基于核密度估計(jì)的上證A股收益率分析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六章 基于核密度估計(jì)的上證A股收益率分析一、模型的相關(guān)理論知識(shí)（一）問題的提出經(jīng)濟(jì)計(jì)量研究中常用的是參數(shù)估計(jì),即假定經(jīng)濟(jì)變量之間具有一定的函數(shù)關(guān)系,且函數(shù)形式是可以確定的,可以寫成帶參數(shù)的形式進(jìn)行估計(jì),經(jīng)典的線性回歸和非線性回歸就屬于參數(shù)估計(jì)方法。但經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系未必是線性關(guān)系或可線性化的非線性關(guān)系,而變量之間的真實(shí)關(guān)系到底是什么又很難確定。因而當(dāng)模型及參數(shù)的假定與實(shí)際背離時(shí),就容易造成模型設(shè)定誤差。此時(shí),基于經(jīng)典假設(shè)模型所做出的預(yù)測,很難達(dá)到預(yù)期的效果。針對(duì)該問題，非參數(shù)估計(jì)方法提供了最佳的解決辦法，它使我們能尋找到最精確的非線性系統(tǒng)來描述變量之間的內(nèi)在關(guān)系。

2、非參數(shù)估計(jì)的回歸函數(shù)的形式可以任意,沒有任何約束,解釋變量和被解釋變量的分布也很少限制,因而有較大的適應(yīng)性,其目的在于放松回歸函數(shù)形式的限制,為確定或建議回歸函數(shù)的參數(shù)表達(dá)式提供有用的工具,從而能在廣泛的基礎(chǔ)上得出更加帶有普遍性的結(jié)論。核估計(jì)就是一種非參數(shù)估計(jì)方法,主要用于對(duì)隨機(jī)變量密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。（二）核密度估計(jì)方法的原理設(shè)是從具有未知密度函數(shù)的總體中抽出的獨(dú)立同分布樣本，要依據(jù)這些樣本對(duì)每一去估計(jì)的值。密度估計(jì)最基本的方法是直方圖估計(jì)，我們可以從直方圖估計(jì)導(dǎo)出密度核估計(jì)。作直方圖時(shí)，先用點(diǎn)把直線分成若干小的計(jì)數(shù)區(qū)間。這樣，計(jì)數(shù)區(qū)間的端點(diǎn)與寬度都是固定的。記為樣本點(diǎn)落在第i個(gè)計(jì)數(shù)區(qū)間里的個(gè)

3、數(shù)，則密度函數(shù)在里的函數(shù)估計(jì)值就取為： 這樣的直方圖估計(jì)結(jié)果是階梯函數(shù)，如果對(duì)每個(gè),各作一個(gè)以為中點(diǎn)的小計(jì)數(shù)區(qū)間, 再對(duì)落在該計(jì)數(shù)區(qū)間的樣本點(diǎn)計(jì)數(shù)，設(shè)為，則密度估計(jì)為：。其與直方圖不同在于它的計(jì)數(shù)區(qū)間端點(diǎn)劃分不是固定的，而是隨而變，可以自始至終保持點(diǎn)在計(jì)數(shù)區(qū)間中間。不過此時(shí)計(jì)數(shù)區(qū)間寬度一般是固定的。如果引進(jìn)均勻核函數(shù)，則上述變端點(diǎn)計(jì)數(shù)區(qū)間的密度估計(jì)可寫為： 。后來Parzen(1962)提出，可以將這種核函數(shù)形式放寬限制，只須積分為1（最好還為恒正）即可。這就導(dǎo)出了一般的密度核估計(jì)： （6-1） 其中為核函數(shù)，h為窗寬。另外也可以從經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)導(dǎo)出密度核估計(jì)。經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)也是一種計(jì)數(shù)，不過從一

4、直計(jì)到為止。利用它表示一個(gè)以為中心,窗寬為計(jì)數(shù)區(qū)間里的樣本點(diǎn)數(shù),于是密度估計(jì)為：對(duì)核函數(shù)形式放寬了，一般來說，要求核函數(shù)滿足以下條件：對(duì)于一般概率密度函數(shù)，這些條件是能滿足的，所以可以選一個(gè)概率密度函數(shù)作核函數(shù)。對(duì)窗寬h的要求，顯然樣本數(shù)越多，窗寬應(yīng)越小，但不能太小，即h是n的函數(shù)，且。在上述要求的核函數(shù)及窗寬條件下，密度的核估計(jì)是的漸近無偏估計(jì)與一致估計(jì)。（三）幾種常用的和函數(shù)下面介紹幾種常用的核函數(shù)：1，均勻核，2，高斯核，3，Epanechnikov核， 4，三角形核，5，四次方核，6，六次方核。通常在大樣本的情況下，非參數(shù)估計(jì)對(duì)核函數(shù)的選擇并不敏感，但是，窗寬 的選擇對(duì)估計(jì)的效果影響較

5、大。一般來說，窗寬取得越大，估計(jì)的密度函數(shù)就越平滑，但偏差可能會(huì)較大。如果選的太小，估計(jì)的密度曲線和樣本擬合得較好，但可能很不光滑，即方差過大。所以，窗寬的變化不可能既使核估計(jì)的偏差減小，同時(shí)又使核估計(jì)的方差較小。因此，最佳窗寬的選擇標(biāo)準(zhǔn)必須在核估計(jì)的偏差和方差之間作一個(gè)權(quán)衡，即使積分均方誤差達(dá)到最小。選擇h的方法有許多，比如交錯(cuò)鑒定選擇法，直接插入選擇法，在各個(gè)局部取不同的窗寬，或者估計(jì)出一個(gè)光滑的窗寬函數(shù)等等 見于吳喜之.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)M.中國統(tǒng)計(jì)出版社,p188-p189.。= （6-2）可以證明，在很一般的正則條件下，使積分均方誤差極小化的任何h取值一定與成比例。 見于羅素.戴維森,詹姆斯

6、.G.麥金農(nóng).計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論和方法M上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社.p580-p581.由此得到，一般的最佳窗寬選擇為（其中c為常數(shù)），通過不斷地調(diào)整c，使得所采用的窗寬的核估計(jì)達(dá)到滿意的估計(jì)結(jié)果。的兩個(gè)常見選擇為： （6-3） （6-4）其中，n為樣本單位數(shù)。s為的標(biāo)準(zhǔn)差，為數(shù)據(jù)的0.75分位數(shù)估計(jì)值和0.25分位數(shù)估計(jì)值之差。因子1.059實(shí)際上就是，是通過最優(yōu)性證明得出的，因子0.785是1.059除以1.349得出的，1.349是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的四分位數(shù)中間跨度。二、案例分析：基于核密度估計(jì)的上證A股收益率分析（一）案例背景材料中國的股票市場經(jīng)過二十多年的發(fā)展，已經(jīng)取得了令人矚目的成就。在市場參與者各

7、方的共同努力之下，市場日漸走向成熟和完善，對(duì)中國股票市場的研究也日漸深入和豐富多彩。幾乎所有的關(guān)于市場的學(xué)術(shù)研究中都會(huì)涉及到股票的收益率，而在股票市場，對(duì)收益率隨機(jī)過程的充分認(rèn)識(shí)是做出正確投資決定的基礎(chǔ)，因?yàn)樗峁┝擞嘘P(guān)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的基本信息。在現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中，線性范式一直占據(jù)著主導(dǎo)地位，許多經(jīng)典理論都是以正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布為基礎(chǔ)建立的。股市收益率作為反映股票市場波動(dòng)性的指標(biāo)，在描述股價(jià)行為的經(jīng)典計(jì)量模型中，通常被假定服從正態(tài)分布。但是許多計(jì)量金融學(xué)家對(duì)這一經(jīng)典假設(shè)做了大量的研究并發(fā)現(xiàn)，收益率的分布并不服從正態(tài)分布這一假設(shè)。事實(shí)上，大多數(shù)收益率的變化存在很明顯的尖峰現(xiàn)象，也就是說相對(duì)正態(tài)分布

8、而言，在均值附近的數(shù)據(jù)點(diǎn)特別多。許多學(xué)者認(rèn)為這只不過是由一些“異常值”所引起，從而在統(tǒng)計(jì)分析中將這些“異常值”去掉。例如，國內(nèi)學(xué)者陶亞民認(rèn)為，上海股市收益率分布是服從正態(tài)分布的，但這卻是在剔除了“異常點(diǎn)”的基礎(chǔ)上得到的結(jié)論。然而Mandelbrot認(rèn)為將這些“異常值”值從數(shù)據(jù)中去掉是不可取的。因?yàn)椤爱惓Ｖ怠钡某霈F(xiàn)并不是一種偶然現(xiàn)象，尖峰和厚尾現(xiàn)象幾乎是所有股票收益率數(shù)據(jù)所共有的。這說明“異常值”本身反映了股票收益率并不服從正態(tài)分布這一假定。陳啟歡也通過實(shí)證研究的方法得到我國股市收益率分布曲線并不服從正態(tài)分布。因此，在收益率分布非正態(tài)的情況下，本案例利用非參數(shù)估計(jì)中的核密度估計(jì)方法來對(duì)上證A股指

9、數(shù)收益率的密度進(jìn)行估計(jì)。（二）數(shù)據(jù)來源及說明本案例采用wind資訊公司提供的2005年1月至2009年11月12日期間我國上證A股日收盤指數(shù)，共計(jì)1180個(gè)觀測值為樣本，運(yùn)用密度估計(jì)模型來研究股指數(shù)收益率波動(dòng)。（三）模型建立與估計(jì)結(jié)果本模型的建立，采用上證A股指數(shù)日收益率為變量。，是第t日的收盤指數(shù)，是第t+1日的收盤指數(shù)。另外，本案例的模型估計(jì)是通過使用R軟件來實(shí)現(xiàn)的。 1、收益率分布的正態(tài)性檢驗(yàn)本案例利用Shapiro-Wilk（夏皮羅-威爾克）W統(tǒng)計(jì)量對(duì)樣本作正態(tài)性檢驗(yàn)。在R軟件中，函數(shù)shapiro.test()提供W統(tǒng)計(jì)量和相應(yīng)的p值，當(dāng)p值小于某個(gè)顯著水平（比如0.05）時(shí)，則認(rèn)為

10、樣本不是來自正態(tài)分布的總體；否則認(rèn)為樣本是來自正態(tài)分布的總體。在此，假設(shè)上證A股指數(shù)收益率服從正態(tài)分布，得出的檢驗(yàn)結(jié)果如下：Shapiro-Wilk normality testdata: x W = 0.8, p-value < 2.2e-16 從上述結(jié)果可以看出，上證A股指數(shù)收益率不服從正態(tài)分布。2、核函數(shù)與窗寬的選擇由于核函數(shù)在核密度估計(jì)中不敏感,滿足核函數(shù)條件的高斯核、均勻核、Ep-anch-nikov核、Biweight核的最優(yōu)性幾乎一致(Prakasa Rao,1983)。因此,本文僅選取高斯核作為核函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于窗寬的選擇，本案例先由（3）式和（4）式分別計(jì)算得出=0.

11、，=0.。再在選用高斯核函數(shù)的條件下，根據(jù)使積分均方誤差達(dá)到最小法則，得到高斯核估計(jì)的最優(yōu)窗寬為=0.。（四）非參數(shù)估計(jì)下的上證A股指數(shù)收益率密度函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用在核估計(jì)的核函數(shù)與窗寬都確定后，就可以得到上證A股指數(shù)收益率的核估計(jì)密度函數(shù)的確定形式： （6-5） 在非參數(shù)核密度估計(jì)的情況下，收益率的期望和方差為： （6-6） （6-7） （6-8）通過公式（6-6），（6-7），（6-8），可以計(jì)算出核估計(jì)密度函數(shù)的期望與方差，見表1：表1 上證A股指數(shù)收益率非參數(shù)估計(jì)與實(shí)際的收益率的統(tǒng)計(jì)特征比較核估計(jì)均值核估計(jì)方差實(shí)際均值實(shí)際方差0.0.0.0.從表1可以看出，核估計(jì)收益率的期望與原來數(shù)據(jù)的均

12、值是相等的，但是方差卻不同，核估計(jì)的方差比實(shí)際數(shù)據(jù)的方差偏大。由于本案例采用的是高斯核（正態(tài)核）函數(shù)，所以可以推導(dǎo)出核估計(jì)條件下的收益率分布函數(shù)是： （6-9）由公式（6-9）可以知道在核估計(jì)密度函數(shù)下的收益率分布函數(shù)形式，因此我們就可以計(jì)算出收益率落在不同區(qū)間時(shí)概率值的大小，計(jì)算結(jié)果見表2：表2 上證A股指數(shù)收益率的區(qū)間概率值區(qū)間（-，-0.05）(-0.05,0)(0,0.05)（0.05，+）概率值0.02195 0.43042 0.53271 0.01491表2的計(jì)算結(jié)果表明：上證A股指數(shù)的收益率下跌大于0.05的可能性是2.193%，而上漲大于0.05的可能性是1.574%，下跌的可

13、能性大于上漲的可能性。這說明近年來我國上證A股市場不景氣，我們認(rèn)為可能是受到金融危機(jī)的影響。（五）結(jié)論非參數(shù)回歸函數(shù)估計(jì)方法是近20年來現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要方向,它改變了傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)的格局,對(duì)未知分布的數(shù)據(jù)模型的處理及不完全數(shù)據(jù)的處理提供了一種新的統(tǒng)計(jì)方法。在非參數(shù)估計(jì)時(shí),不固定函數(shù)的形式,也不設(shè)置參數(shù),函數(shù)在每一點(diǎn)的值都由數(shù)據(jù)決定,因而有較大適應(yīng)性。同時(shí),在抽取樣本對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)時(shí),不必依賴于樣本所從屬的總體的分布樣式,可以廣泛地運(yùn)用于不同類型的總體。所以,非參數(shù)估計(jì)方法在廣泛的基礎(chǔ)上,得出更加帶有普遍性的結(jié)論。本案例利用非參數(shù)核密度估計(jì)法對(duì)上證A股指數(shù)的收益率分布形式進(jìn)行了實(shí)證研究。研究

14、發(fā)現(xiàn)，非參數(shù)核密度估計(jì)方法能夠較好地描述股票收益率分布尖峰厚尾的特征，對(duì)收益率分布給出一個(gè)比較準(zhǔn)確的擬合效果。在此基礎(chǔ)上，本案例通過計(jì)算還得到了在非參數(shù)估計(jì)下的收益率的期望和方差，以及收益率落在各個(gè)區(qū)間的概率值。通過比較分析各個(gè)區(qū)間的概率值，揭示了近年來上證A股市場的特征。參考文獻(xiàn)：1李子奈,葉阿忠.高等計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)M.北京:清華大學(xué)出版社,2000.2葉阿忠.非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)M.天津:南開大學(xué)出版社,1995.3羅素戴.維森,詹姆斯.G.麥金農(nóng).計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論和方法M.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社,2006.4張世趟,程小軍,蘇明.基于非參數(shù)方法的A股指數(shù)估計(jì)J.南方金融,2009, (1):25-27.

15、5薛毅,陳立萍.R軟件建模與R軟件M.清華大學(xué)出版社,2007.6吳喜之.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)M.中國統(tǒng)計(jì)出版社,2006.7陶亞明,蔡明超,楊朝軍.上海股票市場收益率分布特征的研究J.預(yù)測,1999,(2):57-58.8區(qū)詩得,刑國東.股票收益率密度的非參數(shù)估計(jì)及投資策略J.理論新探,2006, (3).9陳啟歡.中國股票市場收益率分布曲線的實(shí)證J.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2002, (5):9-11.附錄程序命令：（1）在EXCEL中計(jì)算收益率；（2）把EXCEL格式的數(shù)據(jù)另存為文本數(shù)據(jù)，并命名為shuju.txt，存入C盤；（3）在R軟件中調(diào)入foreign程序包；（4）用R軟件讀入數(shù)據(jù)，命令為sj&l

16、t;-read.delim("c:/shuju.txt") #把數(shù)據(jù)賦值給sjx<-sj"收益率"x #把收益率賦值給x，并顯示出x(5) 在R軟件中進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，命令為shapiro.test(x)結(jié)果為： Shapiro-Wilk normality testdata: x W = 0.8, p-value < 2.2e-16（6）在R軟件中進(jìn)行五數(shù)總括（為下面畫正態(tài)分布和計(jì)算窗寬做準(zhǔn)備），命令為 fivenum(x) 結(jié)果： -0. -0. 0. 0. 0.最小值下四分位數(shù) 中位數(shù) 上四分位數(shù) 最大值（7）調(diào)入核函數(shù)軟件包kernsm

17、ooth（8）選擇核函數(shù)形式，三種核函數(shù)與正態(tài)函數(shù)做比較,命令為plot(bkde(x,kernel="normal"),type="l",col="blue") #畫高斯核函數(shù)lines(density(x,kernel=c("epanechnikov"),type="l",col="red") # Epanechnikov核lines(density(x,kernel=c("triangular"),type="l",col="green") #四次方核w<-seq(-0.3,0.4,by=0.0001) #產(chǎn)生等間隔序列l(wèi)ines(w,dnorm(w,mean(x),sd(x),col="purple") #畫正態(tài)分布（9）窗寬選擇 H1= 0. H2= 0.plot(bkde(x,bandwidth=0.),type