初二三角形常見(jiàn)輔助線做法總結(jié)及相關(guān)試題

1、數(shù)學(xué)專(zhuān)題一一三角形中的常用輔助線課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：歸納、掌握三角形中的常見(jiàn)輔助線二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：1、全等三角形的常見(jiàn)輔助線的添加方法。2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三、考點(diǎn)分析：全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一， 是今后學(xué)習(xí)其他知識(shí)的根底。判 斷三角形全等的公理有 SAS ASA AAS SSS和HL,如果所給條件充足，那么可 直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)的條件結(jié)合 相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要 構(gòu)造適宜的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來(lái)，再進(jìn)行等量代換，就可以化難 為易了。典型例題人說(shuō)

2、幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還 要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：1可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段或兩個(gè)角分別在 哪兩個(gè)可能全等的三角形中；2可以從條件出發(fā)，看條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；3可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；4假設(shè)上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見(jiàn)輔助線的作法： 延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形； 利用翻折，構(gòu)造全等三角形； 引平行線構(gòu)造全等三角形； 作連線構(gòu)造等腰三角形。常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：1遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一的性質(zhì)解題，

3、思維模式是全等變換中的“對(duì)折。例1：如圖， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90，BD平分/ ABC交AC于點(diǎn) D, CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE思路分析：1題意分析：此題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2解題思路：要求證BD=2CE可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛蠦D平分/ ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來(lái)。解答過(guò)程：證明：延長(zhǎng) BA , CE交于點(diǎn)F,在 BEF和 BEC中，/ 仁/2，BE=BE，/ BEF= / BEC=90， BEF A BEC, EF=EC，從而 CF=2CE。又/ 1 + Z F= / 3+Z F=90°

4、;，故/ 1= / 3。在 A ABD 和 A ACF 中，t/ 仁/3，AB=AC，/ BAD= / CAF=90 ， A ABDB A ACF，. BD=CF， BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng) 用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系， 為同學(xué)們開(kāi)拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過(guò)程中也蘊(yùn)含著化 歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。2假設(shè)遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等， 構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)。例2：如圖，A ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD又是B

5、C邊上的中線。求證： A ABC 是等腰三角形。思路分析：1題意分析：此題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)。2解題思路：在證明三角形的問(wèn)題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等 條件，一般這些條件都是解題的突破口，此題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長(zhǎng)AD得全等三角形，從而問(wèn)題得證。解答過(guò)程：證明：延長(zhǎng) AD至U E,使DE=AD，連接BE。又因?yàn)?AD是BC邊上的中線， BD=DC又/ BDE= / CDA BED CAD,故 EB=AC，/ E= / 2,TAD是/ BAC的平分線/ 仁/2,/ 仁/ E , AB=EB從而AB=AC即厶ABC是等腰三角

6、形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長(zhǎng)此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。3遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用 的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性 質(zhì)定理或逆定理。例 3:，如圖，AC平分/ BAD CD=CB AB>AD 求證：/ B+Z ADC=180。思路分析：1題意分析：此題考查角平分線定理的應(yīng)用。2解題思路：因?yàn)锳C是Z BAD的平分線，所以可過(guò)點(diǎn) C作Z BAD的兩邊的 垂線，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等解決問(wèn)題。解答過(guò)程：證明：作 CELAB于E，CF丄AD于 F。t AC平分Z BA

7、D CE=CF在 Rt CBE和 Rt CDF中,tCE=CF CB=CD Rt CB專(zhuān) Rt CDF/ B=Z CDFvZ CDFV ADC=180 ,/ B+Z ADC=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問(wèn)題，常用兩種輔助線;4過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移或“翻轉(zhuǎn)折疊例4:如圖， ABC中，AB=AC E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連 EF 交BC于D,假設(shè)EB=CF求證：DE=DF思路分析：1題意分析：此題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。2解題思路：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形 DEB與 DFC不可能全等，又知EB

8、=CF， 所以需通過(guò)添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過(guò)E作EG/CF，構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決。解答過(guò)程：證明：過(guò)E作EG/AC交BC于G,那么/ EGBM ACB又 AB=ACZ B=Z ACB/ B=Z EGB / EGDH DCF EB=EG=CFvZ EDBM CDF DGEA DCF DE=DF解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法:例 5： ABC中 , Z BAC=60 , Z C=40° , AP平分Z BAC交 BC于 P , BQ平分Z ABC交 AC于 Q 求證：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1題意分析：此題考

9、查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。2解題思路：此題要證明的是AB+BP=BQ+A彫勢(shì)較為復(fù)雜,我們可以通 過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^(guò)0作BC的平行線。得 AD3A AQO得至U OD=OQAD=AQ只要再證出BD=O蹴可以 了。解答過(guò)程：證明：如圖1，過(guò)O作OD/ BC交AB于D, Z ADOZ ABC=180 60° 40° =80° , 又 vZ AQOZ C+Z QBC=80 , Z ADOZ AQO又/ DAOM QAO OA=A, ADOA AQO-OD=O,AD=AQ又 OD BP,/ PBOM DOB又/

10、PBOM DBO/ DBOM DOB BD=OD又/ BPAM C+Z PAC=70 ,/ BOPZ OBAZ BAO=70 ,Z BOPM BPO BP=OB- AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：1此題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構(gòu)造全等三角形,即“截長(zhǎng)法2此題利用“平行法的解法也較多，舉例如下：如圖2，過(guò)O作OD/ BC交AC于D,那么 ADOA ABC從而得以解決，/圖團(tuán)(2)如圖C3) *過(guò)0作交AS于D,交乩干匕SJJAADOsAAQO? Aabo AEO從而得以解決Dpffl (3)如圖(4) 過(guò)P作PD"BQ交A3的延長(zhǎng)軟于D

11、,剛AAPD旨AFC從而 得以解袂.如圖5，過(guò)P作PD/ BQ交AC于D,那么 ABPA ADP從而得以解決小結(jié)：通過(guò)一題的多種輔助線添加方法， 體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全 等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu) 造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不管是作平行 線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu) 造了全等三角形。5截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段 相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān) 性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類(lèi)的題

12、目。例 6:如圖甲，AD/ BC 點(diǎn) E在線段 AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求證：CDADfBC思路分析：1題意分析：此題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。2解題思路：結(jié)論是CDAD+BC,可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法中的“截長(zhǎng)， 即在CD上截取CF=CE，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問(wèn) 題，從而到達(dá)簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的。解答過(guò)程：證明：在CD上截取CF=BC如圖乙c = csC3 = CE FCEA BCESAS ,/ 2=Z 1。又 AD/ BC/ AD(+Z BCD：180°,:丄 DC&Z CD=90°,/ 2+

13、Z 3=90°,/ 1 + Z 4=90°,/Z 3=/ 4。在厶FDE與厶ADE中,'"DE = ZADSDE = DEZ3=ZI FDEAADEASA , DF=DACD=DF+CF,/. CD=ADfBC。解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)， 一般方法是截長(zhǎng) 法或補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下局部等于另 一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)局部等于另一條短線段，然后證明新線段等 于長(zhǎng)線段。1對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差 小于第三邊，故可想方法將其放在一個(gè)三

14、角形中證明。2在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來(lái)，可連 接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：二角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。 線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接那么成中位線 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進(jìn)入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第一章是分式 請(qǐng)同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問(wèn)題。1、分式的概念是什么

15、？2、分式的乘除法的運(yùn)算法那么是什么？同步練習(xí)全等三角形中的常見(jiàn)輔助線的添加方法舉例一. 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造 全等三角形。例：如圖 1:ABC的中線，且/ 1 = / 2, / 3=/ 4,求證：BE+ CF> EF。圖1二、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖 2:ABC的中線，且/ 1 = / 2，/ 3=/ 4,求證：BE+ CF>EFAM三、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。E例：如圖3: AD為 ABC的中線，求證：AB+ AO2AD第1頁(yè)練習(xí)： ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外 作等腰直角三角形，如圖4，求證EF= 2ADF圖4四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線例如：如圖5:在厶ABC中，AB>AC丄/ 1-Z 2, P為AD上任一點(diǎn)。求證：A AC> P PCA/ JpN"CD -.B圖5ME圖6五、延長(zhǎng)邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 6: AO BD, ADL AC于 A , BdBD于 B, 求證：AD= BC第2頁(yè)六、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解7