常微分方程試題庫(kù).

1、常微分方程一、填空題i 微分方程(dy)n dy y x2o的階數(shù)是dx dx答：12.假設(shè)M(x,y)和N(x,y)在矩形區(qū)域R內(nèi)是(x, y)的連續(xù)函數(shù)，且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),那么方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0有只與y有關(guān)的積分因子的充要條件是対)(y)3. 為齊次方程.答：形如dy g(=)的方程dx x4如果 f (x, y) 那么,dyf (x,y)存在dx唯一的解y(x),定義于區(qū)間x xoh上，連續(xù)且滿足初始條件yo(X。)，其中h.答：在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件hmin( a, b) m5 對(duì)于任意的(x,y1) ,(x,y2)R (R為某一矩形區(qū)域

2、),假設(shè)存在常數(shù) N(N 0)使那么稱f(x, y)在R上關(guān)于y滿足利普希茲條件.答：f(x,yj f(x2)N y! y26.方程dy x2y2定義在矩形區(qū)域R： 2 x 2, 2 y 2上，那么經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)的解的dx存在區(qū)間是 答:11x447假設(shè)Xi(t)(i1,2,.n)是齊次線性方程的n個(gè)解,w(t)為其伏朗斯基行列式，那么w(t)滿足一階線性方程答：w a1 (t)w 08假設(shè)Xi (t)(i1,2,.n)為齊次線性方程的一個(gè)根本解組，x(t)為非齊次線性方程的一個(gè)特解，那么非齊次線性方程的所有解可表為n答：xcixi Xi 19 .假設(shè)(X)為畢卡逼近序列n(X)的極限，那么

3、有 (X) n(X)答:MLLf(n 1)!10. 為黎卡提方程，假設(shè)它有一個(gè)特解y(X)，那么經(jīng)過(guò)變換，可化為伯努利方程.答：形如 dy p(x)y2 q(x)y r(x)的方程y z ydX11. 一個(gè)不可延展解的存在區(qū)間一定是 區(qū)間.答：開(kāi)12. 方程3 . y 1滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 .dx答：D (x,y) R2y 0，或不含x軸的上半平面13 .方程乎 x2 sin y的所有常數(shù)解是.dx答：y k ,k 0, 1,2,14. 函數(shù)組1(x), 2(x), n(x)在區(qū)間I上線性無(wú)關(guān)的條件是它們的朗 斯基行列式在區(qū)間I上不恒等于零.答：充分15. 二階線性齊次微分方程

4、的兩個(gè)解y1 (x), y2(x)為方程的根本解組充分必要條件是.答：線性無(wú)關(guān)或：它們的朗斯基行列式不等于零16. 方程y 2y y 0的根本解組是 答: ex, xeX17 假設(shè)y (x)在(,)上連續(xù)，那么方程dy (x)y的任一非零解 dx與x軸相交.答：不能18.在方程yp(x)y q(x)y 0中，如果p(x)， q(x)在(,)上連續(xù)，那么它的任一非零解在 xoy平面上與x軸相切.答：不能19假設(shè)y ! (x), y2 (x)是二階線性齊次微分方程的根本解組，那么它們共同零點(diǎn).答：沒(méi)有20. 方程 y1 y2的常數(shù)解是.dx答：y 121. 向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x), ，丫

5、n(x)在其定義區(qū)間I上線性相關(guān)的條件是它們的朗斯基行列式 W(x) 0，x I .答：必要22. 方程dy x2 y2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 .dx答：xoy平面23. 方程x(y2 1)dx y(x2 1)dy 0所有常數(shù)解是 .答：y 1, x 124 .方程y 4y 0的根本解組是 .答: sin 2x, cos2x25.階微分方程的通解的圖像是 維空間上的一族曲線.答：2二、單項(xiàng)選擇題1. n階線性齊次微分方程根本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是 A丨個(gè).A不是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解B是非齊次微分方程組的解C是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解D是非齊次微分方程組的通解方程業(yè)1y2過(guò)點(diǎn)(一，

6、1)共有B 個(gè)解.dx2A一B無(wú)數(shù)C兩D三方程業(yè)xy 2 B 奇解.dxA有三個(gè)B無(wú)C有一個(gè)D有兩個(gè)一階線性非齊次微分方程組的任兩個(gè)非零解之差5.6.線性空間.AC丨.n階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個(gè)AnB n-1Cn+1Dn+22.如果 f (x, y),f(x,y)都在xoy平面上連續(xù)，那么方程ydydxf(x, y)的任一解的存在區(qū)間D .A必為(B必為(0,3.C必為(,0)D將因解而定1方程矽x 3dxy滿足初值問(wèn)題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是D .A上半平面Bxoy平面C下半平面D除y軸外的全平面4.7.8.9.An維Bn 1 維方程蕓3y3過(guò)點(diǎn)a .dyA有無(wú)數(shù)個(gè)解B只有三個(gè)解C

7、C只有解Dn 2 維0 D只有兩個(gè)解fy (x, y)連續(xù)是保證f (x, y)對(duì)y滿足李普希茲條件的條件.A充分B充分必要C必要D必要非充分10.二階線性非齊次微分方程的所有解C丨.A構(gòu)成一個(gè)2維線性空間B構(gòu)成一個(gè)3維線性空間C不能構(gòu)成一個(gè)線性空間D構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間11 .方程. y的奇解是D . dxAy xBy 1Cy 1Dy 012 .假設(shè)y 1x , y2x是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)不同特解，那么該方程的通解可用這兩個(gè)解表示為C .B1x2xCC 1x2X13. fy x, y連續(xù)是方程 矽dx必要B14.方程矽.y 1Cdx有一個(gè)B必要非充分奇解.有兩個(gè)i(x)A1 (x

8、) 2 (x)DC 1x2xfx,y初值解唯一的D 條件.C充分必要D充分D有無(wú)數(shù)個(gè)15.方程樂(lè)3yl過(guò)點(diǎn)。，°有A三、A無(wú)數(shù)個(gè)解B只有一個(gè)解(C)只有兩個(gè)解D只有三個(gè)解求以下方程的通解或通積分1晉宀dx x y解："dy y-y2 ，那么y1dye y (1dyy dy c)所以3yxcy2也是方程的解2.求方程dyx y2經(jīng)過(guò)dx解：0>(x)01(x)XX020 (x)dx2XXX012(x)dx另外 y o0,0的第三次近似解1 2x21 2x215x20x3(x)0 x22(x) dx1511118xxx2044001603.討論方程dydxy(i)1的解的

9、存在區(qū)間dx兩邊積分 所以方程的通解為故過(guò)y(i) 1的解為通過(guò)點(diǎn) (1,1)的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 2,所以解的存在區(qū)間為 (，2)4. 求方程(矽)2 y2 10的奇解dx解：利用p判別曲線得p2 y2 102p 0消去p得y21即y所以方程的通解為y si n(x c)所以y1是方程的奇解11x5. (cosx )dx (2)dy 0yy y(y)所以(y) inyxy解：M =y2y ,-N =x2yu1cosxxy得usin xxv1xy2yyy2=,所以方程是恰當(dāng)方程 y x(y)故原方程的解為sin x - ln y c6. y y2 2ysinx cosx sin

10、2x解:yy2 2ysinx cosx sin2 xy sin x ，令 y即 y sin x1,故 yx cz sin x ,那么方程可化為竺dx1sin x2327. (2xy 3y )dx (7 3xy )dy解：兩邊同除以y2得8.2xdx 3ydx 厶 dyy3xdy 0dx2所以dydxd3xy3xyxy2xc ,另外 y0也是方程的解0時(shí)，別離變量得dyyhx等式兩端積分得In y-ln(1x2) ln C2即通解為y C 1 x29.dydx解3y e2x齊次方程的通解為3 xy Ce令非齊次方程的特解為y C(x)e3x代入原方程確定出Cx5畀原方程的通解為y Ce3x ,

11、1 2x+ e510.? y xy5dx方程兩端同乘以5，得dydx令y44y5 dydx史，代入上式，得dxdz4 dx通解為Ce4x原方程通解為4 Ce4x11.2 22xydx (x y )dy 0解 因?yàn)樾l(wèi) 2x ，所以原方程是全微分方程. yx取X。，yo0, 0，原方程的通積分為xy 2o2xydx o y dy C即x2y 1 y3 C312.業(yè) ylnydx解：當(dāng)y 0，y 1時(shí)，別離變量取不定積分，得通積分為出dx C yin yin y Cex13. yy (y )2 3x20解原方程可化為2(yy x)0于是ydX x2°積分得通積分為丄 y2 Cix -x3C

12、23dy dxy2 上x(chóng) x解：令yxu，那么dx u悄，代入原方程，得14.,1 u2dux -dx別離變量，取不定積分，得dxdulnCC 0通積分為：yarcsinIn Cxxxy_tanyxxu ,那么dyudux代入原方程，得dxdxdutan udu丄uxuxtan udx'dx15.乜 d x解令1x當(dāng)tanu 0時(shí)，別離變量，再積分，得dutan udxxIn CIn sin u In x In C即通積分為：si n# Cxx16. 業(yè)工1 dx x解：齊次方程的通解為y Cx令非齊次方程的特解為y C(x)x代入原方程，確定出 C(x) lnx C原方程的通解為y

13、Cx + xln x17. (x2ey y)dx xdy 0解積分因子為(x)丄x原方程的通積分為x x y y1 (e $)dx 0 dy Ci x即exC, C e C1x18. yy (y)20解：原方程為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可改寫為(yy)yy別離變量得ydyC1dx積分得通積分19.y (x In y )11 22yC1 x C2令y p，那么原方程的參數(shù)形式為1 .In pPP由根本關(guān)系式dydx1 1dy ydx p (2 )dpp p i(1 )dpp積分得y p In p C得原方程參數(shù)形式通解為In pIn20.2yy y 2x 0原方程可化為(yydy y - dx積分得通積分

14、為于是x2C12 C1X21.(x3 xy2 )dx(x2yy3)dy 0解：由于y2xy ，所以原方程是全微分方程.x取(xo, yo)(0, 0)，原方程的通積分為x4x 320(x3 xy2)dxy 30 y dy C12x2y2 y4四、計(jì)算題11 .求方程y丄ex的通解.2解對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為:特征根為:1，2故齊次方程的通解為：y Gex C2e x因?yàn)?是單特征根.所以，設(shè)非齊次方程的特解為yi(x)Axex代入原方程，有 2AexAxe Axe故原方程的通解為C1exC2e£ ex,可解出1 x xe42.求以下方程組的通解dxdtdydt3x2y4yA E1

15、324即2320特征根為11 ,22方程組的特征方程為解011對(duì)應(yīng)的解為x1a-iy1b1其中a1, b1是11對(duì)應(yīng)的特征向量的分量,滿足12 a104 1 b10可解得a11, b11.同樣可算出2對(duì)應(yīng)的特征向量分量為a2 2,b1所以，原方程組的通解為CiC22e2t3e2t3.求方程y 5y sin5x的通解.解：方程的特征根為i 0,25齊次方程的通解為y Ci C2e5x因?yàn)?i 5i不是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為yi(x) Asin5x Bcos5x代入原方程，比擬系數(shù)得25A 25B125A 25B01i確定出 A ， B 5050原方程的通解為y C C2e5x(cos

16、 5x si n5x)504.求方程y 5y5x2的通解.解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為2 50 ,特征根為0,25,齊次方程的通解為y C C2e5x因?yàn)?0是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為2y (x) x(Ax Bx C)代入原方程，比擬系數(shù)確定出11A， B，C-3 525原方程的通解為y C1 C2e5x 1x3- x2 x3525五、證明題1. 在方程dy f(y) (y)中，f(y)，(x)在(，)上連續(xù)，且(1)0 .求dx證：對(duì)任意x0和y。1，滿足初值條件y(x。)yo的解y(x)的存在區(qū)間必為(證明：由條件，該方程在整個(gè)xoy平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件.顯然y

17、 1是方程的兩個(gè)常數(shù)解.任取初值(Xo, yo)，其中Xo(),yo1 .記過(guò)該點(diǎn)的解為y y(x)，由上面分析可知，一方面y y(x)可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)限延展；另一方面又上方不能穿過(guò)y 1，下方不能穿過(guò)y 1,否那么與惟一性矛盾.故該解的存在區(qū)間必為(2. 設(shè)y 1(x)和y 2(x)是方程y q(x)y o的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式W(x) C，其中C為常數(shù).證明:如果y 1(x)和y2(x)是二階線性齊次方程y P(x)y q(x)y 0的解，那么由劉維爾公式有W(x)W(x°)exP(t)dtxo現(xiàn)在，p(x) 0故有W(x)W(x°)ex)dtxoW

18、(xo) C3. 在方程yp(x)y q(x)y o中，p(x)， q(x)在(，)上連續(xù).求證：該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切.證明：由條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是(，).顯然，該方程有零解y(x) o .假設(shè)該方程的任一非零解y1(x)在x軸上某點(diǎn)xo處與x軸相切，即有y1(Xo) y1 (xo) = o，那么由解的惟一性及該方程有零解y(x) o可知yi (x) o, x ()，這是因?yàn)榱憬庖矟M足初值條件yi(xo)yi (xo) = 0,于是由解的惟一性，有yi(x) y(x) 0, x (,) 這與yi(x)是非零解矛盾.4. 在方程yp(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上連續(xù)，求證：假設(shè)p(x)恒不為零，那么該方程的任一根本解組的朗斯基行列式W(x)是(，)上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).證明：設(shè)yi (x)，y2 (x)是方程的根本解組，那么對(duì)任意 x (,)，它們朗斯基行