞推式的觀察、分析，并據(jù)其結(jié)構(gòu)特點進行合理變形，是成功構(gòu)建新數(shù)列的關(guān)鍵。構(gòu)建新數(shù)列的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數(shù)學問題的共性之所在4、數(shù)列構(gòu)造法在數(shù)列求和中的應用4.1、逐差構(gòu)造法一個自然數(shù)高次冪所組成的數(shù)列，它的前項和可以通過逐差構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化為用自然數(shù)低次冪的前項的和來表示例17求解構(gòu)造數(shù)列 即 4.2、利用組合數(shù)公式構(gòu)造數(shù)列的通項求和運用此

14、方法時，把一個數(shù)列的通項轉(zhuǎn)化為用組合數(shù)表示，要注意公式的逆向性例19 求數(shù)列的前項和解設數(shù)列的通項為 故數(shù)列的前項和4.3、拆項構(gòu)造法在數(shù)列中，若能構(gòu)造數(shù)列，使那么例20 計算解設數(shù)列，故設輔助數(shù)列： 則， 于是5、數(shù)列構(gòu)造在證明中的運用5.1、構(gòu)造數(shù)列證明不等式相當多的數(shù)學問題，尤其是證明不等式，嘗試一下“構(gòu)造數(shù)列”能產(chǎn)生意想不到的效果構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列的單調(diào)性證明不等式如果要證明不等式，構(gòu)造數(shù)列：，若且是遞增數(shù)列，即，于是證明了例21 在中，為直角邊的長，為斜邊的長求證：證明根據(jù)勾股定理可知，即 顯然有 ，構(gòu)造數(shù)列：首項因為又，有，所以故數(shù)列是遞減數(shù)列當時，即則不等式成立5.2、構(gòu)造數(shù)列證

15、明整除性命題定理對于數(shù)列，的充要條件是且例試證能被7整除.證明22 構(gòu)造數(shù)列：， 則 ，又根據(jù)定理可知即能被7整除. 5.3、構(gòu)造數(shù)列證明恒等式例23 已知，設，求證：證明 構(gòu)造數(shù)列因為 所以 即 注：一般要證明成立，我們通常轉(zhuǎn)化為證明成立.從以上各例不難看出，數(shù)列構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，體現(xiàn)了數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要的數(shù)學方法。運用數(shù)列構(gòu)造法解數(shù)學題可從中欣賞數(shù)學之美，感受解題樂趣，更重要的是可開拓思維空間，啟迪智慧，并對培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神大有裨益。 6.參考文獻1、 侯繁義，數(shù)學思維與數(shù)學方法。長春：東北師范大學出版社，1991

16、2、 邵光華等，數(shù)這思想方法與中學數(shù)學，北京：北京師范大學出版社，19993、 王國軍，蔣園仙，證明不等式的常用處理技巧，中學數(shù)學教與學，2000（10）4、 宋玉連，構(gòu)造法在解題中的應用芻議，連云港教育學院學報，1999（2）5、 劉運生，黃建忠，構(gòu)造法解數(shù)學題。廣東高等教育出版社，1911（108-121）6、 江蘇教育廳編，蘇教版高中數(shù)學必修五M北京：教育科出版社200437、 明知白主編數(shù)論求和J北京：北京師范大學出版社200368、 劉光武主編，數(shù)列方法論M北京：中華書局出版社197759、 曾慶榮 廣東教育：綜合版 2006 第24期 10、管宏斌 數(shù)學教學研究 2007 第12期 11、陸加龍 戴志祥 數(shù)學教學研究 2002 第9期 序號名稱規(guī)格型號單位數(shù)量備注一制冷系統(tǒng)1壓縮機組4AV10臺42冷凝器LN-70臺13貯氨器ZA-1.5臺14桶泵組合ZWB-1.5臺15氨液分離器AF-65臺16集油器JY-219臺17空氣分離器KF-32臺18緊急泄氨器JX-108臺19冷風機KLL-250臺810冷風機KLD-150臺411冷風機KLD-100臺212閥門套8613電磁閥套614管道及支架噸18.615管道及設備保溫m32216管道保溫包