勾股定理知識點的總結(jié)及練習

1、實用標準文案精彩文檔第 課時第十八章勾股定理一.基礎知識點：1:勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊 c的平方。(即：a2+b22、=c )要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系, 質(zhì)之一，其主要應用：(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(在是直角三角形的重要性MBC 中，/C=900，則c = a2 b2 , b = c2 -a7 ,(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩(3)利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題2:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面

2、積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法, 常見方法如下：列出等式，推導出勾股定理122方法'：4s十S正方形efgh =S正方形abcd, 4 ab +(b a) =c ,化間可證.方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S =4 x-ab +c2 =2ab +c22所以 a2 b2 =c2大正方形面積為 S =(a b)2 = a2 - 2ab - b2=2 ,lab+c2,化簡得證 221一 一 一方法二：&弟形(a +b) (a *b)，SO =2S&de +Sbe即 a2+b2=c2 中，a

3、 , b , c 為3:勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù),正整數(shù)時，稱a, b, c為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n2 -1,2n,n2 +1 (n之2, n為正整數(shù))；2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1 (n為正整數(shù))m2n2,2mn,m2+n2 ( m>n, m , n 為正整數(shù))規(guī)律方法指導1 .勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關系相互轉(zhuǎn)化證明的。2 .勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊

4、關這是這個知系的題目。3.勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊, 識在應用過程中易犯的主要錯誤。二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例1.在 AABC 中，CC =90°.已知 AC =6 , BC =8 .求AB的長已知AB =17, AC =15,求BC的長分析：直接應用勾股定理a2+b2 =c2解： AB = . AC2 BC2 =10 BC =：AB2 AC'=8題型二：利用勾股定理測量長度例題1如果梯子的底端離建筑物 9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型后,已知斜

5、邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理 aC+bC=aB即AC2+92=152,所以AC=144，所以AC=12.例題2如圖（8）,水池中離岸邊 D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度 AC.解析：同例題1 一樣，先將實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，如圖2.由題意可知 ACD中,/ACD=90 ,在RtACD中，只知道CD=1.5,這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標準解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2,根據(jù)勾股定理， AC2+CD=AD設水深 AC= x 米，那么 AD

6、=AB=AC+CBf+0.5x2+1.5 2= （ x+0.5） 2解之得x=2.故水深為2米.題型四：利用勾股定理求線段長度例題4如圖4,已知長方形 ABC邛 AB=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點 E,將 ADEW疊使點D恰好落在BC邊上的點F,求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設元是關鍵。詳細解題過程如下：解：根據(jù)題意得 RtAADE RtAAEF/ AFE=90 , AF=10cm, EF=DE設 CE=xcm,貝U DE=EF=CDCE=8- x在Rt ABF中由勾股定理得：AE2+BF=AF2,即 82+bF"=102,BF=6cm.CF=BC-

7、 BF=10- 6=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE+CF2,即(8 x) 2=x2+42 .64 16x+x2=2+16. .x=3(cm),即 CE=3 cm注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積第 課時第十八章勾股定理一.基礎知識點：1:勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c,則有關系a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。 要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c;（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等

8、關系，若 c2=a2+b2,則4ABC是以/ C為直角的直 角三角形（若c2>a2+b：則4ABC是以/ C為鈍角的鈍角三角形；若 c2<a2+b2,則4ABC為銳角 三角形）。（定理中a, b, c及a2+b2 =c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a , b , c滿足a2+c2 =b2,那么以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊）2:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關。3:互逆命題的概念如果一個命題的題設和結(jié)論

9、分別是另一個命題的結(jié)論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。a2+b2=c2, ?那么這個C4 .勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a, b, c有下列關系:三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形 的判定方法.5 .?應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主 要是進行代數(shù)運算，通過學習加深對數(shù)形結(jié)合”的理解.我們把題設、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）二、經(jīng)典例題精講題型一：勾股定理和逆定理并用例題3 如圖3,正

10、方形ABCM, E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且-1-口-。，一，八，F(xiàn)B =-AB那么 DEF是直角三角形嗎？為什么？4解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。 仔細讀題會意1可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由 FB=AB可以4設 AB=4a,那么 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAAFD、RtBEF和 Rt CDE中，分別利用勾股定理求出 DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。詳細解題步驟如下：解：設正方形 ABC曲邊長為4a,貝U BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a 在 RtCDE

11、中，DF=CD+CE=(4 a) 2+(2 a)2=20 a2 同理 EF2=5a2, DF 2=25a2在 DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=D.DEF是直角三角形，且/ DEF=90 .注：本題利用了四次勾股定理， 是掌握勾股定理的必練習題。題型二：利用勾股定理逆定理判斷垂直一一例題5如圖5,王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與 AB 邊和 CDi,他測得 AD=80cm AB=60cm BD=100cm AD邊與 AB 邊垂直嗎？怎樣去驗證 AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖4,矩形A

12、BC常示桌面形狀，在 AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm想想為什么要設為這兩個長度？)，連結(jié)MN測量MN的長度。如果MN=15則AM+A2=MN,所以AD邊與AB邊垂直；如果 MN=awl5,則 92+122=81+144=225, a2w225，即 92+122W a；所以/ A 不是直角。利用勾股定理解決實際問題一一例題6有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻Al D上，任何東西只要移至 5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？JL圖5解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應該是頭先距

13、離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，如圖 6所示，A點表示控制燈，BM表示人的高度，BC/ MN,BCL AN當頭(B點)距離A有5米時，求BC的長度。已知 AN=4.5米，所以AC=3米，由勾股定理，可計算BC=4米.即使要走到離門 4米的時候燈剛好打開。題型三：旋轉(zhuǎn)問題：例1、如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP'重合, 若AP=3,求PP'的長。c變式1:如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=2 J3 ,PC=4,求 ABC的邊長.廿/八、分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將 BP圈點B逆時針選擇60。，將三條線段集中到同一個三角形中， 根

14、據(jù)它們的數(shù)量關系，由勾股定理可知這是一個直角三角形''變式2、如圖， AB等腰直角三角形,BAC=90 , E、F是BC:的點，且/ EAF=45 ,試探究BE2、CF2、EF 2間的關系，并說明理由題型四：關于翻折問題例1、如圖，矩形紙片 ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,變式：如圖，AD是4ABC的中線，/ ADC=45° 的位置，BC=4求BC'的長.,把 ADC沿直線AD翻折，點C落在點C'BC上一點，將矩形紙片沿 AE折疊，點B恰 在CD邊上的點G處，求BE的長.圖M9i=L題型五：關于勾股定理在實際中的應用：例1、如圖，公路MN和公

15、路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學， AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時， 周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知 拖拉機的速度是18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？題型六：關于最短性問題例5、如右圖1 19,壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己 的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.

16、請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？（兀取3.14,結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是1cm,假設一只螞蟻每秒爬行 2cm,則它從下地面 A點沿表面爬行至右側(cè)面的 B點，最少要花幾秒鐘？第 課時勾股定理練習一.填空題：1 .在 RtAABC 中，/ C=90°（1）若 a=5, b=12,則 c=;（2） b=8, c=17,貝U Saabc =o2 .若一個三角形的三邊之比為5： 12 ： 13,則這個三角形是 （按角分類）。3 .直角三角形的三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則其周長為 。4 .傳說，古埃及人曾用“

17、拉繩”的方法畫直角，現(xiàn)有一根長24厘米的繩子，請你利用它拉出一 個周長為 24厘米的直角三角形，那么你拉出的直角三角形三邊的長度分別為 厘 米,厘米,厘米淇中的道理是 .5 .命題“對頂角相等”的逆命題為 ，它是命題.（填“真”或“假”） 6.觀察下列各式：32+42=52； 82+62=102； 152+82=172； 242+102=262；你有沒有發(fā)現(xiàn)其 中的規(guī)律？請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出接下來的式子： 。7 .利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖（最早由三國時期的數(shù)學家趙爽給出的）.從圖中可以看到：大正方形面積=小正方形面積十四個直角三 角形面積.因而c2=+

18、,化簡后即為 c2=.第8題圖8 . 一只螞蟻從長、寬都是 3,高是8的長方體紙箱的 A點沿紙箱爬到 B點，那么它所行的 最短路線的長是。選擇題:9.觀察下列幾組數(shù)據(jù):(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25.其中能作為直角三角形的三邊長的有（）組A.1B. 2C. 3D. 410 .三個正方形的面積如圖，正方形 A的面積為（）A. 6B. 4 C. 64D. 811 .已知直角三角形的兩條邊長分別是5和12,則第三邊為（A. 13 B .7119C . 1 3 或 <71912 .下列命題如果a、b、c為一組勾

19、股數(shù)，那么 4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；如果直角三角 形的兩邊是5、12,那么斜邊必是13;如果一個三角形的三邊是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形；一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c, （a>b=c）,那么a2 ：b2 : c2=2 ： 1 ： 1。其中正確的是（）A、B、C、D、13 .三角形的三邊長為(a+b) 2=c2+2ab,則這個三角形是()A.等邊三角形；B.鈍角三角形；C.直角三角形；D.銳角三角形.14 .如圖一輪船以16海里/時的速度從港口 A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口 A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距()A、25海里B、30海里 C、35海里 D、40海里15 .已知等腰三角形的腰長為10,一腰上的高為6,則以底邊為邊長的正方形的面積為()A、40B、80C、40 或 360