初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)(同名8388)

1、初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)一、二次函數(shù)概念：21 二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax bx a ,b, c是常數(shù)，a 0的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0,而b , c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2. 二次函數(shù)y ax bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a, b, c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的根本形式1、一般形式 y ax2 bx c a 0)22、 二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng) a x hk的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a

2、 0向上h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨 x的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y隨 x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k .3、交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-xi)(x-x2)x1與x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：2方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h , k ;保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h, k處，具體平移方法如下：y=ax2向上(k>0)向上(k>0)【或下(k<0)平移|k|個(gè)單位向右(h&g

3、t;0)【或左(*0)平移|k|個(gè)單位向右(h>0)【或左(h<0)平移|k|個(gè)單位【或下(k<0)平移亦個(gè)單位沖y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或向下(k<0)平移|k|個(gè)單位 * y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)平移|k|個(gè)單位y=a(x h)22. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的根底上 h值正右移，負(fù)左移； k值正上移，負(fù)下移概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減方法ax2 bx c變成y ax2 bx c沿y軸平移：向上下平移 m個(gè)單位,ax2 bx c m或 y ax2 bx cy ax2 bx c沿軸平移：向左右平移m個(gè)單位,ax2 b

4、x c變成四、者,2a(x m) b(x m)二次函數(shù)y從解析式上看,b2a4ac二次函數(shù)y axc或ya(x2 ax4a其中hm)2 b(xm)bx2 axbx c圖象的畫法c的比擬bxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前4ac b24a五點(diǎn)繪圖法：對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，的交點(diǎn)0, c、以及0, c關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)沒有交點(diǎn)，那么取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)利用配方法將二次函數(shù)y然后在對稱軸兩側(cè)，2bx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h) k，確定其開口方向、左右對稱地描點(diǎn)畫圖一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸2h，c、與x軸的交點(diǎn) x, 0 ， X2, 0假設(shè)與x軸2 ax畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾

5、點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì),當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為 , . 2bb 4ac b，頂點(diǎn)坐標(biāo)為,2a2a 4ax 一時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng) 2a2值翌4 4a舟時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x舟時(shí)，y有最小2當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下， 對稱軸為僉,頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac b22a 4a時(shí)，y隨2ax的增大而增大；當(dāng) x 時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x2a時(shí)，y有最大值2a24ac b4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法21.一般式：2y axbx c a , b , c 為常數(shù)，a 0；2.頂點(diǎn)式：y a(xh)2 k a

6、 , h , k 為常數(shù)，a 0；3.兩根式：y a(xxd(x X2) a 0 , Xi , X2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只 有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式 的這三種形式可以互化八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0 . a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小.2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對

7、稱軸.ab的符號的判定：對稱軸 xK在y軸左邊那么ab 0，在y軸的右側(cè)那么ab 0，概括的說就是2a“左同右異3.常數(shù)項(xiàng)cc決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a, b , c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的. 二次函數(shù)解析式確實(shí)定：根據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根 據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1. 拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大小值，一般選用頂點(diǎn)式;3. 拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、

8、二次函數(shù)與一元二次方程:1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與 一元二次方程 ax2 bx c 0是二次函數(shù) y 圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：x軸交點(diǎn)情況：ax2 bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特殊情況b24ac0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A xi , 0 , B x2, 0 (XiX2)，其中的x , X2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離 AB x? xi b 4ac .當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸只有 一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).1'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任 何實(shí)數(shù)，都有y 0 ； 2'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為

9、任何實(shí)數(shù)，都有y 0 .2. 拋物線y ax2 bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0 , c)；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大小值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2 bx c中a , b , c的符號，或由二次函數(shù)中 a , b , c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)， 求和一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常

10、出現(xiàn)在選擇題中，如：以x為自變量的二次函數(shù) y (m 2)x2 m2 m 2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，那么m的值是2. 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查第3頁共7頁兩個(gè)函數(shù)的圖像,試題類型為選擇題，如:如圖，如果函數(shù)y kxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y kx2 bx 1的圖像大致是3. 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選 拔性的綜合題，如：5一條拋物線經(jīng)過(0,3) , (4,6)兩點(diǎn)，對稱軸為x，求這條拋物線的解析式。34. 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題

11、為解答題，如:拋物線y ax2 bx c0與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是1確定拋物線的解析式；2用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo) 5 .考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。由拋物線的位置確定系數(shù)的符旦例11二次函數(shù)y2 . . . .ax bx c的圖像如圖1,那么點(diǎn)A 第一象限2二次函數(shù)和x=3時(shí)，函數(shù)值相等;A. 1個(gè) B . 2個(gè)B .第二象限 C .第三象限y=ax2+bx+c a豐0的圖象如圖4a+b=0;當(dāng) y=-2 時(shí)，xM (b,C)在aD 第四象限2所示，？那么以下結(jié)論：a、b同號；當(dāng)x=1 的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是(

12、1)【點(diǎn)評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a, b, c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.例2.二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2 , 0)、(x 1, 0)，且1<X1<2，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O, 2)的下方.以下結(jié)論：a<b<0;2a+c>O4a+c<O2a -b+1>O,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D . 4個(gè)答案：D會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.：關(guān)于x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=2，且二次函數(shù) y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2,那么拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A(2,-

13、3) B.(2,1)C(2, 3) D.(3, 2)答案：C例4、拋物線y="x-5 .221用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸.2假設(shè)該拋物線與 x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A B,求線段AB的長.【點(diǎn)評】此題1是對二次函數(shù)的“根本方法的考查，第2問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑圖象、解析式等了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù); 將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題kx2 k 和 y函數(shù)值相等；4ak-k 0在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的b 0當(dāng)y 2時(shí),X的值只能

14、取0.其中正確的個(gè)數(shù)是A.1 個(gè) B.2個(gè) C. 3 個(gè)D. 4y ax2 bx c(a0的頂點(diǎn)坐標(biāo)-1，-3.2丨及局部圖象如圖,由圖象可知關(guān)于X的一元二次方程ax2 bx c 0的兩個(gè)根分別是為1.3和 x2A. 1 . 3d6.二次函數(shù)2ax bx c的圖象如下列圖,那么點(diǎn)(ac,bc)在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限y1.二次函數(shù)y x2 4x 7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A.(2, 11)B.2, 7C. 2, 11D.2, 32.把拋物線y22x向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是 A. y2(x1)2 B.y 2(x1)2 C. y2x2 1 D.y 2x21A.0個(gè)B.1個(gè)C.

15、2個(gè).3個(gè)8.拋物線過點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),與yA. yx2x 2B.y2 xx 2C. y x2x 2 或 y x2x2 D.y2 xx 2 或 y x2 x 22x x2的正根的個(gè)數(shù)為x二、填空題29 .二次函數(shù)y x bx 3的對稱軸是x 2，那么b 。10. 拋物線y=-2 x+3各5，如果y隨x的增大而減小，那么 x的取值范圍是 11. 一個(gè)函數(shù)具有以下性質(zhì)：圖象過點(diǎn)一 1, 2，當(dāng)Xv 0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 只寫一個(gè)即可。12. 拋物線y 2(x 2)2 6的頂點(diǎn)為C,直線y kx 3過點(diǎn)C,那么這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的

16、 三角形面積為。13. 二次函數(shù)y 2x2 4x 1的圖象是由y 2x2 bx c的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的，貝y b= ,c=。14. 如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段 AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是L冗取3.14).三、解答題：5x 30 ,圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點(diǎn)為(0,).第15題圖(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； 當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為0? 當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值 y隨x的增大而增大？1 216.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h米和時(shí)間t秒符合關(guān)系式 h v0t gt2 0<t < 2，其中重2力加速度g以10米/秒2計(jì)算.這種爆竹點(diǎn)燃后以V0=20米/秒的初速度上升，1這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地15米？2在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由練習(xí)試題答案，選擇題、1. A 2 . C 3 . A 4 . B 5二、填空題、9 . b 4 1