初二三角形常見輔助線做法總結(jié)及相關(guān)試題

1、數(shù)學(xué)專題一一三角形中的常用輔助線課程解讀一、學(xué)習(xí)目標：歸納、掌握三角形中的常見輔助線二、重點、難點：1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實際問題的能力。三、考點分析：全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一， 是今后學(xué)習(xí)其他知識的根底。判 斷三角形全等的公理有 SAS ASA AAS SSS和HL,如果所給條件充足，那么可 直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)的條件結(jié)合 相應(yīng)的公理進行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要 構(gòu)造適宜的全等三角形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化難 為易了。典型例題人說

2、幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還 要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：1可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段或兩個角分別在 哪兩個可能全等的三角形中；2可以從條件出發(fā)，看條件可以確定哪兩個三角形全等；3可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；4假設(shè)上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： 延長中線構(gòu)造全等三角形； 利用翻折，構(gòu)造全等三角形； 引平行線構(gòu)造全等三角形； 作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一的性質(zhì)解題，

3、思維模式是全等變換中的“對折。例1：如圖， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90，BD平分/ ABC交AC于點 D, CE垂直于BD,交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE思路分析：1題意分析：此題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2解題思路：要求證BD=2CE可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分/ ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長 BA , CE交于點F,在 BEF和 BEC中，/ 仁/2，BE=BE，/ BEF= / BEC=90， BEF A BEC, EF=EC，從而 CF=2CE。又/ 1 + Z F= / 3+Z F=90°

4、;，故/ 1= / 3。在 A ABD 和 A ACF 中，t/ 仁/3，AB=AC，/ BAD= / CAF=90 ， A ABDB A ACF，. BD=CF， BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng) 用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關(guān)知識點和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系， 為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化 歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。2假設(shè)遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等， 構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)。例2：如圖，A ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD又是B

5、C邊上的中線。求證： A ABC 是等腰三角形。思路分析：1題意分析：此題考查全等三角形常見輔助線的知識。2解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等 條件，一般這些條件都是解題的突破口，此題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長 AD至U E,使DE=AD，連接BE。又因為 AD是BC邊上的中線， BD=DC又/ BDE= / CDA BED CAD,故 EB=AC，/ E= / 2,TAD是/ BAC的平分線/ 仁/2,/ 仁/ E , AB=EB從而AB=AC即厶ABC是等腰三角

6、形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。3遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用 的思維模式是三角形全等變換中的“對折，所考知識點常常是角平分線的性 質(zhì)定理或逆定理。例 3:，如圖，AC平分/ BAD CD=CB AB>AD 求證：/ B+Z ADC=180。思路分析：1題意分析：此題考查角平分線定理的應(yīng)用。2解題思路：因為AC是Z BAD的平分線，所以可過點 C作Z BAD的兩邊的 垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作 CELAB于E，CF丄AD于 F。t AC平分Z BA

7、D CE=CF在 Rt CBE和 Rt CDF中,tCE=CF CB=CD Rt CB專 Rt CDF/ B=Z CDFvZ CDFV ADC=180 ,/ B+Z ADC=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線;4過圖形上某一點作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移或“翻轉(zhuǎn)折疊例4:如圖， ABC中，AB=AC E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連 EF 交BC于D,假設(shè)EB=CF求證：DE=DF思路分析：1題意分析：此題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形 DEB與 DFC不可能全等，又知EB

8、=CF， 所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG/CF，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：證明：過E作EG/AC交BC于G,那么/ EGBM ACB又 AB=ACZ B=Z ACB/ B=Z EGB / EGDH DCF EB=EG=CFvZ EDBM CDF DGEA DCF DE=DF解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法:例 5： ABC中 , Z BAC=60 , Z C=40° , AP平分Z BAC交 BC于 P , BQ平分Z ABC交 AC于 Q 求證：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1題意分析：此題考

9、查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2解題思路：此題要證明的是AB+BP=BQ+A彫勢較為復(fù)雜,我們可以通 過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^0作BC的平行線。得 AD3A AQO得至U OD=OQAD=AQ只要再證出BD=O蹴可以 了。解答過程：證明：如圖1，過O作OD/ BC交AB于D, Z ADOZ ABC=180 60° 40° =80° , 又 vZ AQOZ C+Z QBC=80 , Z ADOZ AQO又/ DAOM QAO OA=A, ADOA AQO-OD=O,AD=AQ又 OD BP,/ PBOM DOB又/

10、PBOM DBO/ DBOM DOB BD=OD又/ BPAM C+Z PAC=70 ,/ BOPZ OBAZ BAO=70 ,Z BOPM BPO BP=OB- AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：1此題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構(gòu)造全等三角形,即“截長法2此題利用“平行法的解法也較多，舉例如下：如圖2，過O作OD/ BC交AC于D,那么 ADOA ABC從而得以解決，/圖團(2)如圖C3) *過0作交AS于D,交乩干匕SJJAADOsAAQO? Aabo AEO從而得以解決Dpffl (3)如圖(4) 過P作PD"BQ交A3的延長軟于D

11、,剛AAPD旨AFC從而 得以解袂.如圖5，過P作PD/ BQ交AC于D,那么 ABPA ADP從而得以解決小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法， 體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全 等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu) 造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不管是作平行 線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu) 造了全等三角形。5截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段 相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān) 性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題

12、目。例 6:如圖甲，AD/ BC 點 E在線段 AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求證：CDADfBC思路分析：1題意分析：此題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2解題思路：結(jié)論是CDAD+BC,可考慮用“截長補短法中的“截長， 即在CD上截取CF=CE，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問 題，從而到達簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC如圖乙c = csC3 = CE FCEA BCESAS ,/ 2=Z 1。又 AD/ BC/ AD(+Z BCD：180°,:丄 DC&Z CD=90°,/ 2+

13、Z 3=90°,/ 1 + Z 4=90°,/Z 3=/ 4。在厶FDE與厶ADE中,'"DE = ZADSDE = DEZ3=ZI FDEAADEASA , DF=DACD=DF+CF,/. CD=ADfBC。解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時， 一般方法是截長 法或補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下局部等于另 一條；補短：將一條短線段延長，延長局部等于另一條短線段，然后證明新線段等 于長線段。1對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差 小于第三邊，故可想方法將其放在一個三

14、角形中證明。2在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證明不出來，可連 接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：二角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。 線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接那么成中位線 三角形中有中線，延長中線等中線。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第一章是分式 請同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問題。1、分式的概念是什么

15、？2、分式的乘除法的運算法那么是什么？同步練習(xí)全等三角形中的常見輔助線的添加方法舉例一. 有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造 全等三角形。例：如圖 1:ABC的中線，且/ 1 = / 2, / 3=/ 4,求證：BE+ CF> EF。圖1二、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖 2:ABC的中線，且/ 1 = / 2，/ 3=/ 4,求證：BE+ CF>EFAM三、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。E例：如圖3: AD為 ABC的中線，求證：AB+ AO2AD第1頁練習(xí)： ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外 作等腰直角三角形，如圖4，求證EF= 2ADF圖4四、截長補短法作輔助線例如：如圖5:在厶ABC中，AB>AC丄/ 1-Z 2, P為AD上任一點。求證：A AC> P PCA/ JpN"CD -.B圖5ME圖6五、延長邊構(gòu)造三角形：例如：如圖 6: AO BD, ADL AC于 A , BdBD于 B, 求證：AD= BC第2頁六、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解7