指數(shù)與對(duì)數(shù)地運(yùn)算

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔文案大全【課標(biāo)要求】14(1)通過(guò)具體實(shí)例(如細(xì)胞的分裂，考古中所用的C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等)，了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；(2)理解有理指數(shù)哥的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)哥的意義，掌握哥的運(yùn)算。(3)理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)， 知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過(guò)閱讀材料,了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用；【命題走向】指數(shù)與對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，在歷年的高考中一般不單獨(dú)命題。大多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問(wèn)題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，明確算 理，能對(duì)常見的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)

2、型函數(shù)進(jìn)行變形處理?！疽c(diǎn)精講】1、整數(shù)指數(shù)哥的概念。n0n 1(1)概念：a =a ,a a a(n w N*) a =1(a=0) a =-n (a = 0, n w N*) .an個(gè)am n m n a a = a (m,n Z) (2)運(yùn)算性質(zhì)：(am)n =amn(m,nwz)兩點(diǎn)解釋：am + an可看作am，a(ab)n -an bn(n Z) n m . n m _nm _na za nn n an n n a a 丁a =a a =a(一)可看作 a b(-) =a b =-bbbn2、根式：(1)定義：若xn=a(n>1, nNQ則x叫做a的n次方根。(2)求法：當(dāng)n

3、為奇數(shù)時(shí)：正數(shù)的n次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的 n次方根為負(fù)數(shù) 記作：x = n/a當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 n次方根有兩個(gè)(互為相反數(shù))記作：x = ±n£負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根0的任何次方根為 0名稱： 叫做根式n叫做根指數(shù)a叫做被開方數(shù)(3)公式:(n/a/ = a ；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)nan = a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)nan =|aa(a 之 0)a(a<0)3、分?jǐn)?shù)指數(shù)哥m(1)有關(guān)規(guī)定：事實(shí)上，(ak)n =akn若設(shè)a>0,k = m(n a 1,n w N*) ,(ak)n = (a n)n=am 由 n次根式nmm定義，a是am的n次方根，即：2工=行(2)同樣規(guī)定：ama

4、n(a >0, m,n N*且n>1); 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0, 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥沒(méi)有意義。(3)指數(shù)哥的性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)推廣到有理指數(shù)募。a r a s = ar s (a . 0,r,s 三 Q ) (ar)s=ars(a . 0 , r , s Q ) (ab)r=arbr(a 0,b0,r Q )(注)上述性質(zhì)對(duì) r、SWR均適用。4、對(duì)數(shù)的概念(1)定義：如果a(a >0,且a =1)的b次哥等于N,就是ab = N，那么數(shù)b稱以a為底N的對(duì)數(shù)，記作loga N = b,其中a稱對(duì)數(shù)的底，N稱真數(shù)。以10為底的對(duì)數(shù)稱常用對(duì)數(shù)，log 10 N記作lg N

5、 ;以無(wú)理數(shù)e(e= 2.71828)為底的對(duì)數(shù)稱自然對(duì)數(shù)，log e N ,記作in N ；(2)基本性質(zhì)：真數(shù)N為正數(shù)(負(fù)數(shù)和零無(wú)對(duì)數(shù))；2) loga1=0; loga a =1 ； 4)對(duì)數(shù)恒等式：alogaN = N 。(3)運(yùn)算性質(zhì)：如果 a >0,a =0,M >0, N >0,則 lOg a(MN ) = lOga M +lOga N ； log a M = log a M -log a N ； loga M n = nlog a M (n W R)。 N(4)換底公式：log a N = 10g m N (a a Q a = 0,m > 0, m =

6、1, N > 0), logm a兩個(gè)非常有用的結(jié)論10g a b log b a = 1 ;log am bn = log ab o a m【注】,指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程主要有以下幾種類型：(1) af(x)=b=；f(x)=log ab, logaf(x)=b y f(x)=ab;(定義法)(2) af(x)=ag(x)u f(x)=g(x), log af(x)=log ag(x)=f(x)=g(x)>0，(轉(zhuǎn)化法)(3) af(x) =bg(x)y f(x)log nQ=g(x)log mb (取對(duì)數(shù)法)(4) log af(x)=log bg(x) u log af(x)=l

7、og ag(x)/log ab(換底法)【典例解析】題型1:指數(shù)運(yùn)算3 J 4J_12例 1. (1)計(jì)算:(3-) 3(5一)0.5 +(0.008) 3 號(hào)(0.02) 2 M (0.32)2 +0.0625°.25 ;89(2)化簡(jiǎn)3 3.2 - . 2 - . 3(3)化簡(jiǎn):41a3 -8a3b-丁:4b3 23 ab a32(a3(4)化簡(jiǎn):4133a 8a b223_ab 4b號(hào)-：-(1 -23 b) 3 a, a11例2.已知x2 ” 2x2 x-2 /古 飛一一的值。 x2 x 或-3題型2:對(duì)數(shù)運(yùn)算例3 .計(jì)算2(1) (lg2)+ lg 2 1g 50 + lg

8、25； (2) (log3 2+log9 2Hlog43+log8 3)；(3 lg5 lg 8000 (lg2 3)23)111g 600 1g 0.036 -lg 0.122例4.設(shè)a、b、c為正數(shù)，且滿足a2+b2 =c2b ca -c(1)求證：log2(1 +) +log2(1 +) =1 ；abb c（2）右 log4（1 +） =1 , log8（a + bac) =2 ,求 a、b、c的值。3例 5。（1）已知 10g 18 9 = a , 18 b = 5 ,求log 36 45 （用 a, b表示）一 、，一.111（2）設(shè) 3x=4y=6z=tA1求證：-z x 2y題型

9、4:指數(shù)、對(duì)數(shù)方程例 6:解方程（1） log 2x2 1 3x2 2x -1 =1 10g2 log 3 10g4 x 1-0例7.設(shè)關(guān)于x的方程4x -2x41 -b =0(b WR),(1)若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) b的取值范圍；(2)當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解?！眷柟叹毩?xí)】1.若 log2 log310g4 X =log3 log4 log2 y =log4 log210g3 z = 0 ,則 x + y+ z的值為A. 50 B .58 C .89 D . 1112 .若 9-2 3J =27 ,則 x=;3 .已知y =4X 3，2X +3的值域?yàn)? , 7

10、,則X的取值范圍是（）A. 2, 4 B. (Q,0) C. (0,1)U2,4 D. (-o,0)U1,23x-y4 若 10x =2,10y =3,則 10= =不 45.已知 a226. (1) lg5 +Tg8 +lg51g20 +(lg2); = (a>0)9(2)log2 5+log 4 0.2 10g5 2+log250.5 .X ,7.右 lg (x -y )+lg (x +2y ) = lg 2 +lg x 十lg y ,求一的值.y8.解下列指數(shù)方程:82x =128(2)29x 5 = 16x2'278x =81x2 4(4)52x -23 5X -50 =

11、09.解下列對(duì)數(shù)方程2(1og3x) 1ogg3x = 2log 2(x 14) log2(x 2) -3 log2(x 6) (2)1g、5x 51=1 1g(2x-1)2(4)log 21og 3(1og 2 x) -1=010.如果函數(shù)y =a2x+2ax 1(a >0,a #1)在區(qū)間卜1 , 1上的最大值是14,求a的值。11.設(shè) f (x) =1gx x1243a ., 一若x w (3,1時(shí)f (x)有意義，求實(shí)數(shù)a的范圍?！舅季S總結(jié)】1 . VN =a,ab = N,1oga N =b (其中N >0,a >0,a =1)是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此

12、在許多問(wèn)題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算.在運(yùn)算中，根式常常化為指數(shù)式比較方便，而對(duì)數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底；2 .要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式 分解、有理化(分子或分母)、拆項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過(guò)各種題型的訓(xùn) 練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)；3 .解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問(wèn)題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指 數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識(shí)；【課后作業(yè)】1.計(jì)算。1)2 2) Y5 2次十 4/5 + 2762.化簡(jiǎn)下列各式(結(jié)果用有理數(shù)

13、指數(shù)騫表示)：2(1) -a4a3 Na9(2)% a2 aa "vVa" '3/a13(a#0);3 .化簡(jiǎn)下列各式(結(jié)果用有理數(shù)指數(shù)哥表示)211115(x3y4z)(xy4z3)飛(1) (2a§b2)(-6a2b3)+(3a6b6)；4 .已知a + a，=7 ,求下列各式的值：11(1) a2+a2；(2) a2+a“；(3) a3+a,；5 .計(jì)算：(1) 2(lg&)2 +lg 亞 lg5 +、(lg,2 lg2+1 ；(2) 210g32 log3 32+log3 8 32 加g35; (3) 1g22 1g 250+lg 25 1

14、g 4096. (1)已知 a =log3 2, 3b =5 ,用 a,b表示 log3、；30 ;(2)設(shè) lg 2 = a, lg 3 = b ,用 a,b 表示 log 512 ；7. 設(shè) x>1, y>1,且 210gxy2logyx+3=0,求 T =x24y2 的最小值。8. (1)已知 3x = 4y = 36 ,求 x +2y 的值。xy答案詳解題型1：指數(shù)運(yùn)算-14 2-：-(2)41010000，2128 -49 71000 二 一例 1.解：(1)原式=(2)3 (49)2+(u00)3 + J50M2798r4 71421, 1725=(一9 35 2102

15、92+ 2)父 2 = - ；9(2)原式=2(33)一2(3 3)2 - ,4 -2.32 - v ( - 3 -1)22(3 ,3)3 - , 32(33)2_ -2(12 6.3) _2 2 , 6(3 - . 3)(3 . 3)6(注意復(fù)習(xí)，根式開平方)11111原式=U3(a3)3-(2b3)3alb!1111ToTT二。3(a3)2 a3 (2b3) (2b3)22 1(a a)(a2 a3)551116333aa二a3(a3 -2b3) -1 1- 336a- 2ba1二a3 a a1(4)原式= 2 a3(a -18b)a3 2a3b3 4b1o31a3a3211 a3c33a

16、 - 2ba(a -8b)a -8b點(diǎn)評(píng)：根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)求解，對(duì)化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式保留；一般的進(jìn)行指數(shù)塞運(yùn)算時(shí)， 化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。1111例 2.解：x2 +x 2 =3, ，(x2 +x 2)2 =9, ，x + 2 + x/ = 9, ，x + x，= 7 ,、2_2_2_ (x +x ) =49 , x +x =47 ,3311又 x2 +x 2 =(x2 +x 2) (x 1 + x,) =3 (7 1) = 18 ,點(diǎn)評(píng)：本題直接代入條件求解

17、繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。題型2:對(duì)數(shù)運(yùn)算例 3 解：(1)原式=(|g 2)2 +(1 +lg5)lg 2 +lg5 2 =(lg2 +lg5 +1)lg 2+2lg5=(1+1)lg 2+2lg5 =2(lg2+lg5) =2；(2)原式=(監(jiān)型)(監(jiān).蛆)=(跛 X).(里.)=31g2 5g3 = 5lg3 lg9 1g 4 lg8 lg3 2lg3 2lg 2 3lg 2 2lg 3 6lg 2 422cx x -233x2 x 2 -347-2 -=3。18-3(3)分子=1g5(3+31g2) +3(1g 2)2 = 31g 5+31g 2(1g 5 + 1g 2)

18、 = 3 ；分母= (1g6+2)1g jW7MngG+Z lg?：4；二原式二。 1000 101004點(diǎn)評(píng)：這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。a b c . a b-c .,a b c a b -c、例 4. 證明：(1)左邊=log 2+log2 = log 2()aba blog222(a b) -cab22222, a 2ab b -c , 2ab c -c= l0g2 =l0g2abab=10g 2 2 = 1 ；b c解：(2)由 10g 4(1

19、+)=1 得 1 ab c+=4, . 3a+b + c = 0a223由 log8(a +b -c)= 一得 a+bc=8(2) 10g 3(log4 X )=1,log4 X =3 , X =4 =64例 7.解：(1)原方程為 b=4x2x 由，: 4x 2x+=(2x)2 2父2、= (2x 1)2 1 之一1 , ,當(dāng)bW-1,收)時(shí)方程有實(shí)數(shù)解; =43由+得b-a =2由得 c=3a b,代入 a2 +b2 =c2 得 2a(4a - 3b) =0 ,i a >0, 4a -3b =0由、解得a=6, b=8,從而c = 10。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問(wèn)題，還是以對(duì)

20、數(shù)運(yùn)算法則為主，將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見形式再來(lái)處理即可。題型3：指對(duì)數(shù)式的簡(jiǎn)單應(yīng)用18b 一例 5 (1) 解：log 18 9 = a - 10g18 一 =1 log 18 2 = a log 18 2 = 1 - a -18= 5210g18 4510g18 9 10g18 5 a blog 18 (2)當(dāng)b = 1時(shí)，2X =1,，方程有唯一解 x = 0;當(dāng) b>1 時(shí)，:(2X -1)2 =1+b= 2X=1±j1+b. = b - log 36 45 =10g18 36110g18 22 -a. qxy 仆lgt lg t lgt(2)讓：- 3 =4 =6 =t A

21、1. x =q一y = z =1g31g41g6.111g 6lg 31g 21g 4_ 1zx lgtlgtlgt21g t 2y題型4:指數(shù)、對(duì)數(shù)方程例 6: 解(1) 3x2 +2x 1 = 2x2 -1 = x2 +2x =0= x =0, x = -22x2 -1 0但必須：2 2x2 1 #1，x=0 舍去 x=-22_3x2 2x -1 0: 2x >0,1 + iT+b 0 0, A 2x =1 + T1Tb 的解為 x = log2(1 + j!Tb)；令 1 _J1 +b >0= Ji + b <1= -1 <b <0,.-,當(dāng)1 <b<0 時(shí),2x =1 Ji +b 的解為 x =