王矜奉固體物理習題

1、僅供個人參考For personal use only in study and research; not for commercial use晶體的結構習 題i.以剛性原子球堆積模型，計算以下各結構的致密度分別為:(1)簡立方，；(2)體心立方,，3n；一 、2(4)六角密積，土;68(3)、42面心立方，H6(5)金剛石結構，*不得用于商業(yè)用途解答設想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體 積的比值稱為結構的致密度，設n為一個晶胞中的剛性原子球數(shù),r表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體43n-r 積，則致密度：=一 V(1)對簡立方晶體,如圖1.2所示,任一個原子

2、有6個最近鄰，若原子以剛性球堆積, 中心在1,2, 3, 4處的原子球將依次相切，因為、3a =4r,V =a3,面1.2簡立方晶胞 晶胞內包含1個原子，所以、=33)3 二=a3-6(2)對體心立方晶體，任一個原子有 8個最近鄰，若原子剛性球堆積，如 圖1.3所示，體心位置O的原子8個角頂位置的原子球相切，因為晶胞空間對角線的長度為'''3a =4r,V = a3,晶胞內包含2個原子，所以9*4 3a 3 :_ 2 3(4)'=3a圖1.3體心立方晶胞(3)對面心立方晶體，任一個原子有12個最近鄰，若原子以剛性球堆積, 如圖1.4所示，中心位于角頂白原子與相鄰

3、的 3個面心原子球相切，因為2a =4r,V =a3, 1個晶胞內包含4個原子，所以4：二一*3(Y)32：圖1.4面心立方晶胞(4)對六角密積結構，任一個原子有 如圖1。5所示，中心在1的原子與中心在 子與中心在6, 7, 8的原子相切，圖1.5六角晶胞12個最近鄰，若原子以剛性球堆積，2, 3, 4的原子相切，中心在5的原晶胞內的原子。與中心在1, 3, 4, 5, 7, 在5, 7, 8處的原子分布在正四面體的四個頂上,h= 4住 a =2/2r = 2圖1.6正四面體8處的原子相切，即。點與中心 因為四面體的高。 .3 .晶胞體積V= ca sin 60 = ca一個晶胞內包含兩個原子

4、，所以_ 2y 二照）3 匕芋ca2(5)對金剛石結構，任一個原子有 4個最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1.7所示，中心在空間對角線四分之一處的 O原子與中心在1, 2, 3, 4處的原子相切，因為,3a =8r,晶胞體積一個晶胞內包含圖1.7金剛石結構 8個原子，所以4338* 3兀（a）-8=316a2 .在立方晶胞中，畫出(102), (021), (122),和(210)品面。解答圖1.8中虛線標出的面即是所求的晶面。)表示，它們代表3 .如圖1.9所示，在六角晶系中，晶面指數(shù)常用(hkml一個晶面在基矢的截距分別為 曳，生，生，在C軸上的截距為 h k m證明：h+k=-m 求出

5、O, A1A3, AA3B3B,A2B2B5A5 和 A1A3A5 四個面的面 指數(shù)。圖1.9六角晶胞對稱畫法解答設d是晶面族(hkml )的面間距，n是晶面族的單位法矢量，晶面族(hklm ) 中最靠近原點的晶面在a 1a2a3,c軸上的截距分別為 a1/h,a2/k,a3/m,c/l所 以有a1 ?n = hd ,a2?n = kd ,a3 ?n = md .因為所以a3?n = -(a2 +a3)?n。由上式得到md = (hd kd).即由圖可得到：O'AA3晶面的面指數(shù)為(1121)A1A3B3B1面的面指數(shù)為(1120)A2B2B5 A5晶面的面指數(shù)為(1100)AA3 A

6、5晶面的面指數(shù)為(0001)4.設某一晶面族的面間距為 d ,三個基矢 叢e2e3的末端分別落在離原點的距離為h1d , h2d,h3d的晶面上，試用反證法證明：h1, h2,卜3是互質的。解答設該晶面族的單位法量為a1,a2,a3由已知條件可得a1？n 二 h1d,a2?n = hd, a3?n = hsd,假定h1,h2,h3不是互質數(shù)，且公約數(shù)P # 1即K,k2,k3是互質的整數(shù),則有a1 ?n = pk1d,a2?n = pk2d,a3?n = pk3d今取離原點最近的晶面上的一個格點，該格點的位置矢量為 由于心定是整數(shù)，而且r ?n = d = 1冏？門 12a2 ?n 13a3

7、?n于是得到由上式可得上式左端是整數(shù)，右端是分數(shù)，顯然是不成立的。矛盾的產(chǎn)生是p為不等于1的整數(shù)的假定。也就是說，p只能等于1,即幾由2小3 一定是互質數(shù)。5.證明在立方晶體中，晶列hkl與晶面（hkl）正交，并求晶面（hikili）與 晶面（h2 k2I2）的夾角。解答設d是為晶面族（hkl ）的面間距，n為法向單位矢量，根據(jù)晶面族的定 義，晶面族（hkl）將a,b, c分別截為h,k,1等份，即a?n=acos(a,n)=hd, b?n=bcos(b,n)=kd, c?n=ccos(c,n)=ld 于是有一 dd d ,n= h i + k j+ l - kaaad=(hi +kj+l k

8、) a其中，i ,j,k分別為平行于a,b,c三個坐標軸的單位矢量，而晶列hkl 的方向矢量為R=hai+kaj +lak=a（h i+kj+l k）由（1）, （2）兩式得d .n= 2 R a即n與R平行，因此晶列hkl與晶面（hkl ）正交。對于立方晶系，晶面（hikili）與晶面（h2k2切 的夾角，就是晶列R i = hi a+ kib+ li c與晶列R 2 = h2 a+ k2 b+l2 c的夾角，設晶面（hikili）與晶面（h2k2li）的夾角為華 由_I I'2.9.9.'9.9.99Ri ?R2 = Ri R2 cos邛=”+k +l Jh2 +k2 +l

9、2a cos中222=h1h2ak1k2 a1112a得6.如圖1.10所示，B,C兩點是面心立方晶胞上的兩面心, (1)求ABC面的密勒指數(shù)；(2)求AC晶列的指數(shù)，并求相應原胞坐標系中的指數(shù) 圖1.10面心立方晶胞解答(1)矢量BA與矢量BC的叉乘即是 ABC面的法矢量11BA = OA-OB = (a b) -(b c) (2a b-c), 22因為對立方品系，晶列hkl與晶面族(hkl )正交，所以ABC面的密勒指數(shù)為 (131).-11 ,(2) AC=OC-OA=c (a b) - (a b) (a b - 2c). 22可見AC與晶列(a+b-2c)平行，因此AC晶列的晶列指數(shù)為

10、112.由固體物理教程(1?3)式可得面心立言結構晶胞基矢與原胞基矢的關系晶歹U (a+b-2c)可化為 (a+b-2c)=-2(a1 +a2 -2a3) 由上式可知，AC晶列在原胞坐標系中的指數(shù)為1127 .試證面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。解答設與晶軸a,b,c平行的單位矢量分別為i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取為a1 =1( j k)，2由倒格矢公式b= 2b3=211 11可得其倒格矢為設與晶軸a,b,c平行的單位矢量分別為i,j,k，體心立方正格子的原胞基矢可取為 以上三式與面心立方的倒格基矢相比較，兩者只相差一常數(shù)公因子，這說明面心立方的倒格子是體心

11、立方。將體心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式則得其倒格子基矢為可見體心立方的倒格子是面心立方。8 .六角晶胞的基矢求其倒格基矢。解答晶胞體積為11 =a b c其倒格矢為9 .證明以下結構晶面族的面間距： 1 (1)立方晶系：dhki =ah2 +k2 +12廠，(2)正交晶系：dhki =(h)2 +(k)2 +(-)24 a b c21 2(3)六角晶系：dhki =-(-Tk)+(L)2- 3 a2c222 i(4)簡單單斜：dhki = 12 口(h2 + l2 . 2hlP) + k22.sin ： a c ac b解答(1)設沿立方晶系軸a,b,c的單位矢量分別為i,j,k,則正格

12、子基矢為 圖1.11立方晶胞倒格子晶矢為與晶面族(hkl)正交的倒格為由晶面間距dhki與倒格矢Khki的關系式d hki2 二d hkiKhki a ,h2 k2 i2 .(2)對于正交晶系，晶胞基矢a,b,c相互垂直，但晶格常數(shù)a#b#c.設沿晶軸a,b,c的單位矢量分別為i,j,k則正格子基矢為圖1.12正交晶胞倒 倒格子基矢為與晶面族(hki)正交的倒格為由晶面間距dhki與倒格矢Khki的關系式得(2)對于六角晶系，a=b=cp = P =90：尸=120：晶面族(hki)的面間距圖1.13六角晶胞 也即 由圖1.13可得六角晶胞的體積 倒格基矢的模 倒格基矢的點積 其中利用了矢量混

13、合的循環(huán)關系 及關系式因為(ab)矢量平行于c所以將以上諸式代入（1）式得 即224 h2 k2hk l 2 12dhki =-(2) L)3 ac（4）單斜晶系晶胞基矢長度及晶胞基矢間的夾角分別滿足ct =尸=90 , P # 90晶胞體積2?b c1a - * 二 Q,2T.ic a 1b 二Q2?a b1c =Q得其倒格子基矢長度2 二 bcabcsin : a sin :b* = b*acsin :倒格基矢間的點積a b b c )iac b b 1_ 4二 2ab2c(cos： cos一cos :)2abcsin因為（cm a）矢量平行于b所以將以上諸式代入 得到1 sin2 :l2

14、2 c2hl k2 ac J b2,-.4 2d hkl 1' h2 f l22hl c o s f k?_s i n P、a2 c2 ac / b2 _10.求品格常數(shù)為a的面心立方和體立方晶體晶面族（hihzhh）的面間距解答面心立方正格子的原胞基矢為ai=2 j k由可得其倒格基矢為倒格矢根據(jù)固體物理教程（1。16）式得面心立方晶體面族（hih2h3 ）的面間距_aI hi +h2 +hh 2 +（hi h2 +h3 j +（幾 +h2 -h3 2 尸體心立方正格子原胞基矢可取為其倒格子基矢為則晶面族伯山2卜3 ）的面間距為11.試找出體心立方和面心立方結構中，格點最密的面和最密

15、的線。解答由上題可知，體心立方品系原胞坐標系中的晶面族也h2八3 ）的面間距可以看出，面間距最大的晶面族就是001,將該晶面指數(shù)代入固體物理教程（1.（32） 得到該晶面族對應的密勒指數(shù)為110面間距最大的晶面上的格點最密，所以密勒指數(shù) 巾10晶面族是格點最密的面，格點最密的線一定分布在格點最密的面上，由圖1.14虛線標出的（110）晶面容易算出，最密的線上格點的 周期為圖1.14體心立方晶胞由上題還知，面心立方品系原胞坐標系中的晶面族 （h,h2h3 ）的面間距可以看出，面間距最大的晶面族是 411）。由本章第15題可知，對于面心立方晶體，晶面指數(shù) 加卜2幾）與晶面指數(shù)（hkl）的轉換關系為

16、將晶面指數(shù)1111代入上式，得到該晶面族對應的密勒指數(shù)也為111.面間距最大晶面上的格點最密，所以密勒指數(shù) 11仆品面族是格點最密的面，格點最密的線一定分布在格點最密的面上，由圖1.15虛線標出的（111）晶面上的格點容易算出 最密的線上格點的周期為圖1.15面心立方晶胞12 .證明晶面（hhhs Hhhzhh）及（卜2卜3）屬于同一品帶的條件解答設原胞坐標系中的倒格子基矢為bi，b2,b3,則晶面（幾年上），（h1h2h3 ）及（h"'h；h3）的倒格矢分別為當三個晶面共晶帶時，它們的交線相互平行，這些交線都垂直于倒格矢Kh Kh, Kh" 即Kh Kh Kh-位

17、于同一平面上，于是有 利用正倒格子的關系a、2 二 bib2 12 -： bib2 I 2 二 b3 bi I一,b2 =-,b3QQKhKh.=%h2- h2h bb2h2h3-h3h2b2b3h3h1-h1h3 b3b1hihih2h2“ a + .h2h2h3 aih3h3hihia2,式中tr為倒格原胞體積，于是得到代入（i）式，得hih2h3'''幾h2h§ =0”"hih2h313 .晶面（hih2h3 ）（hi,h2h3 ）的交線與晶列平行，證明解答與晶面仇八2卜3 ）（h；h2h3而直的倒格矢分別為 晶面的交線應同時與Kh和Kh,垂直

18、，即與Kh MKh,平行，而式中C*=bb2Mb3）為倒格原胞體積，現(xiàn)e2e3為正格原胞基矢 已知晶面（幾八2卜3 ）。月耳）的交線與晶列R = 11al +l2a2 +l3a3平行，即R和Kh' "h”平行，因此lij2,l3可取為lih2h2h3h3hihihih2''hih214 .今有正格矢可選作基矢的充分條件是其中l(wèi),m,n; l , m , n及l(fā) , m , n均為整數(shù)，試證u,v,w解答禰法一：固體物理原胞的選取方法有無數(shù)種，但它們有一個無同的特點，即它們的體積都相等，是晶體的最小重復單元。因此u,v,w 可選作基矢的充分條件是，由基矢u,v,

19、w 構成的原胞體積一定等于由基矢 ai,a2,a3構成的原胞體積，即將代入uV黑w ）得將上式代入（1）得解法二：設a1 =xu+yv+zw,當u,v,w為基矢時，x,y,z應取整數(shù)值，將代入 a1 = xu + yv + zw 得xl +yl +zl =1由此得方程組xm + ym +zm =0，'，"-xn + yn + zn =0解方程得由于x,y,z的表示式中的三分子的行列式的值均為整數(shù)，x,y,z為整數(shù)，因此u,v,w可選作基矢的充分條件是15 .對于面心立方晶體，已知晶面族的密勒指數(shù)為（hkl ）,求對應的原胞坐標中的面指數(shù)（hhh3 ）若已知也岫3）求對應的密勒

20、指數(shù)（hkl-解答由而體物理教程（1。3）式和（1。4）兩式得面心立方晶體原胞坐標系中的倒格基矢bi,b2,b3與晶胞坐標系中的倒格基矢abc”的關系為也即與晶面族（hkl ）垂直的倒格矢Kh也h3與晶面族hhzhh ）正交，因此，若已知晶面族的密勒指數(shù)（hkl）則原胞坐標 系中的面指數(shù)其中p是（k +l）, （l +h ）（h +k）的公約數(shù)同樣Khkl與晶面族（hkl）正交，因此，若已知晶面族的面指數(shù)（卜2也）則晶胞坐標系中的面指數(shù)1 ,，（hkl） = - hi h2 h3 hi-h2 h3 hi h2 -h3 :, P其中 p是 （-h1+h2+h3 Khi-h2+h3 Mhi+h2-

21、h3 ）的公約數(shù)。16 .證明不存在5度旋轉對稱軸。解答如下面所示，A,B是同一晶列上 O格點的兩個最近鄰格點，如果繞通過 O點并垂直于紙面的轉軸順時針旋轉 日角，則A格點"到 A' 點，若此時品格自身重合，點處原來必定有一格點，如果再繞通過 。點的轉軸 逆時針旋轉9角，則品格又恢復到未轉動時的狀態(tài)，但逆時針旋轉9 角，B格 點轉到B處，說明B處原來必定有一格點，可以把格點看成分布在一族相互平行的晶列上，由圖1. 1 6可知，AB'晶列與 AB 晶列平行.平行的晶列具有相同的周期，若設該周期為a則有圖1.16晶格的旋轉對稱性其中m為整數(shù)，由余弦的取值范圍可得于是可得因

22、為逆時針旋轉 匣，處，處分別等于順時針旋轉,-, 233233所以晶格對稱轉動所允許的獨立轉角為上面的轉角可統(tǒng)一寫成稱n為轉軸的度數(shù)，由此可知，品格的周期性不允許有5度旋轉對稱軸.17 .利用轉動對稱操作，證明六角晶系介電常數(shù)矩陣為 解答由固體物理教程（1。21）式可知，若 A是一旋轉對稱操作，則晶體的介電 常數(shù)z滿足 名=A'叭.對六角晶系，繞x （即a）軸旋180一和繞z （即c）軸旋120-都是對稱操作， 坐標變換矩陣分別為假設六角品系的介電常數(shù)為則由£ = A'x洱.得可見篦=0, ；13 = 0, ；31 = 0.名1100即名=| 042%1 。一0注32

23、/3 、 '將上式代入 &=Ax8Ax.得由上式可得于是得到六角品系的介電常數(shù)18 .試證三角品系的倒格子也屬三角晶系，解答對于三角品系，具三個基矢量的大小相等。且它們相互間的夾角也相等。即利用正倒格子的關系，得設燈 與b2的交角為 d2, b2與4的交角為日23力3與bi的交角為031則有由(1)和(2)式得由b2 b3和b3 bi可得 可見倒格基矢bi與b2的交角，b2與b3的交角，b3與bi的交角都相等，這表明三 個倒格基矢的長度不僅相等，且它們之間的夾角也相等，所以三角晶系的倒格子 也屬于三角品系.19 .討論六角密積結構，X光衍射消光的條件.解答圖1.17示出了六角密

24、積結構的一個晶胞，一個晶胞包含兩個原子，它們的位置 矢量分別是圖1.17六角密積晶胞因為是密積結構，所以原子放射因子f1 = f2 = f .將上述結果代入幾何因子得 Fhki = f fe211二 3h 3k 2l(hkl)晶面族引起的衍射光的總強度 由上式知，只有當M 1 2 nn h + k +l33時，才出現(xiàn)衍射消光.現(xiàn)將h,k,l的取值范圍討論如下：(a)當n為奇數(shù)時，若l為偶數(shù)，則nl也為偶數(shù)，為保證Z2、'nH h +k +l |=奇數(shù),<331成立，須有42 、nH h+ k尸司數(shù)，<33 )由此知2n(2h +k )=3父奇數(shù)=奇數(shù).但由于h,k為整數(shù)，上

25、式左端是偶數(shù)，右端是奇數(shù)，顯然是不成立的，矛盾的 產(chǎn)生是l為偶數(shù)的條件導致的，所以l不能為偶數(shù)，而只能為奇數(shù)，因而nn0h+2k1=偶數(shù)33即 2卜+卜=3父整數(shù)=整 n(b)當n為偶數(shù)時，由nn f4h +2k +l 1 =奇數(shù) 33得 n(4h +2k +31 )=3父奇數(shù)=奇數(shù)上式左端是偶數(shù)，右端是奇數(shù)，顯然也不成立，矛盾的產(chǎn)生是n為偶數(shù)的條 件導致的，所以n不能為偶數(shù)，由上述討論可知，衍射消光條件為n =奇數(shù)1 =奇數(shù)32h +k =亡父整數(shù)(二整數(shù)) n20 .用波長為1.5405 A的X光對鑰金屬粉末作衍射分析，測得布拉格角大小為序的五條衍射線，見表1-1廳P1234519.611

26、28.13635.15641.15647.769已知鑰金屬為體心結構，求(1)衍射晶面族的晶面指數(shù)；(2)品格常數(shù)a解答(1)對于立方晶體，晶面族(hkl)的面間距布拉格反射公式相應化為可見sine與衍射面指數(shù)的平方和的開根成正比，由已知條件可知對于體心立方晶系，衍射面指數(shù)的和 n (h+k+1)為偶數(shù)出現(xiàn)衍射極大，因 此，對應衍射角由小到大排列的衍射晶面族是 (110), (200), (121), (220), (310),而從各衍射角的正弦之比與衍射面指數(shù)的平方和的開根之比可以看出，二者比值是十分接近的，存在的小小偏差，可能是測量誤差所致，因此，對應布拉 格角大小為序的五條衍射線的衍射晶

27、面族是(110), (200), (121), (220), (310)。(2)將人=1.5405V：日=19.611 ：(nh nk n1)=(110)代入 sin 8=-V(nh 2 +(nk 2 +(nl 2 2a得到鑰金屬白晶格常數(shù)a = 3.246 -21.鐵在20 C 時，得到最小三個衍射角分別為812',11 ：38',14：18;當在1000 c 時，最小三個衍射角分別變成7 55',9 9',12 59.已知在上述溫度范圍，鐵金屬為立方結構。(1)試分析在20 C和1000 C下，鐵各屬于何種立方結構？(2)在20 C 下，鐵的密度為7860k

28、g/m3求其品格常數(shù)。解答(1)對于立方晶體，晶面族(hkl)的面間距為布拉格反射公式2dhksin =n，相應化為2asin7(nh 2 + (nk f + (nl 2可見 sin6 與 J(nh f +(nk 2 +(nl 2 成正比對于體心立方元素晶體，衍射面指數(shù)和n (h+k+l)為奇數(shù)時，衍射消光；衍射面指數(shù)和n (h+k+l)為偶數(shù)時，衍射極大，因此，對應最小的三個衍射面指數(shù) 依次為( 110), (200), (211).這三個衍射角的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比 為鐵在20 C 時，最小的三個衍射角的正弦值之比= 0.142628: 0.201519 : 0.246999 =1

29、:1.41421 :1.731777可見，鐵在20 =C 時最小的三個衍射角的正弦值之比，與體心立方元素晶體最小的三個衍射面指數(shù)的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比極其接近(存在偏差一般是實驗誤差所致)。由此可以推斷，鐵在 20,C時為體心立方結構。對于面心立方元素晶體，衍射面指數(shù)nh,nk,nl全為奇數(shù)或全為偶數(shù)時，衍射極大，對應聞小三個衍射角的衍射面指數(shù)依次為(111),(200),(220) 這三個衍射角的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比為鐵在1000 C時最小的三個衍射角的正弦值之比sin7 55': sin9 9': sin12 59'=0.137733:0.15902

30、0:.224668=1:1.15455:1.63118可見，鐵在1000 C時最小的三個衍射角的正弦值之比，與面心立方元素晶體最小的三個衍射角的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比極其接近，由此可以推斷，鐵在時為面立方結構(2)鐵在時為體立心結構，一個晶胞內有兩個原子，設原子的質量為m,晶格常數(shù)為a,則質密度 品格常數(shù)則為一個鐵原子的質量kg,55.847 10 工23-6.022 10最后得鐵在20 C時的品格常數(shù)22.對面心立方晶體，密勒指數(shù)為121 ；的晶面族是否出現(xiàn)一級衍射斑點，從光的干射說明之。解答由本章第10題可知，對于面心立方晶體，晶面族（hihzhb ）的面間距由本章第15題可知，對于

31、面心立方晶體，晶面指數(shù)（h1h2b3 ）與晶面指數(shù)（hkl）的轉換關系為h1h2h3 =3k l l h h k上P將上式代入前式得因為立方品系密勒指數(shù)晶面族的面間距所以對于立方晶系，兩套晶面指數(shù)對應的晶面族的面間距的關系為'd h1h2h3 = 2 d h ki將上式代入兩套坐標中的布拉格反射公式得到將密勒指數(shù)121 j代入（1）式，得由上式可知，p =1,n=2n這說明，對于密勒指數(shù)121 的晶面族，衍射極大的最小級數(shù)是2,或者說，對于密勒指數(shù) ，21 j的晶面族，它的一級衍射是消光的，對于密勒指數(shù)121 j的晶面族，它一級衍射產(chǎn)生的原因可從光的干涉來解釋。 I J圖1.18示出了

32、 121 j晶面族的1級衍射情況，1與3晶面的面間距為dhki對于該品面族的1級衍射，有對照衍射示意圖1。18上式恰好是1與3晶面產(chǎn)生的光程差，也就是說1與3 晶面產(chǎn)生的光程差為1個波長，由此推論，1與3晶面的反射光的相位差為2n , 它們的確是相互加強的，但實際（對于非復式格子）的面間距為即1與3晶面中間實際還有1個原子層，在這種情況下，相鄰原子層的反射光的 相位差為n衍射光是相互抵消的，這就是密勒指圖1.18 121 i面的一級衍射數(shù)121 j的晶面族一級衍射產(chǎn)生消光的原因.23.設有一面心立方結構的晶體，晶格常數(shù)為a.在轉動單晶衍射中，已知與轉軸 垂直的晶面的密勒指數(shù)為（hkl ）求證

33、其中p是一整數(shù)，中m是第m個衍射圓錐母線與（hkl謁面的夾角。參見圖1.19所示反射球，圖1.19反射球解答轉動單晶衍射法，晶體正格子轉動，倒格子也轉動，倒格點可以看成分布在與轉 軸垂直的，等間距的一個個倒格晶面上，由于倒格晶面旋轉，落在反射面球面上 的倒格點的跡線形成一個個圓，反射球心到跡線上任一點的邊線即是衍射極大的方向反射球心到任一跡線連線構成一個個圓錐面。設本題晶體一與轉軸垂直的倒格面面指數(shù)為 "l/3）則倒格面的面間距其中正格矢 與倒格面 垂直，即與轉軸平行，由圖1。19得其中 是的光的波矢，即反射球的半徑，現(xiàn)在已知與轉軸垂直的晶面的密勒指數(shù)為（hkl）由題5可知，晶列R

34、hkl = ha kb lc與轉軸平行，利用面心立方結構晶胞基矢與原胞基矢的關系 可得= PR111213其中p是（-h+k+l ,（h-k+l ,（h+k T ）公約數(shù)，由立方晶體的可得24.在20二C 時銅粉末樣品的一級衍射角是 47.75二 在 1000 c 時是46.60二，求銅的線脹系數(shù)。解答設銅的衍射面指數(shù)為（hkl）在20 =C時的面間距為dhki,在1000二C時的面間距為d hkl則由布拉格反射公式得2dhkl sin 47.75 = _'. o2dhkl sin 46.60 = 由以上兩式得銅的線膨脹系數(shù)25 .若X射線沿簡立方晶胞的 OZ軸負方向入射，求證：當21

35、或 cos =l2 -k2l2 k2時一級衍射線在YZ平面內，其中不是衍射光線與OZ軸的夾角。解答(1)解法一由布拉格反射公式和立方晶系晶面族(hkl)的面間距得至Us i n = h 2 k 2 l2a將已知條件代入上式得si n = 2rh2 +k2 +l2 .k2 l2由已知條件可畫出X光入射波矢k0與反射矢k的關系圖，由圖1.20中和幾何 關系圖1.20 k 0與反射波矢k的關系圖可知口冗?0=22于是有利用得到y(tǒng)cos 2_lk2l222 , h2 k2 l2 .k2l2由上式可知h=0于是2 二2k- k0 = K= kb lc = k y l z. aa其中 y和z 分別是x軸和

36、y軸方向的單位矢量，于是.2二.2二k= k0+ k y l z a a由于k0在YZ平面內，所以一級衍射線也在 YZ平面內,(2)解法設x, y,z分別是平行于a, b, c軸的單位矢量，衍射波矢 k與a, b, c軸的夾角分別為巴民¥則有cos : x cos : y cos z ,2 二k o =-z.由1級衍射條件得2 二k- k 0=K= hakb 1c =cos： x cos : y cos z z .a K = h2;-a cos：, 九2 二 于是 b K = k2 :=a cos -九2 二c K = 12二-acos( 1). 九由以上三式解得h ' r.

37、 k'1',cos = ,cos -= ,cos = -1.aaa由co2s工：co&： co2s =1 得到將上式與已知條件一二=2a k2 - l2比較得到h=0.于是上式說明一級衍射線在 YZ平面內26 . 一維原子鏈是由A,B兩種原子構成，設A,B原子散射因子分別為fA和fb入射X射線垂直于原子鏈，證明(1)衍射極大條件是acose=n九，a是品格常數(shù)，8是衍射束與原子鏈的夾角.(2)當n為奇數(shù)，衍射強度比例于fA - fB 2.(3)討論fA = fB情況解答(1)如圖1.12所示，設原子是等間距的，衍射光束與原子鏈的夾角為日.當入射 X光垂直于原子鏈時，A原

38、子或 B原子散射波圖1.21 X光衍射的光程差為a cos u.當a cos二m時，各A原子(或B原子)的散射波的相位差為0,散射波相互加強，形成很強的 衍射光.(2) 一個原胞內包含A,B兩個原子能，取A原子的坐標為(000) 1B原子的坐標為(-00).衍射光的強度2 2工 Z / cos2nnhUj+ Z /sinZnnh5I Ij),<jj2=(fA - fB cosn二h)從上式可知，取h為1,當n為奇數(shù)時，衍射光的強度正比于 fA-fB(3)若fA = fB = f ,當n為奇數(shù)時，衍射光的強度為 0.這時，A原子與B原子的散射波的相位差為兀，相位相反，互相抵消，即對應消光現(xiàn)

39、象. 當n為偶數(shù)時，衍射光的強度最強，匕 4f2.27.證明當電子的幾率分布函數(shù) P(r)與方向無關時，原子散射因子是一實數(shù)解答由固體物理教程(1。37)式得，原子散射因子當電子的幾率分布函數(shù)：(r)與方向無關時，設(r)= rs?r= sr cos :基中取s的方向為球坐標的極軸方向，于是作變量變換得到上式積分R是一個實數(shù)。第2,晶體的結合習題1.有一晶體，平衡時體積為 V0 ,原子間相互作用勢為U 0.如果相距為r的兩原子互作用勢為 證明(1)體積彈性模量為K=U 0mn9V0(2)求出體心立方結構惰性分子的體積彈性模量解答設晶體共含有N個原子，則總能量為1 一一 U(r)= 一 , .

40、u rij .2 i j由于晶體表面層的原子數(shù)目與晶體內原子數(shù)目相比小得多,因此可忽略它們之間的基異，于是上式簡化為U必2 j設最近鄰原子間的距離為R則有rju rj .aj R一,1再令 Am = v -1m j ajn aj，得至|J U=N二 Am2lR0m平衡時R=%,則由已知條件 由平衡條件得U(Ro)= Uo 得N maAm2 1 Rm*Rn*=0.由(1),(2)兩式可解得利用體積彈性模量公式參見固體物理教程(2.14)R；K=9Vj2U.:R2得K=R)1 N m(m 1)： A|初萬一Rm一R0m 上 n(n+1)PAn 1R01 N m(m 1) 2U 0nR(m 一八 一

41、 R0m N(m-n)n(n 1) 2U0mRn9V0 2 |LR01N(m -n)mn-U 09V0由于U0 <0,因此U° = U于是K=U0mn9V0(1)由固體物理教程(2.18)式可知，一對惰性氣體分子的互作用能為u(r) =12r.若令A2 z =4BO"=ib- i ,則n個惰性氣體分子的互作用勢能可表示為 AU(r)=2Nw %12三一 A由平衡條件dU (R) dR=0 可得 R0 = ctR)12A” !.進一步得 U。=U(R0) =A6N A22Az“ mn4N333 人代入 K=U 0 .并取 n=6, n=12, V0 二尸 R0 得 K=

42、 f=A9V03.32；對體心立方晶體有a6=12.25,A12 =9.11.于是K =2.一維原子鏈，正負離子間距為 a,試證：馬德隆常數(shù)為70.1 ；T-.，二2 1n2.解答相距rj的兩個離子間的互作用勢能可表示成a ”52A6Al2設最近鄰原子間的距離為R 則有 rij =ajR,則總的離子間的互作用勢能NU=J u rij2 jq4二；0R jr±i<ajRn1基中± aj為離子晶格的馬德隆常數(shù)，式中+;- 參考離子，在求和中對負離子到正號 的,則有號分別對應于與參考離子相異和相同的離子.任選一正離子作為,對正離子取負號，考慮到對一維離子兩邊的離子是正負對稱

43、分布(-1)91 i i i .正 面 的 展 開 式=2- 一 一 一.aj |11 23 4234x x x 1n(1+ X) x -，2341111，一并令 x =1得+=1n(1+1)=1n2.于是，一維離子鏈的馬德常數(shù)為 N=21n212 3 413 計算面心立方面簡單格子的A6和A12(1)只計最近鄰；(2)計算到次近鄰；(3)計算到次近鄰.解答圖2.26示出了面心立方簡單格子的一個晶胞.角頂。原子周圍有8個這樣的晶胞，標號為1的原子是原子 O的最近鄰標號為2的原子是O原子的最近鄰，標號為3的原子是O原子的次次近鄰.由此得到，面心立方簡單格子任一原子有12個最近鄰,6個次近鄰及24

44、個次次近鄰.以最近鄰距離度量，其距離分別為：aj =1,aj = J2,2 = J3.由圖2.6面心立方晶胞得612一 ，1 一 1 一(1)只計最近鄰時 A6(1)=12* I =12, A12(1)=12* I =12.12(2)計算到次近鄰時 (3)計算到次次近鄰時A6(3) =12*=12.750 0.899 =13.639,= 12.094 0.033 = 12.127.以上可以看出，由于A12中的寨指數(shù)較大，A12收斂得很快，而A6中的寨指數(shù)較小，因此A6收斂得較慢，通常所采用的面心立方簡單格子的A6和A12的數(shù)值分別是14.45與12.13.14 用埃夫琴方法計算二維正方離子(正

45、負兩種)格子的馬彳i隆常數(shù).1解答馬德隆常數(shù)的定乂式為N = £ 士，式中+、-號分別對應于與參考離子相異和相同的離子jaj二維正方離子(正負兩種)格子，實際是一個面心正方格子，圖2.7示出了一個埃夫琴晶胞.設參考離子O為正離子，位于邊棱中點的離子為負離子，它們對晶胞的貢獻為4*(1/2).對參考離子庫侖能的貢獻為1 4*4圖2.7二維正方離子晶格頂角上的離子為正離子，它們對晶胞的貢獻為 4*(1/4),對參考離子庫侖能的貢獻為此通過一個埃夫琴晶胞算出的馬德隆常數(shù)為琴晶胞作為考慮對象，這時離子O的最的鄰114*_ 4*_v = 2 =4 =1.293.再選取22 = 4個埃夫次近鄰均

46、在所考慮的范圍內，它們對庫侖能的貢獻為44，而邊棱上的離子對庫侖能的貢獻為1,2114*- 8* -222.,5頂角上的離子對為庫侖能的貢獻為1 4*4、8，這時算出的馬德隆常數(shù)為1.2圖2.8 4 個埃夫琴晶胞同理對32 = 9個埃夫琴晶胞進行計算，所得結果為 2對4 =16個埃夫琴晶胞進行計算，所得結果為當選取n 2個埃夫琴晶胞來計算二維正方離子 (正負兩種)格子的馬彳隆常數(shù)，其計算公式(參見劉策 軍，二維 NaC1晶 體馬德 隆常數(shù) 計算，大 學物 理，Vo1.14,No.12,1995.) 為 =4 An/ Bn 1 8* Dn 1n 1.n1An八(-1), 其中 E tBn&quo

47、t;1!5.用埃夫琴方法計算CsCl型離子晶體的馬德隆常數(shù)(1)只計最近鄰取八個晶胞解答(1)圖2.29是CsCl晶胸結構，即只計及最近鄰的最小埃夫琴晶胞，圖2.29 (a墀將Cs*雙在體心位置的結構，圖2.9(a)是將Cl 一取在體心位置的結構，容易求得在只計及最近鄰情況下，馬德隆常數(shù)為1.圖2.29(a) Cs取為體心的CsC1晶胞,(b) C1取為體心的CsC1晶胞(2)圖2.10是由8個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞,8個最近鄰在埃夫琴晶胞內，每個離子對晶胞的貢獻為1,它們與參考離子異號，所以這8個離子對馬德隆常數(shù)的貢獻為8埃夫琴晶胞6個面上的離子與參考離子同號，它們對埃夫琴晶胞的貢獻是

48、 1,它們與參考離子的26* 42/ 32R距離為空它們對馬德隆常數(shù)的貢獻為3圖2.10 8 個CsCl晶胞構成的一個埃夫琴晶胞1埃夫琴晶胞楞上的12個離子，與參考離子同號，它們對埃夫琴晶胞的貢獻是 它們與參考離子4的距離為2.2R它們對馬德隆常數(shù)的貢獻為12* 1/4二埃夫琴晶胞角頂上的8個離子，與2、2 31_,參考離子同號，它們對埃夫琴晶胞的貢獻是 ,它們與參考離子的距離為 2R它們對馬德隆常數(shù)的8貢獻為 -8* ' 8)，由8個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞計算的馬德隆常數(shù)22 6* (1/2) 12* (1/4) 8* (1/8)，一,口彷注熱產(chǎn)一8二- l 一一 3.0 6

49、4 8 0 6 為了進一步找到馬德吊數(shù)2/32 2 32的規(guī)律，我們以計算了由27個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù)，結果發(fā)現(xiàn)，由27個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數(shù)是0.439665.馬德隆常數(shù)的不收斂，說明CsCl晶胞的結構的馬德隆常數(shù)不能用傳統(tǒng)的埃夫琴方法計算.為了找出合理的計算方法，必須首先找出采用單個埃夫琴晶胞時馬德隆常數(shù)不收斂的原因.為了便于計算，通常取參考離子處于埃夫琴晶胞的中心.如果以Cs+作參考離子，由于埃夫 琴晶胞是電中性的要求，則邊長為2 pa (p是大于或等于1的整數(shù))的埃夫琴晶胞是由(2p)3個 CsCl晶胞所構成，埃夫琴晶胞最外層的離子與參考離子同

50、號，而邊長為(2 p+1)的埃夫琴晶胞是由(2 p+1) 3個CsCl晶胞所構成，但埃夫琴晶胞的最外層離子與參考離子異號，如果以C1-作參考離子也有同樣的規(guī)律，設參考離子處于坐標原點O,沿與晶胞垂直的方向(分別取為x,y,z圖2.11示出了 Z軸)看去，與參考郭同號的離子都分布在距。點ia的層面上，其中i是大于等于1的整數(shù)，與O點離子異號的離子都分布在距O點(i -0.5 ) a的層面上，圖2.11(a) 示出了同號離子層，圖2.11(b) 7K出了異號離子層.圖2.11離子層示意圖(a)表示同號離子層，O離子所在層與 O離子所在層相距ia(b)表示異號離子層，O離子所在層和o離子所在層相距(

51、i -0.5 ) a當CsCl埃夫琴晶胞邊長很大時，晶胞最外層的任一個離子對參考離子的庫侖能都變得很小，但它們對參考離子總的庫侖能不能忽略.對于由(2 p) 3個CsCl晶胞所構成的埃夫琴晶胞來說，最外層有6*(2 p) 2個與 參考離子同號的離子 ，它們與參考離子的距離為(1/2) pa (J3/2) pa ,它們與參考離子的庫侖能為pe2/4n/a量級，這是一個相又日:的正值.對于由(2p+1)3個CsCl晶胞所構成的埃夫琴晶胞來說，離外 層有6*(2 p+1)2個與參考離子異號的離子，它們與參考離子的庫侖能為pe2/4兀80a量級，這是一個絕對值相對大的負值，因此，由(2 p) 3個Cs

52、Cl晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能，與由(2 p+1) 3個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能會有較大的差異.即每一情況計算的庫侖能都不能代表CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能.因此這兩種情況所計算的馬德隆常數(shù)也必定有較大的差異，由1個CsCl晶胞、8個CsCl晶胞和27個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞的計算可知，CsCl埃夫琴晶胞體積不大時，這種現(xiàn)象已經(jīng)存在.為了克服埃夫琴方法在計算馬德隆常數(shù)時的局限性，可采取以下方法，令由(2 p)3個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞計算的庫侖能為U1 ,由(2 p+1) 3個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能為U1 ,則CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能可近似取作1 ,、U = (UiU2)(1)2因子1/2的引入是考慮除了 (2p+1) 3個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞最外層離子外，其他離子間的庫侖能都累計了兩偏，計算U1和U2時要選取體積足夠大的埃夫琴晶胞，此時埃夫琴晶胞最外層離子數(shù)與晶胞 .1 , 一內的離子數(shù)相比是個很小的數(shù)，相應的馬德隆常數(shù)應為N =(N1 + N2)2_ M 11° ._ M 1其中：N1 =£ 土I是由(2p)3個CsC